1、灰色系统理论及其应用第一章 灰色系统的概念与基本原理1.1 灰色系统理论的产生和发展动态1982 年，北荷兰出版公司出版的系统与控制通讯杂志刊载了我国学者邓聚龙教授的第一篇灰色系统理论论文” 灰色系统的控制问题” ，同年， 华中工学院学报 发表邓聚龙教授的第一篇中文论文灰色控制系统 ，这两篇论文的发表标志着灰色系统这一学科诞生1985 灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。1989 海洋出版社出版英文版灰色系统论文集 ，同年，英文版国际刊物灰色系统杂志正式创刊。目前，国际、国内 300 多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论
2、著 3000 多次。灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。1.2 几种不确定方法的比较概率统计，模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定系统研究方法。其研究对象都具有某种不确定性，是它们共同的特点。也正是研究对象在不确定性上的区别，才派生了这三种各具特色的不确定学科。模糊数学着重研究“认识不确定”问题，其研究对象具有“内涵明确，外延不明确”的特点。比如“年轻人”内涵明确，但要你划定一个确定的范围，在这个范围内是年轻人，范围外不是年轻人，则很难办到了。概率统计研究的是“随机不确定”
3、现象，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。要求大样本，并服从某种典型分布。灰色系统理论着重研究概率统计，模糊数学难以解决的“小样本，贫信息”不确定性问题，着重研究 “外延明确，内涵不明确”的对象。如到 2050 年，中国要将总人口控制在 15 亿到 16 亿之间，这“15 亿到 16 亿之间“是一个灰概念，其外延很清楚，但要知道具体数值，则不清楚。1.3 灰色系统理论的基本概念定义 1.3.1 信息完全明确的系统称为白色系统。定义 1.3.2 信息未知的系统称为黑色系统。定义 1.3.3 部分信息明确，部分不明确的系统称为灰色系统。1.4 灰色系统理论的
4、基本原理公理 1(差异信息原理)“差异“是信息，凡信息必有差异。公理 2（解的非唯一性原理）信息不完全，不确定的解是非唯一的。公理 3（最少信息原理）灰色系统理论的特点是充分开发利用已占有的“最少信息“。公理 4(认知根据原理)信息是认知的根据。公理 5（新信息优先原理）新信息对认知的作用大于老信息。公理 6（灰性不灭原理）：信息不完全是绝对的1.5 灰色系统理论的主要内容灰色系统理论经过 20 多年的发展，现在已经基本建立起一门新兴学科的结构体系。其主要内容包括以灰色代数系统，灰色方程、灰色矩阵等为基础的理论体系。以灰色序列生成为基础的方法体系，以灰色关联空间为依托的分析体系。以灰色模型（G
5、M）为核心的模型体系，以系统分析，评估，建模，预测，决策，控制，优化为主体的技术体系。1.6 灰数灰数是灰色系统理论的基本“单元“或”细胞“。我们把只知道大概范围而不知道其确切值的数称为灰数。在应用中，灰数实际上指在某一个区间或某个一般的数集内取值的不确定数。通常用记号“ ”表示灰数。灰数有以下几类：1. 仅有下界的灰数。有下界而无上界的灰数记为 ，其中 a 是灰数 的下确界，是确定的,a数，我们称 为 的取数域，简称 的灰域。,2. 仅有上界的灰数。有上界而无下界的灰数记为 ，其中 是灰数 的上确界，是确定,aa的数。3. 区间灰数。既有下界又有上界的灰数称为区间灰数，记为 ,a4. 连续灰
