1、提高 GM(1,1)模型预测精度的的三种方法安强(西安理工大学 理学院，西安 710054)摘要：GM(1,1)模型具有一定的适用范围.文章综述了三种增加预测精度的模型：小波GM(1,1)模型，改进的 GM(1,1)模型以及残差 GM(1,1)模型。前者用小波变换处理序列后减少序列的随机性，然后用 GM(1,1)模型进行预测。后者通过对参数的精确化使得模型更加精确。 关键词：GM(1,1)模型；小波变换；残差中图分类号：N 941.5 文献标识码：AThree methods to improve the GM (1, 1) model of the prediction precisionA
2、N Qiang(science school, xian university of technology, xian 710054,China)Abstract: GM(1,1) model has error. This paper summarized three models to increase the precision of forecasting: wavelet GM(1,1) model , improved GM(1,1) model and residual GM(1,1) model. The first method uses wavelet to reduce
3、the random of the order, the second method uses GM(1,1) model to forecast. The Last one makes the model more exact by the accurate parameter.Keywords: GM(1,1) model; Wavelet Transform; residual1 前言随着人类科学知识的日益深化和扩展，需要对未来的事物做出预测，20世纪80年代，邓聚龙教授创立灰色系统理论并受到众多学者和实际工作者的热情支持和关注。邓聚龙教授提出的灰色系统理论，是以信息不完全的系统为研究对
4、象，运用特定的方法描述信息不完全的系统并进行预测、决策、控制的一种系统理论灰色GM(1,1)模型 1是灰色系统理论的主要内容之一该模型是一种时间序列预测模型，它能根据少量信息建模和预测，因而已得到广泛的应用。但是GM(1,1) 模型在许多情况下预测精度并不高，即使拟合纯指数序列也得不到满意的结果，因此一些学者对其进行了研究.刘思峰研究了GM(1,1)模型的适用范围 2，谢乃明提出了离散GM(1,1)模型 3，李大军提出了GM(1,1)模型，每一种研究对于提高灰色预测模型的精度都有一定的意义文章综述了三种提高GM(1,1)模型预测精度的方法.2 GM(1,1)模型的适用范围 2命题 1 当 时，
5、GM(1,1)模型无意义22112nnkkzz命题2 当GM(1,1)发展系数 时，GM(1,1)模型无意义。a当所给出的一组序列满足这两个命题中的一个时，我们用 GM(1,1)模型进行预测，为提高精度，我们可以用以下两种方法。3 提高 GM(1,1)模型预测精度的三种方法方法一：小波GM(1,1)模型 4、5 。由基于小波生成的小波函数系可表示为(1),1abtbta对任意的函数或者信号 ，其连续小波变换定义为ft(2)_, ,1,f ababRRtWabfxtdftdt其中： 。,0小波变换分为连续和离散两种 ,在使用小波变换重构信号的过程中 , 常采用离散化处理。尽管在变形预测中使用的数
6、据是离散时间序列 , 但这里的离散化不同于习惯上的时间离散化 , 它不针对时间变量t ,而是针对连续的尺度参数a和连续的平移参数b。在实际中采用的是动态采样网格 , 最常用的是二进制的动态采样网格 ,即 , 。每个网格点对应的尺度为 ,而平移为 。其对02a01b2j2jk应的二进小波公式为(3)22,kkbtt设J为要分解的任意尺度，则 在分解水平为J 下的完全重构公式为fx(4), ,JJkjjkzjftctdt式中 称为小波展开系数； 称为尺度展开系数。式(4)中的第一项为,jkd,jk概貌序列，第二项为分解重构得到的各细节序列。本文采用Daubechies正交小波对变形监测数据序列进行
7、分解。定理1 6：若函数 满足狄氏条件和 ，则xttftd可表示为xt(5)12itxxteFdt其中(6)itxFt定理说明信号 可以表示成谐分量 的无限叠加，其中t 12itxFde称为园频率， 是圆频率为 的谐分量的振幅(无穷小量)，利用12xd(f 表示频率)，则2(7)212ftxxFFfdexdf式(7)中， 是无穷小量，因此，对数据列频谱细分时，振幅减小。df灰色小波模型建立的基本思想是通过小波变换将变形监测数据列分解 ,而得到多个不同的序列 ,然后利用灰色GM(1,1)模型对这些子序列进行预测 , 再通过重构得出预测的变形监测数据序列。由于原始数据列频谱大 ,数据振荡范围也大
8、,因此该模型能提高预测精度。例 1 我国西南地区某混凝土大坝上布设了 7 个水平位移监测点，2003 年 1月份对其进行了连续水平变形监测，数据如下(mm)：6.2,5.8,6.1,6.0,6.4,8.5,11.1,8.5,8.2,8.0,7.8,7.5,7.2,7.0,8.2,11.7,13.4,12.6,15.6,14.2,16.3，用小波- GM(1,1)模型的 GM(1,1)模型进行预测，分别用小波- GM(1,1)模型和 GM(1,1)模型进行预测其结果如下：表 1灰色 GM(1,1)模型 小波- GM(1,1)模型序号 监测值 预测值 绝对 相对 预测值 绝对 相对(mm) 误差
9、误差 误差 误差(mm) (mm) (%) (mm) (mm) (%)1 6.2 5.77 0.43 6.9 6.12 0.08 1.22 5.8 5.85 0.05 0.8 6.07 0.27 4.63 6.1 5.65 0.45 7.3 5.71 0.39 6.34 6.0 5.48 0.52 8.6 5.59 0.41 6.85 6.4 5.28 1.12 17.5 5.59 0.81 12.66 8.5 6.95 1.55 18.2 7.65 0.85 10.07 11.1 8.91 2.19 19.7 9.58 1.52 13.68 8.5 9.57 1.07 12.5 9.33 0
