1、1一 元 二 次 函 数 零 点 分 布万 能 解 题 套 路作 者： 罗荷 玉（ 乐贝 思教 育发 展机 构 /电 话： 1354130108； Q： 1626316）一、导论一 元二 次函 数 ()0)( 2 += acbxaxxf 零 点 分 布问 题是 高考 和竞 赛经 常考 的内 容 ， 一般 的 参 考 书 将 这 种 问 题 归 结 为 10种 类 型 ， 其 中 “ 0分 布 ” 4种 ， “ k分 布 ” 6种 。 对 于 学 生来 说， 要熟 练掌 握这 10种 情况 ，并 能在 考试 中做 到对 号入 座， 短时 间的 训练 是做 不到 的。事 实上 ，对 绝大 多数 学
2、生 来说 ，一 元二 次函 数 零 点 分 布问 题普 遍掌 握得 很不 理想 因 为 ，按 10种 类型 去 学习 该问 题， 考的 似乎 不是 学生 的数 学能 力， 而是 学生 的机 械记 忆能 力。二、问题探源 一 元二 次函 数 ()0)(2 += acbxaxxf 零 点 分 布 ， 也 叫一 元二 次方 程根 的分 布 ， 是 指当 方 程 02 =+cbxax（ 相 当于 0)(=xf ） 的 根 1x、 2x呈 某种 分布 时 ， 如 当 2211 kxxk = （ 或0） 。 至此 ，我 们得 出 一元二次函数 零点 分布万能解题套路 如 下：解 题步 骤： =的关系。与、
3、确定 有实根的条件；的关系，即与、确定 的关系；、与、确定对称轴 的关系；与、确定二次项系数 0)()(4 0)(03 22 01 21 21kfkf xf kkabxa备 注 ： 对 于步 骤 2和 步骤 4， 因 为我 们知 道 ， 对 于对 称轴 abx2=， 我 们有 212xabx ，所 以对 2211 kxxk x， 且 02x” ） 已 知 一 元 二 次 函 数()0)( 2 += acbxaxxf ， 求 当 01x， 且 02x（ 21xx） 时 ， a、 b、 c的 取值 范围 。备 注： 一 般参 考书 上的 公 式 是 ： 01x， 02x =+ =000421212
4、acx abxx acb解 （万 能套 路解 ） ：301x， 02x = 0)()0( 04020 22 xfcf acbaba 或 =x，02x这 种特 殊情 况， 而第 二种 解的 操作 步骤 还适 合所 有其 它情 况。例 2、 已 知集 合 ( ) RxxmxA =+= ,012|2 ， 且 A， 若 =+RA， 求 实数 m的 取值 范围 。解 （万 能套 路解 ） ： 设 ( )12)(2 += xmxxf设 方程 ( ) 0122 =+xmx 的 实数 根为 1x、 2x， 且 21xx由 已知 021 =+ xxRA ( ) =+=+ 0)(1)0( 04202222xffm
5、m 0m 实 数 m的 取值 范围 为 )+,0例 3、 已 知 324)( 1+= +aaxf xx ， 且 在 1,中 存在 0x， 使 得 4)(0=xf ， 求 a的取 值范 围。 解 ： 有 已知 有， 要使 1,0x 时 ，有 4)(0=xf即 要使 1,0x 时 ，有 4324100 =+ +aaxx也 即要 使 1,0x 时 ，有 0124100 =+ aaxx又 当 1,0x 时 ， 2,120x令xt2=， 12)( 2 += atatxg 要 使 1,0x 时 ， 有 0124100 =+ aaxx ， 即 要使 2,1t ， 有 0122 =+atat01当 0=a时
6、， =+ 1,2210122 tatat ， 舍。402当 0a时1、 当 2,1t ， 方程 0122 =+atat 有 一个 根时 ， 当 22121 = 0)()2( 0)(1 014211022tgg tgg aaa 或 () = 0)()2( 0)(1 01421011tgg tgg aaa 或 () = 0)()2( 0)(1 0142121021tgg tgg aaa无 解。 备 注： 当 00)2(01 01421210gg aaa解 得： 25158+a5备 注： 当 0a” 的 情况 当 211a时 ， 有 221121 ， 所 以有 0)(211= tgg ，而 22t， 所以 有 0)()2( 2=tgg ， 前者 是 “ 小 于 ” ， 后者 是 “ 大 于等 于 ” 。
