1、【高中数学竞赛应该掌握的内容和知识点（共 17 大点，101 小点，244 小小点） 】 1. *（set） 1.1*的阶，*之间的关系。 1.2*的分划 1.3 子集，子集族 1.4 容斥原理 2. 函数（function） 2.1 函数的定义域、值域 2.2 函数的性质 2.2.1 单调性 2.2.2 奇偶性 2.2.3 周期性 2.2.4 凹凸性 2.2.5 连续性 2.2.6 可导性 2.2.7 有界性 2.2.8 收敛性 2.3 初等函数 2.3.1 一次、二次、三次函数 2.3.2 幂函数 2.3.3 双勾函数 2.3.4 指数、对数函数 2.4 函数的迭代 2.5 函数方程 3.
2、 三角函数（trigonometric function） 3.1 三角函数图像与性质 3.2 三角函数运算 3.3 三角恒等式、不等式、最值 3.4 正弦、余弦定理 3.5 反三角函数 3.6 三角方程 4. 向量（vector） 4.1 向量的运算 4.2 向量的坐标表示，数量积 5. 数列（sequence） 5.1 数列通项公式求解 5.1.1 换元法 5.1.2 特征根法 5.1.3 不动点法，迭代法 5.1.4 数学归纳法，递归法 6不等式（inequality ） 6.1 解不等式 6.2 重要不等式 6.2.1 均值不等式 6.2.2 柯西不等式 6.2.3 排序不等式 6.2
3、.4 契比雪夫不等式 6.2.5 赫尔德不等式 6.2.6 权方和不等式 6.2.7 幂平均不等式 6.2.8 琴生不等式 6.2.9 Schur 不等式 6.2.10 嵌入不等式 6.2.11 卡尔松不等式 6.3 证明不等式的常用方法 6.3.1 利用重要不等式 6.3.2 调整法 6.3.3 归纳法 6.3.4 切线法 6.3.5 展开法 6.3.6 局部法 6.3.7 反证法 6.3.8 其他 7.解析几何（analytic geometry ） 7.1 直线与二次曲线方程 7.2 直线与二次曲线性质 7.3 参数方程 7.4 极坐标系 8立体几何（solid geometry） 8.
4、1 空间中元素位置关系 8.2 空间中距离和角的计算 8.3 棱柱，棱锥，四面体性质 8.4 体积，表面积 8.5 球，球面 8.6 三面角 8.7 空间向量 9.排列，组合，概率（permutations, combinatorics, probability） 9.1 排列组合的基本公式 9.1.1 加法、乘法原理 9.1.2 无重复的排列组合 9.1.3 可重复的排列组合 9.1.4 圆排列、项链排列 9.1.5 一类不定方程非负整数解的个数 9.1.6 错位排列数 9.1.7 Fibonacci 数 9.1.8 Catalan 数 9.2 计数方法 9.2.1 映射法 9.2.2 容斥
5、原理 9.2.3 递推法 9.2.4 折线法 9.2.5 算两次法 9.2.6 母函数法 9.3 证明组合恒等式的方法 9.3.1 Abel 法 9.3.2 算子方法 9.3.3 组合模型法 9.3.4 归纳与递推方法 9.3.5 母函数法 9.3.6 组合互逆公式 9.4 二项式定理 9.5 概率 9.5.1 独立事件概率 9.5.2 互逆事件概率 9.5.3 条件概率 9.5.4 全概率公式，贝叶斯公式 9.5.5 现代概率，几何概率 9.6 数学期望10.极限，导数（limits, derivatives） 10.1 极限定义，求法 10.2 导数定义，求法 10.3 导数的应用 10.
