1、第七章 光的衍射,7.1光波的标量衍射理论 7.2菲涅耳衍射 7.3夫琅禾费衍射 7.4光学成像系统的衍射和分辨本领 7.5衍射光栅,缝较大时，光是直线传播的,缝很小时，衍射现象明显,7.1 光波的标量衍射理论,衍射现象：,光线偏离直线传播的现象.,7.1.1 衍射的基本概念,障碍物(衍射屏)的复振幅透射系数,刚刚透过衍射屏的复振幅表示为：,衍射图样和衍射屏的结构一一对应，衍射屏结构越细微，相应的衍射图样越扩大。,衍射现象的基本问题：,已知,或已知,或已知,7.1.2 惠更斯-菲涅耳原理,惠更斯原理：波前（面）上的每一点都可以看作一个发射球面子波的新的波源（次级扰动中心）.在后一时刻,这些子波
2、的包络面就是此刻新的波前。利用该原理可说明衍射现象的存在。如右图所示，s为单色点光源。,没有回答光振幅的传播问题 没有回答光相位的传播问题,惠更斯原理的不足：,惠更斯菲涅耳原理：波前外任一点的光振动应该是波前上所有子波相干叠加的结果，补充了惠更斯原理。,单色点光源S在波面上任一点Q产生的复振幅为,R是波面的半径,A为离点光源单位距离处的振幅,为倾斜因子,面上ZZ范围内每一面元在P点产生的复振幅总和为：,惠菲原理的数学表达,衍射实质上是无穷多个子波在空间的相干叠加.积分面可以任选,不一定是某一等相面,设在该衍射面上的复振幅为,则,惠菲原理的推广,说明：,惠菲原理的问题:（1）C没有具体形式， （
3、2）K() 没有理论依据，且没有确切的表达式。,7.1.3菲涅耳基尔霍夫衍射公式,基尔霍夫从波动微分方程出发，利用格林定理及电磁场的边值条件，找到了惠菲原理的较完善表达式,菲涅耳基尔霍夫衍射公式,其中,表明子波源的位相比自s传来到上的波位相超前/2。,当点光源离开衍射屏足够远，使入射光可看成 平行光入射，则,因此,7.1.4基尔霍夫衍射公式的近似,1、傍轴近似,z1衍射屏限度和观察屏范围，有, 取,2、菲涅耳近似和菲涅耳衍射公式,菲涅耳近似,当,时,菲涅耳衍射公式,卷积形式:,3、夫琅和费近似和夫琅和费衍射公式,菲涅耳近似,夫琅和费衍射公式,可忽略,将积分限扩展为到,由菲涅耳近似所确定的衍射区
4、称为菲涅耳衍射区，由夫琅和费近似所确定的衍射区称为夫琅和费衍射区，它包含于菲涅耳衍射区内。菲涅耳衍射是近场衍射，而夫琅和费衍射是远场衍射。,说明：,当然，近场、远场的划分是相对的，对一定波长的光来说，衍射孔径愈大，相应的近场与远场的距离愈远。,孔的投影,夫琅禾费衍射,圆孔的衍射图象：,7.2 菲涅耳衍射,7.2.1 菲涅耳波带法及圆孔、圆屏菲涅耳衍射,，,表示各个波带面积近似为常数,但变化十分缓慢，近似有：,当N足够大时,讨论：1、,点亮暗交替变化。,3.当衍射孔径很大，则,过渡到几何光学。,4.若考察观察屏上任意点P，以P为中心，以半径rj为,与衍射屏平面相交成圆。圆孔中心为O。此时z1为P
5、点到衍射屏距离.,圆孔衍射图样：中心或明或暗的环形条纹。,分别作出一系列球面，,圆屏衍射图样：中心为亮点，周围亮暗相间的圆环条纹。,所不同的只是光的强弱有差别而已,菲涅耳圆屏衍射,7.2.2菲涅耳透镜（菲涅耳波带片）,一、原理,在菲涅耳波带中，设法挡住奇数带（或偶数带），则 点的光强会大大增加,这种特殊衍射屏（光阑）称为菲涅耳波带片，或菲涅耳透镜。,例如，设波带片包含20个波带，让10个奇数带通光，而10个偶数带不通光，则 点振幅为：,加波带片后 点光强是不存在光阑时的400倍.,二、焦距,三、物象关系,点光源S照明波带片，像点应在S处，满足：,代入方程得：,四、 多焦点问题,菲涅耳透镜利用光
