1、第6章 树和二叉树,树的定义和基本术语,树是 n (n0) 个结点（数据元素）的有限集。若n=0，集合为空树；若n0，则集合对应一棵非空树，它具有如下特点：(1) 树中有且仅有一个特定的称为根的结点；(2) 当n1时，根以外的其余结点可分为m 个 (m0)互不相交的有限集。这些有限集本身又是一棵树，是根的子树。（递归定义） 抽象数据类型树的定义：ADT Tree 树结构的其它表示形式：嵌套集合形式、广义表形式、凹入形式,树的结点包含一个数据元素和若干指向其子树的分支 结点的度：结点拥有的子树的数目 树的度：树中结点的度的最大值 叶子（终端结点）：度为0的结点 非终端结点（分支结点）：度不为0的
2、结点 结点间的关系：双亲、孩子、兄弟、祖先、子孙、堂兄弟等 树的深度（高度）：树中结点的最大层次数（注：根为第一层，其孩子为第二层） 有序树和无序树：子树是否有次序 森林：m(m0)棵互不相交的树的集合,树的示例,A,B,C,D,G,F,E,H,I,J,二叉树,二叉树是另一种树形结构。它的特点是每个结点至多只有二棵子树（树中不存在度大于2的结点），并且子树有左右之分（有序树）。 抽象数据类型二叉树的定义：ADT BinaryTree 二叉树的五种基本形态：,二叉树的性质,性质1：二叉树的第i层上至多有2i-1个结点 性质2：深度为k的二叉树至多有2k -1个结点 性质3：对任何一棵二叉树T，如
3、果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1 性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为log2n+1 性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树按层次从左到右依次编号（根结点编号为1），则对任一编号为i的结点（1in），其双亲编号为 i/2 ，其左孩子编号为2i，右孩子编号为2i+1（如果存在的话）,完全二叉树的定义,由性质2，深度为k的二叉树至多有2k -1个结点，而结点数目达到最多的二叉树为满二叉树 对深度为k、结点数目为N（N= 2k -1 ）的满二叉树按层次从左到右编号，则编号为1，2，N。而深度为k、结点数目为n (nN)的二叉树，当且仅当其每一结点的编号都与深度为k的
4、满二叉树中编号为1n的结点一一对应时，称之为完全二叉树 深度为k的完全二叉树中，1k-1层的结点数应达到最多，其余结点在第k层依次从左往右排,二叉树的存储结构,根据二叉树性质5，对完全二叉树可按结点编号将其存于一组地址连续的存储单元中，结点之间的关系也可通过存储位置反映，即采用顺序存储结构。其类型定义为：#define MAX-TREE-SIZE 100typedef Telemtype SqBiTreeMAX-TREE-SIZE ;/0 号单元存储根结点，编号为i的结点存于i-1号单元 对于一般二叉树，则应将其每个结点与完全二叉树上的结点相对应，虚设结点后顺序存储。但有时虚设结点数反而多于二
5、叉树的结点数。所以，一般二叉树不宜采用顺序存储结构,二叉树的链式存储结构,二叉树的二叉链表存储表示结点结构：类型定义：typedef struct bitnode TElemType data;struct bitnode *lchild, *rchild; BiTNode, *BiTree; 二叉树的三叉链表存储表示结点结构：,二叉树的遍历,遍历二叉树：按某种顺序对二叉树中每个结点访问，使每个结点均被访问到且只被访问一次 遍历方法（限定遍历时先左后右）： 按根结点被访问的先后，分为先序、中序和后序三种遍历 按层次遍历二叉树,先序遍历二叉树的操作定义：若二叉树为空，则空操作；否则（1）访问根结
6、点；（2）先序遍历左子树；（3）先序遍历右子树。 中序遍历二叉树的操作定义：若二叉树为空，则空操作；否则（1）中序遍历左子树；（2）访问根结点；（3）中序遍历右子树。 后序遍历二叉树的操作定义：若二叉树为空，则空操作；否则（1）后序遍历左子树；（2）后序遍历右子树；（3）访问根结点。,例：二叉树的遍历,先序遍历序列：ABDGCEFIJ 中序序列：DGBAECIFJ 后序序列：GDBEIJFCA,A,B,C,D,G,F,E,I,J,递归的遍历算法,假设二叉树采用二叉链表表示，对树中结点进行打印输出的访问，则根据遍历操作的定义，可得如下先序遍历的递归算法：void PreOrderTranvers
