1、分数专题 第 1 页 共 17 页分数比较大小之万能法课堂上给孩子讲分数比较大小中的“作差法”。师：5/8 与 8/11 哪个大？生：8/11 大。师：为什么？生：1-5/8=3/8，1-8/11=3/11。3/83/11，所以 5/88/11师：很好，那为什么大于号要变成小于号呢？生：被减数相同，差越大，减数越小。师：分数比较大小中，什么时候用“作差法”呢？生：当两个分数分子和分母的差相等的时候，用“作差法”。师：（想：全让你说了，我讲什么？哼！）谁能快速的比较出下面分数的大小？（板书：18/19 和 118/119，2005/2008 和 1998/2001）生：（很快解决）师：有什么规律
2、，或方法吗？生：分子和分母的差相等的时候，分母大的分数就大！师：大家同意吗？生：同意师：这个结论永远对吗？生：思考中 ing师：比较 8/5 和 10/7 的大小生：（开始跳跃了，我的学生都爱犯这个毛病！不回答当前的问题，总想解决过去没有解决的问题！）真分数时。分母大的分数就大！假分数时，分母大的分数就小！师：终于别你发现了，这次这个结论就完整了！但是前提一定是在分子和分母的差相等的时候。大家记下来吧！多好的一个方法啊！生：恩。师：（想：全是学生发现的，没有成就感。切！再提出一个课题，让他们自己研究去，难难他们！）同学们，在分子和分母的差相等的时候，我们可以用上面的方法比较分数的大小，但如果分
3、子和分母的差不相等的时候，我也想用这个方法，怎么办？（注：备课中没备到，我发散了，你们也发散去吧！）分数专题 第 2 页 共 17 页生：思考状师：比如比较 9/25 和 5/13 的大小师：差不相等，但是差好象有点关系生：2 倍关系师：对啊，能把差变成相等吗？生：5/13=10/26，10/269/25，所以 5/139/25师：厉害啊！继续发散，差是整数倍完全可以把差变相等，如果两个差不是整数倍呢？师：随便出两个分数生：2/5生：7/17师：谁能解决？生：2/5 分子分母的差是 3，7/17 分母的差是 10，2/5=20/50，7/17=21/51，7/172/5师：太好了！当分子分母的
4、差相等的时候我们能比较大小，当分子分母的差不相等的时候，我们能把它们变成相等后比较大小，那么这不就是分数比较大小的万能法吗？生：万能法，万能法，呵呵！我很开心，学生更开心！尽管这个方法有时候对一些特殊的问题运用起来显的很笨拙，但是我的目的不是让孩子记住这个方法，实际在现实中他们会选择他们自己认为的好方法，而是让他们享受解决问题的过程。第 1 讲 比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。 对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大
5、小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。下面我们介绍另外几种方法。1.“通分子”。分数专题 第 3 页 共 17 页当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。2.化为小数。这种方法对任意的分数都适用，因此也
6、叫万能方法。但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。3.先约分，后比较。有时已知分数不是最简分数，可以先约分。4.根据倒数比较大小。5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。也就是说，分数专题 第 4 页 共 17 页6.借助第三个数进行比较。有以下几种情况：（1）对于分数 m 和 n，若 mk，kn，则 mn。（2）对于分数 m 和 n，若 m-kn-k，则 mn。前一个差比较小，所以 mn。（3）对于分数 m 和 n，若 k-mk-n，则 mn。注意，（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数 k 小于原来
7、的两个分数 m 和 n；（3）中借助的数 k 大于原来的两个分数 m 和 n。（4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。新分数一定介于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小，新分数与其中一个已知分数容易比较大小时，就可以借助于这个新分数。比较分数大小的方法还有很多，同学们可以在学习中不断发现总结，但无论哪种方法，均来源于：“分母相同，分子大的分数大；分子相同，分母小的分数大”这一基本方法。 练习 1分数专题 第 5 页 共 17 页1.比较下列各组分数的大小：第 2 讲 巧求分数我们经常会遇到一些分数的分子、分母发生变化的
8、题目，例如分子或分母加、减某数，或分子与分母同时加、减某数，或分子、分母分别加、减不同的数，得到一个新分数，求加、减的数，或求原来的分数。这类题目变化很多，因此解法也不尽相同。 数。分析：若把这个分数的分子、分母调换位置，原题中的分母加、减 1 就变成分子加、减 1，这样就可以用例 1 求平均数的方法求出分子、分母调换位置后的分数，再求倒数即可。个分数。分数专题 第 6 页 共 17 页分析与解：因为加上和减去的数不同，所以不能用求平均数的方法求解。，这个分数是多少？分析与解：如果把这个分数的分子与分母调换位置，问题就变为：这个分数是多少？于是与例 3 类似，可以求出在例 1例 4 中，两次改
9、变的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同时变化，那么会怎样呢？数 a。分析与解：分子减去 a，分母加上 a，（约分前）分子与分母之和不变，等于 29+43=72。约分后的分子与分母之和变为 3+5=8，所以分子、分母约掉45-43=2。分数专题 第 7 页 共 17 页求这个自然数。同一个自然数，得到的新分数如果不约分，那么差还是 45，新分数约分后变例 7 一个分数的分子与分母之和是 23，分母增加 19 后得到一个新分数，分子与分母的和是 1+5=6，是由新分数的分子、分母同时除以 426=7 得到分析与解：分子加 10，等于分子增加了 105=2（倍），为保持分数的大小不变，分母也应增