6、的衍射原理实现聚光，不同于普通透镜利用光的折射原理。其表现在于，菲涅耳透镜还有多个次焦点，其焦距为：,（相邻波带光程差是 ）,（相邻波带光程差是,另外，还有一系列与这些焦点相对应的虚焦点。,五、 色散关系,除了用挡住奇（偶）数波带的办法，还可用相位补偿的办法做成二元相位菲涅尔透镜。由,知，焦距与波长成反比，这与一般光学透镜的色散相反，故可以利用玻带片和普通透镜相结合，达到消色差的目的。,优点：适应波段范围广。比如用金属薄片制作的波带片，由于透明环带没有任何材料，可以在从紫外到软X射线的波段内作透镜用，而普通的玻璃透镜只能在可见光区内使用。 此外， 还可制作成声波和微波的波带片。,菲涅耳波带片与
7、普通透镜相比：,主要缺点：色差较大。波带片的焦距与波长成反比，使得波带片的色差比普通透镜大得多。,7.3 典型孔径的夫琅和费衍射,7.3.1夫琅和费衍射系统与透镜作用,7.3.2、矩孔衍射,设矩形孔的长和宽分别为 a和b，用单位平面波照射,观察平面上任一点P处的复振幅,对于在透镜光轴上的P0点，,，复振幅,P点的光强为:,其中，,讨论x轴上点的强度分布，此时y=0，故,，中央主极大,（2）当,极小,（3）次极大,即,（4） 次极大宽度,衍射效应明显,反之亦然,（5）中央主极大的半宽度和角半宽度：,（6）在y轴上的强度分布,（7）中央亮斑集中了光能的绝大部分,沿对角线方向第一个次极大对应于,所以
8、,7.3.3 单缝衍射,称为单缝衍射因子,的衍射角方向为光强极小值(暗条纹)。,单色光照明时，当=0， 对应于=0的衍射位置是光强中央主极大值(亮条纹)；,当=m，对应于满足,对上式两边取微分，有,相邻暗条纹的角宽度为,对于中央亮条纹，其角宽度0为的两倍， 即,正负K级暗 (亮)纹之间的距离为：,用线光源照明的单缝夫朗和费衍射装置,7.3.4 多缝的夫琅和费衍射,、光强计算,每个单缝在P点的复振幅为：,为常数,相邻单缝在P点产生的相位差,则N个单缝在P点的合振幅为：,因此光强为：,多光束干涉因子,单缝衍射因子,二、衍射图样,(1)包络线零值,影响光强在各主极大间的分配,(2) 主极大,(3)极
9、小,当,即,(4)次极大：相邻两个零值之间也有一个次极大。两个主极大间，有N-2个次极大,(5)缺级现象,此时在应该干涉加强的位置上没有衍射光到达，称为缺级,即：,d = 4a,(6)主极大的半角宽度,可见，主极大的半角宽度与N成反比，当N增大时，衍射图样最显著的改变就是亮纹变成很细的亮线。,夫朗和费单缝、 双缝、 多缝衍射的衍射图样照片 (a) 单缝；(b) 双缝；(c) 3缝；(d) 5 缝；(e) 6 缝；(f) 20 缝,7.3.5 圆孔的夫琅和费衍射,利用零阶和一阶贝塞尔函数的性质，可推得,衍射图样讨论：,当 时，,即在中心有极大强度点，称为爱里斑,当 时，,，出现暗环,当,时，出现