6、数与离散灰数。5. 黑数与白数。当 ，称 为黑数；当, 且 时，称 为白数。,aa6. 本征灰数与非本征灰数。本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作为其“代表”的灰数，比如一般的事前预测值，宇宙的总能量等。非本征灰数是指凭先验信息或某种手段，可以找到一个白数作为其代表的灰数。我们称此白数为相应灰数的白化值。第二章 序列算子与灰色序列生成灰色系统理论的主要任务之一，是根据社会，经济，生态等系统的行为特征数据，寻找不同系统变量之间或某些系统变量自身的数学关系和变化规律。灰色系统理论认为任何随机过程都是在一定幅值范围和一定时区内变化的灰色量，并把随机过程看成灰色过程。灰色系统理论是通过对原始数据
7、的挖掘，整理来寻求其变化规律的，这是一种就数据寻找数据的现实规律的途径，我们称为灰色序列生成。灰色系统理论认为，尽管客观系统表象复杂，数据离乱，但它总是有整体功能的，因此必然蕴含某种内在规律。关键在于如何选择适当的方式去挖掘它和利用它。一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性，显现其规律性。例如考虑 4 个数据，记为 ，其)4(,3),2(,10)0(0)0( XX数据见下表：序号 1 2 3 4符号 )(0X)(0X)(0X)(0X数据 1 2 1.5 4将上表数据作图得0123451 2 3 4XY上图表明原始数据 没有明显的规律性，其发展态)0(势是摆动的。如果将原始数据作累加生成，记第
8、 K 个累加生成为 ,并且)(1KX10)( 321)()(20)1( X5.4.1)(130)()0()( X 5.73.12)(324 0)()0()()1( X得到数据如下表所示序号 1 2 3 4符号 )(X)(1X)(1X)(1X数据 1 3 4.5 7.50123456781 2 3 4XY上图表明生成数列 X 是单调递增数列。(1)2.1 冲击扰动系统与序列算子定义 2.1.1 设为系统真实行为序列，而观察到000(1),(2,()Xxxn的系统行为数据序列为000012(),()(),(),()nxxxxX 其中， 为冲击扰动项（干扰项） 。X 称为冲12n击扰动序列。所以本章
9、我们的讨论围绕：由 X X 展开（扰动还原真实）02.2 缓冲算子公理定义 2.2.1 设系统行为数据序列为 ，(1),2,()Xxxn1. 若 ，则称 X 为单调增长序列；2,3,()1)0knxk2. 若 1 中不等号反过来成立，则称 X 为单调衰减序列；3. 若 ，则称,2,3,()1)0,()1)0knxkxk 有X 为随机振荡序列。4. 设 ，则称ma()|,()|2,3Mxknmxkn ， ，M-m 为序列 X 的振幅定义 2.2.2 设 为系统行为数据系列，(1),2,()xxD 为作用于 X 的算子，X 经过算子 D 作用后所得序列记为(),(,()Dxdxnd称 D 为序列算
10、子，称 XD 为一阶算子作用序列。序列算子的作用可以多次，相应的，若 都是序列算123,子，我们称 为二阶算子，并称12121212(),(),()XDxdxnd为二阶算子作用序列，同理， 为三阶序列算子3D定义 2.2.3 称下述三公理为缓冲算子三公理，满足缓冲算子三公理的序列算子 D 称为缓冲算子，一阶，二阶，三阶缓冲算子作用序列称为一阶，二阶，三阶缓冲序列。公理 1（不动点公理） 设 为系统行(1),2,()Xxxn为数据系列，D 为序列算子，则 D 满足 。d不动点公理限定在序列算子作用下，系统行为数据序列的数据 保持不变。()xn根据定性分析的结论，亦可使 以前的若干个数据在()xn
11、序列算子作用下保持不变。例如，令()()xjdjxidi且,12,1,.jkikn 其 中公理 2.（信息充分利用公理）系统行为数据序列 X 中的每一个数据 ，都要充分地参与算子的作用全过(),2,xk程公理 3（解析化、规范化公理） 任意的 ，皆可由一个统一的 的初等解(),12,)xkd (1),2,()xxn析式表达。定义 2.2.4 设 X 为原始数据序列，D 为缓冲算子，当X 分别为增长序列，衰减序列或振荡序列时：1.若缓冲序列 XD 比原始序列 X 的增长速度（或衰减速度）减缓或振幅减小，则称缓冲算子 D 为弱化算子。2.若缓冲序列 XD 比原始序列 X 的增长速度（或衰减速度）加
