1、1第 8 章 几何非线性有限元分析8.1 大变形条件下的应变和应力度量一应变度量结构的初始构型： 0(1,23)ixP： ， Q：0ix00i ixdxt 时刻的构型： (1,23)tiP： ， Q：tixt ti ixdx2两种构型下的坐标可相互转化：* 拉各朗日（Lagrange ）描述000(,)ttiiiiixxx基于变形前的构型表述变形后的构型。以变形前的各点坐标为基本未知数，描述各个量。* 欧拉（Eular ）描述00(,)tttiiiiixxx基于变形后的构型表述变形前的构型。以变形后的各点坐标为基本未知数，描述各个量。3根据以上变换：， 0 00,0tt tii jijjjxd
2、xdxd 00 0,t tii jtijjtjxdxdxd定义： ， 0, 0tt iij jxx 00, itijtjxxPQ 线段的长度： 0200()iidsdxPQ变形后的长度： 2()t ttii4202 00 00000, ,0 000,0, 0()()( )2t tt t tkkkkkiikjjijijtt tkikjijij ijijdsdsdxdxxdxdxdxd , Green-Lagrange 应变（Green 应变）00,0,1( )2t ttij kikjijx 202 00 00, ,00,()()( )2t tt tt t tkkkkkktkiitkjjt tt
3、tttijkikjij ijijdsdsdxdxdxxdxdxd , Almansi 应变00,1( )2tij ijtkitkjx5定义位移向量： 0ttiiiux， 0, 0,0tt tiijij ijijjux ux0, ,0t titijij ijijjux ux00,0,0,0, 00001 1( )( )2 2tt ttjt t t tt i kkij ijjikikj j i jjuuuuuuxxx , , ,1 1( )( )2 2tt ttjt tttt i kkij ijjikikj t t ttj i jjuuuuuxxx 在小应变情况下： 工程应变01()2jtt ii
4、jijij jiuxx 6一应力度量欧拉应力张量（Green 应力张量）： tij表示变形后的构型的三个坐标面上的应力构成的张量。是对称张量变形后表面上的应力： ， tttdTStttdTS7变形前的应力：00dTS需要确定变形前、后的相应面上的力之间的关系。两种确定方法：（1） Lagrange 规定： 0()Lti idTdT（2） Kirchhoff 规定： 0()0,KtitijjdTxdT与坐标变换规律相同： 00,titijjxd8t tttiijjdTvdS， 0()0Lt ti jij idTTvdST：第一类 Piola-Kirchhoff 应力（Lagrange 应力张量）
5、 ，非对称0tji， 0() 000 ,Kt ti jij tijjdTSvdSxdT9：第二类 Piola-Kirchhoff 应力。Kirchhoff 应力张量，对称0tjiS各种应力张量之间的关系：（1）由质量守恒： 0 0 0,det()t t ijVVVddxdV0,0det()t ijx（2） ， 00 ,t tji tjmitTx 0,0tt ttji jmixT（3） ， 000 ,t tji tjmtinmntSx 0,0,0tt tttji jminmnxS（4） 00,0t tjitimjxT10注意： 是非对称张量， 是对称张量。0tjmT0tjiS118.2 几何非线
6、性问题的表达格式几何非线性问题的有限元分析，通常采用增量分析的方法。考虑直角坐标系内的物体，增量分析的目的是：确定物体在一系列时间点， ，处于平衡状态的位移，速度，应0,2,3,ttt变和应力。12一虚位移原理（虚功原理）：描述初始时刻的物体内各点坐标。0ix：描述时刻 t 的物体内各点坐标。ti：描述时刻 的物体内各点坐标。ttix tt， 0t tiiixu 0tt ttii ixu从 t 到 的位移增量：ttttti iiuu在 时刻应用虚功原理：tt13()tttt ttttijttijVedVW () ()tt tttt t tt tt ttkk kkS VWufudV , ,1()
7、( )21( )2ttij ttijttjijitt ttj ie uuxx增量法的求解的基本思想是：t 意见时刻的相应是已知的， 时刻tt的相应未知（待求） 。由两种方法：（1）完全 Lagrange 格式（T.L. 格式：Total Lagrange Formulation）以初始时刻的构型为参考构型。（2）更新 Lagrange 格式（U.L. 格式：Updated Lagrange 14Formulation）以 t 时刻的构型为参考构型。二完全 Lagrange 格式单位初始表面上的等效荷载（面力）： 0ttk单位初始质量上的等效荷载（体力）： 0ttkf如果荷载不随变形变化（保守力
8、）： 0ttttttk kdSdS00tttttt ttk kfVfdV由质量守恒，可知： 0ttttttk kff150 0,0, 0,0,0,0, 0,0,1 1()( )2 21() ()2tt tttt ttttij kikjij kikjtttt ttttkikj ki kjxx xxxxxx 0 00,0, 0 00 00, 0,()()()()( )( )( )( )tttt kkkk k kkikj ki kji j i jtt ttkmknki kjtt ttmi njtt ttk kki mikj njtt ttm nuuuuxxxxxxu uxxxxu ux x 0,0,
9、 0,0, 0,0,0,0,( )() ()( )tttt tttt ttttk kkikj mikj njkitt ttm nttttnnminjtt ttmmu uxx xx xxx xuuxxx , , , ,)(tt tttt ttttnij inj tmminjtt ttmu ex 16应力： 0000 ,tt ttji ttjmtinmntSx 00000 , ,0,0,0() ()()tttt ttttttji ij ttjmttinminjmnttmntmnttmntS xxxxee 0 0 000() ()()ttttttji ij mnttmntV Vtt ttijttij
10、VSdedVe 因此，虚功原理可表示成： 000()tttt ttji ijVSdVW170 000 0() ()() ()tt tttt t tt tt ttkk kkS Vtt tt ttkk kkS VWudfudVf 为了便于求解：将应力和应变分解成：从 t 到 时刻引起的应力增量000tt tjijijiSStt从 t 到 时刻引起的应变增量000tttjijiji tt00()()ttji ji18将应变增量进一步分解：000ijijije0000, 0,0,0, 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,01 1( )( )2 2( ()()1( )
11、2(tttij ijijtttttttt t t ttij ji kikj ijjikikjt t t tijijjijikjkjkikit t ttijjikikjijjiuuuuuuuuuu ,0,0,0, 0,0,1)2t tkjkikjki kjkiuu1900,0,0,0,0,0,1( )2t tij ijjikjkikjkieuuuu00,0,12ij kjkiu虚功原理可进一步写成： 0 0 00 0 0() () ()t tt tjiij jiij jiijV V VSdSdVWSedV T 时刻的应力相当于初应力。可转化成等效荷载体现在方程中。三更新的 Lagrange 格式
12、更新的 Lagrange 格式的表达式，与完全 Lagrange 格式类似。所不同的是，参考构型是 t 时刻的构型。表达式中的 0 指标改20成 t，即可获得更形的 Lagrange 格式的表达式。（略）四平衡方程的线性化（1） 物理方程的线性化： 000ijijklklSD对于弹性材料，该关系式准确的。如果是小变形，则有材料的弹性常数张量。0ijklijklD（2） 求解格式的进一步线性化： 0 0000 0000000000() ()()()()()jiij ijklklijV VijklklijVijklklijklijklijVSdDdVeDedV 22带入虚功方程， 0 0 00 0 0() () ()t tt tjiij jiij jiijV V VSdSdVWSedV 可获得用位移和应变表示的虚功方程： 0 0 000 0 0() () ()t tt tijklklij jiij jiijV V VDedSdVWSedV