10、次级极大,爱里斑半径是：,圆孔夫琅和费衍射,第一暗环所围成的中央光斑称为爱里斑,爱里斑半径r0 对透镜光心的张角称为爱里斑的半角宽度,圆孔衍射的光强分布,例：小孔直径的测量,当 时，,出现暗环,测量时小孔离开中心位置，衍射圆环并不移动。,（1）、衍射现象扩散程度与孔径大小成反比。,（2）、衍射屏在自身平面内平移不改变衍射图样的位置和形状，只是存在一附加相位,7.3.6、夫琅和费衍射有以下特点：,（3）、倾斜平面波照明孔径，使衍射图样产生平移。,（4）互补屏的夫琅和费衍射图样的强度，除了中心点外，具有相同分布巴比涅原理,设有两个互补屏，复振幅透射系数,进行傅里叶变换得：,因此除去中心点，有,例
11、动态丝径仪,测得细丝的夫琅禾费衍射零级亮纹的宽度2W,衍射第一极小对应的衍射角为,(x1,y1),7.4 光学成像系统的衍射和分辨本领,7.4.1、在像面观察的夫琅和费衍射,按照菲涅尔衍射计算式，像面上复振幅分布为：,照相物镜、显微镜等仪器，一般是对近处的点物成像。按照波动光学的观点，像S是会聚球面波在孔径光阑上的衍射像斑。,(x1,y1),因为孔径光阑受会聚球面波照射，对于光阑上任意一点Q，设QS距离为r，所以有:,根据菲涅尔近似条件,此处有:,所以:,可见，像面上观察的衍射像斑可看成单色平面波垂直入射到孔径光阑，并在一个焦距为R的透镜的后焦面上产生的夫朗和费衍射的复振幅分布。,对比夫琅和费
12、衍射公式，,说明在像面上观察到的近处点物的衍射也是孔径光阑的夫琅和费衍射图样，相应的爱里斑半径为：,7.4.2 光学仪器分辨本领的衍射极限,1、物与像的关系,几何光学 物像一一对应，像点是几何点,物理光学 像点不再是几何点，而是具有一定大小的艾里斑。,点物S和S1在透镜的焦平面上呈现两个艾里斑，屏上总光强为两衍射光斑的非相干迭加。,当两个物点距离足够小时，就有能否分辨的问题。,2、瑞利判据,当一个象点的衍射光斑主极大和另一个像点的衍射的第一极小值重合时，两个像点刚好被分开.,可分辨,恰可分辨,不可分辨,瑞利判据,满足瑞利判据的两物点间的距离，就是光学仪器所能分辨的最小距离。对透镜中心所张的角0
13、称为最小分辨角。,最小分辨角的倒数称为仪器的分辨本领,分辨本领与D成正比，与波长成反比：D大，分辨本领大；波长小，分辨本领大,*望远镜的分辨本领和物镜口径,望远镜的角分辨本领决定于物镜的口径Do，望远镜的孔径光阑是物镜，望远镜的最小分辨角为：, 不可选择，,世界上最大的光学望远镜：,D = 16 m,望远镜的作用:角度放大,人眼的最小分辨角：,照像物镜的分辨本领,底片位置与物镜焦面大体重合，在感光底片上，能分辨的最靠近的两直线的距离为 ：,照相物镜的分辨率以像面上每毫米能分辨的直线数N来表示,显微物镜的分辨本领：,艾里斑的半径为,按照瑞利判据，两衍射图样刚好可以分辨，两点物之间的距离 就是物镜
14、的最小分辨距离。,如果两个衍射图样的中心之间的距离,因,故,显微镜物镜的成像满足阿贝正弦条件,n、n为物方和像方折射率。对显微镜，n=1，,是物镜的数值孔径,*几点说明：,显微镜的有效放大倍数：,比如，显微镜的N.A.=1.5,照明波长为550nm的有效放大倍数：,这是光学显微镜的最大放大倍数，因为超过Meff的放大倍数以试图看到小于的细节是徒劳的。,提高分辨率的方法之一是提高N.A.，可通过油浸和使用广角透镜获得较大的数值孔径。不过N.A.最大为1.5左右，此时 /2,这是传统光学显微镜的极限分辨率半波长。,2、提高显微镜分辨率的途径：,选择短波长光照明是提高显微镜分辨本领的另一个途径。,*