6、3.1 判断单调性 10.3.2 求最值 10.3.3 判断凹凸性 10.4 洛比达法则 10.5 偏导数 11.复数（complex numbers） 11.1 复数概念及基本运算 11.2 复数的几个形式 11.2.1 复数的代数形式 11.2.2 复数的三角形式 11.2.3 复数的指数形式 11.2.4 复数的几何形式 11.3 复数的几何意义，复平面 11.4 复数与三角，复数与方程 11.5 单位根及应用 12.平面几何（plane geometry） 12.1 几个重要的平面几何定理 12.1.1 梅勒劳斯定理 12.1.2 塞瓦定理 12.1.3 托勒密定理 12.1.4 西姆
7、松定理 12.1.5 斯特瓦尔特定理 12.1.6 张角定理 12.1.7 欧拉定理 12.1.8 九点圆定理 12.2 圆幂，根轴 12.3 三角形的巧合点 12.3.1 内心 12.3.2 外心 12.3.3 重心 12.3.4 垂心 12.3.5 旁心 12.3.6 费马点 12.4 调和点列 12.5 圆内接调和四边形 12.6 几何变换 12.6.1 平移变换 12.6.2 旋转变换 12.6.3 位似变换 12.6.4 对称变换（反射变换） 12.6.5 反演变换 12.6.6 配极变换 12.7 几何不等式 12.8 平面几何常用方法 12.8.1 纯几何方法 12.8.2 三角
8、法 12.8.3 解析法 12.8.4 复数法 12.8.5 向量法 12.8.6 面积法 13.多项式（polynomials） 13.1 多项式恒等定理 13.2 多项式的根及应用 13.2.1 韦达定理 13.2.2 虚根成对原理 13.3 多项式的整除，互质 13.4 拉格朗日插值多项式 13.5 差分多项式 13.6 牛顿公式 13.7 单位根 13.8 不可约多项式，最简多项式14.数学归纳法（mathematical induction） 14.1 第一数学归纳法 14.2 第二数学归纳法 14.3 螺旋归纳法 14.4 跳跃归纳法 14.5 反向归纳法 14.6 最小数原理 7
9、. 初等数论（elementary number theory ） 15.1 整数，整除 15.2 同余 15.3 素数，合数 15.4 算术基本定理 15.5 费马小定理，欧拉定理 15.6 拉格朗日定理，威尔逊定理 15.7 裴蜀定理 15.8 平方数 15.9 中国剩余定理 15.10 高斯函数 15.11 指数，阶，原根 15.12 二次剩余理论 15.12.1 二次剩余定理及性质 15.12.2 Legendre 符号 15.12.3 Gauss 二次互反律 15.13 不定方程 15.13.1 不定方程解法 15.13.1.1 同余法 15.13.1.2 构造法 15.13.1.3
10、 无穷递降法 15.13.1.4 反证法 15.13.1.5 不等式估计法 15.13.1.6 配方法，因式分解法 15.13.2 重要不定方程 15.13.2.1 一次不定方程（组） 15.13.2.2 勾股方程 15.13.2.3 Pell 方程 15.14 p 进制进位制，p 进制表示16.组合问题（combinatorics） 16.1 组合计数问题（参见 9.1,9.2） 16.2 组合恒等式，不等式（参见 9.3） 16.3 存在性问题 16.4 组合极值问题 16.5 操作变换，对策问题 16.6 组合几何 16.6.1 凸包 16.6.2 覆盖 16.6.3 分割 16.6.4
11、 整点 16.7 图论 16.7.1 图的定义，性质 16.7.2 简单图，连通图 16.7.3 完全图，树 16.7.4 二部图，k 部图 16.7.5 托兰定理 16.7.6 染色与拉姆塞问题 16.7.7 欧拉与哈密顿问题 16.7.8 有向图，竞赛图 16.8 组合方法 16.8.1 映射法，对应法，枚举法 16.8.2 算两次法 16.8.3 递推法 16.8.4 抽屉原理 16.8.5 极端原理 16.8.6 容斥原理 16.8.7 平均值原理 16.8.8 介值原理 16.8.9 母函数法 16.8.10 染色方法 16.8.11 赋值法 16.8.12 不变量法 16.8.13
12、 反证法 16.8.14 构造法 16.8.15 数学归纳法 16.8.16 调整法 16.8.17 最小数原理 16.8.18 组合计数法 17.其他（others） （了解即可，不作要求）17.1 微积分，泰勒展开 17.2 矩阵，行列式 17.3 空间解析几何 17.4 连分数 17.5 级数，p 级数，调和级数，幂级数 17.6 其他1、平面几何 基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求：面积和面积方法。 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点-费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点-重心。三
13、角形内到三边距离之积最大的点 -重心。 几何不等式。 简单的等周问题。了解下述定理： 在周长一定的边形的集合中，正边形的面积最大。 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。 在面积一定的边形的集合中，正边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。 几何中的运动：反射、平移、旋转。 复数方法、向量方法。 平面凸集、凸包及应用。 2、代数 在一试大纲的基础上另外要求的内容： 周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。 三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。 第二数学归纳法。 递归，一阶、二阶递归，特征方程法。 函数迭代，求次迭代，简单的函数方程。 个变元的平均不等
14、式，柯西不等式，排序不等式及应用。 复数的指数形式，欧拉公式，棣莫佛定理，单位根，单位根的应用。 圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。 一元 n 次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。 简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。 3、立体几何 多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。 正多面体，欧拉定理。 体积证法。 截面，会作截面、表面展开图。 4、平面解析几何 直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。 二元一次不等式表示的区域。 三角形的面积公式。 圆锥曲线的切线和法线。 圆的幂和根轴。 5、其它 抽屉原理。 容斤原理。 极端原理。 集合的划分。 覆盖。竞赛内容和方式1、 联赛分第一试和第二试。2、 第一试的内容不超出现行高中数学教学大纲，其中包括六道选择题、六道填空题和三道解答题，难度维持在高考中高档试题的水平，能力要求略有提高。3、 第二试共有三道题。其中一道平面几何题、一道代数或数论题、一道组合题。内容以竞赛大纲为准。8：00-9：20，一试；9：40-12：10，加试（也就是二试） 。