10、.83 9.79 8.2 9.62 1.42 17.3 8.78 0.58 7.010 8.0 7.09 0.91 11.3 8.06 0.06 0.711 7.8 7.09 0.71 9.1 7.84 0.04 0.512 7.5 7.72 0.22 2.9 7.4 0.1 1.313 7.2 7.13 0.07 0.9 7.27 0.07 0.914 7.0 7.1 0.1 1.4 7.19 0.19 2.715 8.2 7.4 0.8 9.7 7.52 0.68 8.216 11.7 9.59 2.11 18.0 10.2 1.5 12.817 13.4 13.98 0.58 4.3 1
11、4.64 1.24 9.218 12.6 14.65 2.05 16.2 14.4 1.8 14.219 15.6 13.99 1.61 10.3 15.58 0.02 0.120 14.2 14.96 0.76 5.3 15.78 1.58 11.121 16.3 15.79 0.51 3.1 16.62 0.32 1.9平均误差 0.92 9.6 0.64 6.40 5 10 15 20 254681012141618 三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三从以上数据以及图形可以看出，前者的预测精度比后者高。方法二：改进的 GM(1,1)模型 7为原始序列 的 1-AGO 序列
12、， 为 的紧邻均值生成1xk0xk1zk1x序列。设(1)111zpxkp(2)0azb将(1)代入(2)中得：(3)0111xkpxkpxk整理上式得(4)111 1aba取 代入(4)式叠加得10x(5)1 11 11k kappbkxaa令 ，式 是微分方程11aape10kkee的精确解，此时有01xkzb(6)11aep将上式与 对比得1122bxkxka(7)1p将(6)式代入(7)式得(8)2ln()ap其中 为 GM(1,1)模型所得参数。将 值代入式(1)再建立 GM(1,1)模型即ap可得到重构后的模型，最后导出模型拟合式为 1101akbxkxme 其中 为扰动因子， ，
13、 为重构后所得灰微分方程的参数。m1ab例 2 对以下数据进行预测。1.85,647,2.9,.6,3.4,.7,5.60,.38,9.47GM(1,1)模型与改进 GM(1,1)模型的预测结果如下：表 2GM(1,1)模型 改进 GM(1,1)模型序号 监测值(mm) 预测值 相对 预测值 相对误差 误差1 1.285 - - - - 2 1.647 1.638 0.541 1.647 0.007 3 2.119 2.101 0.847 2.116 0.140 4 2.716 2.695 0.778 2.718 0.060 5 3.494 3.457 1.073 3.490 0.108 6
14、4.477 4.433 0.974 4.482 0.123 7 5.760 5.686 1.278 5.757 0.0558 7.382 7.294 1.199 7.393 0.1569 9.497 9.355 1.497 9.495 0.017平均误差 1.348 0.086从以上数据可以看出，改进的 GM(1,1)模型提高了预测精度。方法三：通过对残差的修正对时间响应式进行修正进而提高精度 1。定义 11 设 0001,2,n其中 为 的残差序列。若存在 满足10kxkX0k(1) , 的符号一致；0(2) ，则称4nk000,1,kn为可建模残差尾段，仍记为 000,k命题 31 设 0
15、00,1,kn为可建模残差尾段，其 1-AGO 序列11100,的 GM(1,1)的时间响应式为， (1)0 01expbbkkaka 0k则残差尾段 的模拟序列0000,1,kn其中， 00 01expbkakak 0k定义 21 若用 修正 ，称修正后的时间响应式1X(2) 00 010 0,1 ,ak akakxebxk bke 为残差修正 GM(1,1)模型，简称残差 GM(1,1)，其中，残差修正值 00 01expbkakak 的符号应与残差尾段 的符号保持一致。0若用 与 的残差尾段0X000,1,kn建模修正 的模拟值 ，则根据由 到 的不同还原方式，可以得到不0XX同的残差修
16、正时间响应式。定义 31 若 01101akabxkxkexe 则相应的残差修正时间响应式(3)0000001, ,a akabexkxk bae 称为累减还原式得残差修正模型。定义 41 若 ，则相应的残差修正时间响应式001akbxkaxe (4)00000 0,11,k akakxk bbaxeke 称为导数还原式的残差修正模型。4 结论这三种模型法都可以增加 GM(1,1)模型的预测精度，前者通过对前期时间序列的处理，减小其随机性而增加预测精度。后面两种方法通过对参数的进一步精确而提高预测精度。参考文献：1 刘思峰,谢乃明.灰色系统理论及其应用M.北京:科学出版社,2008.2 刘思峰
17、,邓聚龙. GM(1,1)模型的适用范围J.系统工程理论与实践,2000.3 谢乃明,刘思峰.多变量离散灰色模型及其性质J.系统工程理论与实践,2008.4 程正兴,白水辰.小波分析算法及其应用M.西安:西安交通大学出版社,2002.5 焦明连,蒋廷臣.基于小波分析的灰色预测模型在大坝安全检测中的应用J.大地测量与地球动力学,2009.6 梁学章,何甲兴,王新民,李强.小波分析M.北京:国防工业出版社2005.17 陈鹏宇.灰色GM(1,1)模型的改进J.山东理工大学学报,2009,23(6).8 张欢勇,戴文战.灰色GM(1,1)预测模型的改进J.浙江理工大学学报,2009.11 Dang,Y. Liu,S.and Mi,C.(2006), Multi-attribute grey incidence decision model for interval number,Vol.35 No.7,pp.1265-1272.