7、e (BiTree t) if (t) printf (t-data); PreOrderTranverse (t-lchild);PreOrderTranverse (t-rchild); ,中序遍历的递归算法如下：void InOrderTranverse (BiTree t) if (t) InOrderTranverse (t-lchild);printf (t-data); InOrderTranverse (t-rchild); 后序遍历的递归算法如下：void PostOrderTranverse (BiTree t) if (t) PostOrderTranverse (t-l
8、child);PostOrderTranverse (t-rchild); printf (t-data); 由此可见，三种遍历算法的不同仅在于访问根结点的先后不同 递归的遍历算法的思想很重要，二叉树的建立就可按某种遍历顺序递归地来实现,非递归的遍历算法,递归函数在函数执行过程中直接调用本身，而且多层嵌套调用时，按照“后调用先返回”的原则，所以，为保证递归函数的正确执行，系统需设立一个“递归工作栈”来保存函数执行期间的数据（如函数的返回地址和参数等）。对于递归的遍历算法，也可以利用栈来实现其非递归化，从而得到非递归的遍历算法。具体的非递归遍历算法见P130P131。,线索二叉树,遍历二叉树是以
9、一定规则将二叉树中结点排列成一个线性序列，其实质是对一个非线性结构进行线性化操作。而在线性序列中，除第一个和最后一个结点外，每个结点只有唯一的前驱和后继。 如果在某次遍历过程中，记录下每个结点在该种遍历中的后继（或前驱），那么，在以后的遍历中就可“按图索骥”了。 在有n个结点的二叉树的二叉链表中，2n个指针中有n+1个空指针。现利用这些空指针来存储遍历过程中结点的前驱或后继。,现对二叉链表中的空指针域作如下规定：若结点的lchild为空，则令其指示结点的前驱；若rchild为空，则令其指示结点的后继。此种指针称为线索。 在如上规定情况下，为避免混淆，分清某一结点的指针到底是指向其孩子，还是线索
10、，就必须修改结点结构，再增加两个标志域ltag和rtag：如果指针指向其孩子，设标志域为0；如果指针为线索，设标志域为1。即得如下结点结构：,以这种结点结构构成的二叉链表叫做线索链表。加上线索的二叉树称为线索二叉树。对二叉树按某种次序遍历使其变为线索二叉树的过程叫做线索化。 线索化的过程即为在遍历过程中修改空指针的过程。所以，线索二叉树或线索链表必须指明是按哪种遍历次序得到的。 对于线索二叉树，无须栈的帮助即可实现其非递归的遍历算法。,树和森林,树的存储结构 双亲表示法 孩子表示法（包括孩子链表表示法） 孩子兄弟表示法 树、森林与二叉树的转换 利用树的孩子兄弟表示法和二叉树的二叉链表表示的相似
11、性 树和森林的遍历 树的先根、森林的先序遍历对应相应二叉树的先序遍历；树的后根、森林的中序遍历对应相应二叉树的中序遍历,赫夫曼树及其应用,赫夫曼树：又称最优树，是一类带权路径长度最短的树。本处讨论最优二叉树。 相关概念： 路径长度：结点间分支构成路径，其上的分支数目 树的路径长度：从树根到每个结点的路径长度之和 结点的带权路径长度：结点到树根之间的路径长度与结点上权的乘积 树的带权路径长度：树中所有叶子结点的带权路径长度之和，记为WPL= wk lk (k=1,2,n) 最优二叉树：n个叶子结点的权值分别为w1、w2、wn，由它们构造出的WPL最小的二叉树。,赫夫曼树的构造方法： 1. 根据给
12、定的n个权值w1、w2、wn构造n棵二叉树的集合F= T1、T2、Tn，其中每棵二叉树Ti中只有一权为wi的根结点，其左右子树为空。 2. 在F中选取两棵根结点的权值最小的树作为左右子树构造一新的二叉树，且置新的二叉树根结点的权值为其左右子树上根结点的权值之和。 3. 在F中删除这两棵树，同时将新得到的二叉树加入到F中。 4. 重复2、3，直到F中只含一棵树为止。即得所求。,例：假设n=8, w=5, 29, 7, 8, 14, 23, 3, 11, 按上述算法构造赫夫曼树的过程如下：1. 2. 3. 4.,5.6.,按上述算法构造赫夫曼树的结果如下：7.,赫夫曼树的应用赫夫曼编码 赫夫曼编码是一种前缀编码 前缀编码：为若干个字符设计不等长的编码，那么为了不对编码的理解产生二义，任一个字符的编码都不能是另一个字符编码的前缀，此种编码称为前缀编码。 例：见P148,上机实验二,以先序遍历方法建立二叉树的二叉链表表示，然后编写算法完成二叉树的先序、中序、后序等方法的遍历操作，并统计二叉树的总结点数和叶子结点数。,