15、电子显微镜： 利用运动电子的具有波动性制造的电子显微镜，因为电子的德布罗意波长极短，所以它有极高的空间分辨本领。,电子显微镜的分辨率，电子束发散角较小，u00.16rad；,电子波长取决于电子的加速电压：,电子显微镜下的病毒照片,利用多缝最简单的衍射光栅，可以得到亮度大，分得开，宽度窄的明条纹！,对于单缝： 若缝宽大，条纹亮，但条纹间距小，不易分辨 若缝宽小，条纹间距大，但条纹暗，也不易分辨 因而利用单缝衍射不能精确地进行测量。,衍射光栅：能够对入射光波的振幅或位相或同时进行空间周期性调制的光学元件，其主要作用是作为分光元件 。,7.5 衍射光栅,衍射光栅的分类： 1、对光波的调制分式：振幅型
16、和相位型 2、工作方式：透射型和反射型 3、光栅工作表面的形状：平面光栅和凹面光栅 4、对入射波调制的空间：二维平面光栅和三维体积光栅 5、光栅制作方式：机刻光栅、复制光栅、全息光栅,一、光栅方程,适用于正入射的光栅方程：,7.5.1 衍射光栅概述,适用于斜入射的光栅方程：,当衍射光与入射光在法线同侧时取加号，异侧取减号,二、 光栅的色散,如入射光波是复色光，对应同一级衍射m,不同波长的光将有不同的衍射角.,这种现象称为光栅色散.,（1）正入射时，零级（m=0）主极大的衍射角都是=0；斜入射时，sini=sin，即i=对应零级谱。,（2）越是高级（m越大）主极大，不同波长的主极大的衍射角错开越
17、大,1、角色散,2、线色散,波长相差0.1 nm的两条谱线分开的角距离称为角色散,在聚焦物镜的焦平面上，波长相差0.1 nm的两条谱线间分开的距离。,由于实用衍射光栅的光栅常数d通常都很小，亦即光栅的刻痕密度1/d很大，所以光栅光谱仪的色散本领很大。如果我们在不大的位置记录光栅光谱，cos几乎不随变化，则色散是均匀的。对于某一确定的级次m, d/d=m/d=常数，即光栅的角色散与波长无关，衍射角与波长变化成线性关系，这种光谱称为匀排光谱。,三、光栅的色分辨本领,色散本领表示不同波长的两个主极大分开的程度。由于衍射，每一条谱线都具有一定宽度。当两谱线靠得较近时，尽管主极大分开了，它们还可能因彼此
18、部分重叠而分辨不出是两条谱线。色分辨本领表征光谱仪分辨开两条波长相差很小的谱线能力。当同一级不同波长的的极大刚好与+的相邻极小相重合时，由瑞利判断认为刚好可分辨。就是能分辨的最小波长差。,定义色分辨本领 ：,四、光栅的自由光谱范围,光谱仪的自由光谱范围是指它的光谱不重叠区,即,光栅在低级次下使用，故其自由光谱范围很大， 在可见光范围内为几百nm，所以它可在宽阔的光谱区内使用。而F-P干涉仪在使用时的干涉级次均较高(一般为105量级)，只能在很窄的光谱区内使用。,由于第三级缺级，有,解：,例：用波长为500nm的单色光垂直照射到每毫米有500条刻痕的光栅上，若缝宽与缝间距相等，求：用此光栅最多能
19、看到几条明纹。,由光栅方程,解：光栅常量,理论上能看到的最高级谱线的极限，对应衍射角=/2，,第2、4级明纹不出现，从而实际只能看到5条明纹。,即最多能看到第4级明条纹,考虑缺级条件,d/a=(a+a)/a=2,一、闪耀光栅,不同波长的零级主峰重合，即所谓“零级无色散”，同时正好处在单元衍射因子的最大值上，对光能是极大的浪费。 光谱分析只需要其中一个序列光谱，但是透射光栅的衍射光强分散到正负各级光谱中，也是对光能的浪费。使我们观察的那级光谱只能分配到少量的能量。,7.5.2 几种典型光栅,干涉零级主极大与单缝衍射主极大重合，起因于干涉和衍射的光程差均由同一衍射角决定。如图所示, 光沿任一角度i
