1、16 二维傅立叶变换的基本性质,假设函数 f(x,y)，g(x,y)和h(x,y)的频谱分别为F(fx,fy)， G(fx,fy)和H(fx,fy)。,1.线性性质,设a、b为任意常数，则,线性性质反映了波的叠加原理。,2.缩放性质,这表面原函数 f(x,y)在空间域压缩（|a|,|b|1)，则其频谱在频域扩展。反之，原函数 f(x,y)在空间域扩展（ |a|,|b |1)，则其频谱在频域收缩。,频谱函数的有效宽度和原函数的有效宽度之间存在反比关系。,当a=b=-1时：,3.位移性质,这表面原函数 f(x,y)在空间域平移，则其频谱在频域相移。,这表面原函数 f(x,y)在空间域相移，则其频谱
2、在频域平移。,4.转动性质,这表面原函数 在空间域转动，则其频谱在频域也转动相同角度。,6.卷积定理,即两个函数卷积的傅立叶变换对于两个函数各自傅立叶变换的乘积。,即两个函数乘积的傅立叶变换对于两个函数各自傅立叶变换的卷积。,5.Parseval定理,即信号在空域中的能量与其在频域中的能量相等。,7.自相关定理,即信号的自相关函数与其功率谱函数之间存在傅立叶变换关系。,同样，利用卷积定理，可得：,8.共轭变换定理,注意：,1 7 傅立叶贝塞尔变换,在某种坐标系下，一个二元函数可写成两个一元函数的乘积，这个函数就是可分离变量的。,比如，在直角坐标系中：,比如，在极坐标系中：,定理：设直角坐标系中
3、的函数g(x,y) 可分离变量，则：,下面我们讨论极坐标系中的傅立叶变换。,由极坐标系与直角坐标的变换关系：,若在极坐标系中函数g(r,) 可分离变量：,则在极坐标系中函数g(r,) 的傅立叶变换：,极坐标系中的傅立叶变换要比直角坐标系复杂，为此我们考虑一种比较简单的情况：函数是圆对称的。这时：,这样，积分简化为：,继续简化上式，利用贝塞尔恒等式：,式中，J0是零阶第一类贝塞尔函数。这样，简化为：,我们看到圆对称函数的傅立叶变换仍然是圆对称的。这种变换叫做傅立叶贝塞尔变换，可用符号表示为B。,傅立叶贝塞尔变换的性质和傅立叶变换基本相同，只是：,【例一】,求圆域函数的circ(r)傅立叶贝塞尔变
4、换。,圆域函数的circ(r)傅立叶贝塞尔变换:,利用贝塞尔函数的性质：,18 常用傅立叶变换对,【例一】,【证明】,利用傅立叶变换的位移性质，,考虑到逆变换，不难得出：,【例二】,【证明】,【例三】,【证明】,请参考p25例2。,【例四】,【证明】,【例五】,【证明】,由梳状函数的定义，,梳状函数的是周期为1的周期函数，所以可按傅立叶级数展开。,其中傅立叶系数Cn一般是复数：,这样，就得到了梳状函数的傅立叶级数展开式：,19 线性系统与线性空不变系统,系统：抛开具体的物理装置，我们把系统定义为一种映射（变换），它把一组输入函数变换成一组输出函数。,1.系统的定义与算符表示,对于确定性（非随机
5、）的系统，一个确定的输入必定对应一个独一无二的输出。但每个输出却不一定对应一个独一无二的输入，并且有些输入并没有输出。因此我们讨论的映射是多一映射。,对系统的输入称为激励，而系统对此激励产生的输出称为响应。,表示系统的一个简单办法是用一个数学算符S 。,根据定义激励和响应由下式联系：,2.线性系统,系统是多种多样的，对于系统的一般性讨论，到此为止。,如果一个系统对于所有激励函数f和g及所有复常数a和b均满足：,则称此系统为线性系统。,线性系统的巨大好处：把系统的任意一个输入分解成一些“基元”函数后，能够将系统对该输入的响应用系统对这些基元函数的响应表示出来。,下面的问题就是怎么分解输入，或者说
6、如何选取基元函数。,对于光学系统，常用的基元函数有函数，复指数函数和正（余）弦函数。,3.冲击响应函数与叠加积分,由函数的筛选性质，可以把系统的输入函数写成：,通过此式，f(x1,y1)可以看出带有权重的无穷多个不同位置的函数的线性组合。,要求系统对于f(x1,y1)的响应：,其中：,h(x2,y2;,)表示输入平面上位于x1= ,y1= 处的单位冲击函数（点光源），通过成像系统后在像平面上的输出。,由于一般成像系统都有像差且通光孔径有限，这样，输入平面的一个点(函数)在输出平面不在是一个点，而是扩展成一个弥散的斑，因此h(x2,y2;,)叫做点扩展函数。,从什么的分析不难看出：线性系统的性质
7、完全可以由它对单位脉冲的响应h(x2,y2;,)来表征。,换言之，只要知道了h(x2,y2;,)，任何输入所对应的输出都可以通过叠加积分来获得。,4.线性空不变系统 传递函数,如果一个线性系统输入函数f(x1,y1)对应的输出函数是g(x2,y2)，当输入函数发生一个平移，输入函数f(x1,y1)变成f(x1x0,y1x0)，若系统相应的输出函数也只是平移，亦即g(x2Mx0,y2Mx0)，则说系统是一个线性空不变系统（LSI）。M是横向放大率。,理想的成像系统是线性空不变系统。,线性空不变系统的特性,冲击响应具有较简单的形式,对于线性空不变系统有：,即，当点光源在物场中运动时，其像斑只改变位
8、置，而不改变函数形式。这叫做等晕性。,实际光学系统都有像差，所以不会在整个物场等晕。,叠加积分（197）新的形式,由卷积的定义：,显然，冲击响应函数h完整地描述了LSI系统，所以h函数称为LSI系统输入输出关系的空域描述。,傅立叶变换形式特别简单,对上式进行傅立叶变换：,称为系统的传递函数。,5.线性空不变系统的本征函数,若复函数f(x,y)满足：,其中a是一复常数。,这时，称f(x,y)为系统的本征函数，a为此本征函数的本征值。,本征函数通过系统之后，不改变函数形式。输出和输入相比的结果是一个复常数。,对于光学系统，常用的基元函数有函数，复指数函数和正（余）弦函数。,这些函数正是LSI系统的本征函数。,设LSI系统S 的传递函数为H(fx,fy)，输入函数为f(x,y)。,其频谱为：,输出函数频谱为：,（乘法性质）,用傅立叶逆变换可得输出：,（筛选性质）,其频谱为：,（平移性质）,输出函数频谱为：,用傅立叶逆变换可得输出：,这种基元函数常用于非相干成像系统中，这种系统的冲击响应是实函数，因此其频谱函数是厄密函数：,令：,不难看出：,输入余弦函数频谱为：,输出函数频谱为：,用傅立叶逆变换可得输出：,将传递函数代入，利用其奇偶性：,