10、加相同的倍数，所以分母应加82=16。在例 8 中，分母应加的数是分数专题 第 8 页 共 17 页在例 9 中，分子应加的数是由此，我们得到解答例 8、例 9 这类分数问题的公式：分子应加（减）的数=分母所加（减）的数原分数；分母应加（减）的数=分子所加（减）的数原分数。分析与解：这道题的分子、分母分别加、减不同的数，可以说是这类题中最难的，我们用设未知数列方程的方法解答。（2x+2）3=（x+5）4，6x+6=4x+20，2x=14，x=7。练习 2分数专题 第 9 页 共 17 页是多少？ 第 3 讲 分数运算的技巧对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌握一些特殊的运
11、算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。1.凑整法与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整数、整十数从而使运算得到简化。分数专题 第 10 页 共 17 页2.约分法3.裂项法若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵消，则能大大简化运算。分数专题 第 11 页 共 17 页例 7 在自然数 1100 中找出 10 个不同的数，使这 10 个数的倒数的和等于 1。分析与解：这道题看上去比较复杂，要求 10 个分子为 1，而分母不同的就非常简单了。括号。此题要求的是 10 个数的倒数和为
12、1，于是做成： 所求的 10 个数是 2，6，12，20，30，42，56，72，90，10。的 10 和 30，仍是符合题意的解。分数专题 第 12 页 共 17 页4.代数法5.分组法分析与解：利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数相加。分母为 n 的分数之和为原式中分母为 220 的分数之和依次为练习 3分数专题 第 13 页 共 17 页8.在自然数 160 中找出 8 个不同的数，使这 8 个数的倒数之和等于 1。第 4 讲 循环小数与分数任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。那么，什么样的分数能化成有限小数？什么
13、样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。（1）中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只有质因数 2 和 5，化因为 40=235，含有 3 个 2，1 个 5，所以化成的小数有三位。分数专题 第 14 页 共 17 页（2）中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数 2 和 5。（3）中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数 2 或 5，又含有 2 和 5 以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位数与5，所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。于是我们得到结论：一个最简分数化为小数有三种情况：（1）如果分母只含有质因数 2 和 5，那么这个分数
14、一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数 2 与 5 中个数较多的那个数的个数；（2）如果分母中只含有 2 与 5 以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数；（3）如果分母中既含有质因数 2 或 5，又含有 2 与 5 以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数 2 与 5 中个数较多的那个数的个数。例 1 判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？分析与解：上述分数都是最简分数，并且32=2 5，21=37，250=25 3，78=2313，
15、117=3 313，850=25 217，根据上面的结论，得到：不循环部分有两位。分数专题 第 15 页 共 17 页将分数化为小数是非常简单的。反过来，将小数化为分数，同学们可能比较熟悉将有限小数化成分数的方法，而对将循环小数化成分数的方法就不一定清楚了。我们分纯循环小数和混循环小数两种情况，讲解将循环小数化成分数的方法。1.将纯循环小数化成分数。将上两式相减，得将上两式相减，得从例 2、例 3 可以总结出将纯循环小数化成分数的方法。纯循环小数化成分数的方法：分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是 9，9 的个数与循环节的位数相同。2.将混循环小数化成分数。将上两式相减，得分
16、数专题 第 16 页 共 17 页将上两式相减，得从例 4、例 5 可以总结出将混循环小数化成分数的方法。混循环小数化成分数的方法：分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位数字是 9，末几位数字都是 0，其中 9 的个数与循环节的位数相同，0 的个数与不循环部分的位数相同。掌握了将循环小数化成分数的方法后，就可以正确地进行循环小数的运算了。例 6 计算下列各式：分数专题 第 17 页 共 17 页练习 41.下列各式中哪些不正确？为什么？2.划去小数 0.27483619 后面的若干位，再添上表示循环节的两个圆点，得到一个循环小数，例如0.274836。请找出这样的小数中最大的与最小的。3.将下列纯循环小数化成最简分数：4.将下列混循环小数化成最简分数：5.计算下列各式：