20、入射时，衍射单缝的缝两边缘点之间的光程差为,衍=a(sini-sin),多缝干涉的相邻缝之间的光程差为,干=d(sini-sin),显然，=i时，两个极大(单缝衍射主极大与干涉零级主极大)的方向一致。 因此， 要想将这两个极大方向分开， 必须使衍射和干涉的光程差分别由不同的因素决定。,闪耀光栅的结构,闪耀光栅的刻槽面与光栅面间有一夹角b ，适当选择光栅闪耀角b ，就可使得0级单槽衍射主极大与多槽干涉某一m级主极大重合,照明方式,（2）沿N的方向入射,（1）沿n的方向入射,（1）沿n的方向入射,槽间光程差：,现在假设一块闪耀光栅对波长b的一级光谱闪耀，则,单槽衍射中央主极大方向正好落在b的一级谱
21、线上。,槽间干涉因子,单槽衍射因子,闪耀光栅衍射场,由于闪耀光栅的单槽宽度a和光栅周期d相近，使得一级闪耀波长的其他级别的主峰方向，正好落在单槽衍射的零点上，均成为缺级，从而全部消失，仅保留了一级主峰，因此闪耀光栅仅有一列光谱。,衍=a(sini+sin),干=d(sini+sin),现在的优质光栅可以把近 80%的能量集中到所需要的b的一级光谱上去，使其闪耀，b称为一级闪耀波长。,由上式还可以看出，对b的一级光谱闪耀的光栅，也分别对b/2、b /3、 的二级、 三级、 光谱闪耀。不过通常所称的某光栅的闪耀波长，是指光垂直槽面入射时(称为里特罗(Littrow)自准直系统)的一级闪耀波长b 。
22、,（2）沿N的方向入射,单槽的零级衍射角为 =2 b 。 此时的相邻槽衍射线之间的光程差为：,单槽衍射场，按几何光学定律传播的方向是衍射的零级方位。,满足 的波长为 的光波在 方向出现一级主峰， 称为一级闪耀波长,满足 的波长为 的光波在 方向出现一级主峰， 称为一级闪耀波长,最后还应指出，尽管严格说来闪耀光栅在同一级光谱中只对闪耀波长产生极大的光强，而对其它波长则不能，但由于单槽衍射的中央主极大到极小有一定的宽度，所以闪耀波长附近一定波长范围内的谱线也会得到相当程度的闪耀。,这样，把单槽衍射零级方向变成了槽间干涉的非零级，产生高衍射效率的色散。克服了透明光栅的单缝衍射零级和缝间干涉零级重合。
23、,二、正弦（振幅）光栅,可按正弦或余弦函数规律调制入射光波的振幅，其复振幅透射系数为：,表示光栅对光波振幅调制的幅度,设光栅有N个周期，则光栅面上复振幅,衍射屏上复振幅为,表示正弦光栅衍射只有三级谱线，即0级，1级和-1级,三、正弦相位光栅,它能按正弦规律对入射光进行相位调制，可以通过使光栅的光学厚度成正弦型变化来实现。,四 其他光栅,全息光栅，是依据全息照相原理制作的。由两束相干平行光，以2夹角在全息底片上相交，形成明暗交替的等间距、平行直干涉条纹， 条纹间距为,用阶梯形状达到增加光程的目的。 光程差偏转产生的程差玻璃厚度产生的程差,阶梯光栅:,二维光栅,d1,衍射结构因子，它决定了衍射主级强的方位角(1，2)。,衍射结构因子，它决定了衍射主级强的方位角(1，2)。,图为二维晶面的夫琅禾费衍射强度结构因子,相应的主峰半角宽度:,