12、快或振幅增大，则称缓冲算子 D 为强化算子。2.3 实用缓冲算子的构造定理 2.3.1 设原始数据序列 令(1),(2,()Xxxn缓冲序列 (1),(2),XDxdnd其中 ；k=1,2,，n,则当 X()()xkdkxn为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D 为弱化算子，并称为平均弱化缓冲算子（AWBO）证明：直接利用 的定义，可知定理成立。(),12,)xkd推论 2.3.1 对于定理 1 中定义的弱化算子 D，令 2 222(),(),()XDxdxnd，1()1,1xkdkkn 则 对于增长序列，衰减序列或振荡序列时，皆为二阶弱2化算子。定理 2.3.2 设原始序列和其缓冲算子序列分别
13、为(1),(2,()Xxxn),Ddd其中 ()(,12,21kxkd kn ()nx则当 X 为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D 为强化算子。推论 2.3.2 设 D 为定理 2 中定义的强化算子，令，其中2 22(1),(),()Xxdxnd，()()xndn22()(),1,1kkk 则 对于增长序列，衰减序列或振荡序列皆为二阶强化算2D子。定理 2.3.3 原始数据序列和其缓冲算子序列分别为(1),(2,()Xxxn(1),(2),()XDxdxnd其中 ，则当 X 为增()() ,12,()/kxknd kn 长序列，衰减序列或振荡序列时，D 为弱化算子，并称 D为加权平均弱化缓冲
14、算子（WAWBO ）定理 2.3.4 设 为非负的系统行(1),(2,()Xxxn为数据序列，令 Ddd其中 。11()()()(),2,nnkkikxkdxkxn 则当 X 为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D 为弱化缓冲算子，并称 D 为几何平均弱化缓冲算子（GAWBO ）定理 2.3.5 设 为系统行为数据(1),(2,()Xxxn序列，各时点的权重向量为 ，则1,(1),(2),()XDxdxnd其中 。则当 X D1()()()() ,12,kknx kn 皆为弱化缓冲算子，并称 D 为加权平均弱化缓冲算子（WAWBO） 。定理 2.3.6 设 ，各时点的权重(1),(2,()Xxx
15、n向量为 0， 12(,)n令 ,(,()Dxdxnd其中 1 1 1()()()(),12,kknknknikxdxxxkn 则当 X D 为弱缓冲算子，并称 D 为加权几何平均弱化缓冲算子（WGAWBO） 。定理 2.3.7 设 为系统行为数据(1),(2,()Xxxn序列，令 (),)Ddd其中 。2() ,12,(1)nkxxkdknn则当 X 为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D 为强化缓冲算子，并称 D 为平均强化缓冲算子（ASBO）定理 2.3.8 设 为非负的系统行(1),(2,()Xxxn为数据序列，令 dd其中 。2211()()() ,2,()nnkkikxxxkd nk
16、 则当 X 为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D 为强化缓冲算子，并称 D 为几何平均强化缓冲算子（GASBO）以上列举了部分缓冲算子，当然，我们还可以考虑构造其它形式的实用缓冲算子，缓冲算子不仅可以用于灰色系统建模，而且还可以用于其它各种模型建模。通常在建模之前根据定性分析结论对原始数据序列施以缓冲算子，淡化或消除冲击扰动对系统行为数据序列的影响，往往会收到预期的效果。例 2.3.1 河南省长葛县乡镇企业产值数据（1983 年-1986年）为(105,28,340,538)X其增长势头很猛，1983-1986 年每年平均递增 51.6%，尤其是 1984-1986 年，每年平均递增 67.7
17、%。因此普遍认为今后不可能一直保持这么高的发展速度。经过认真分析，大家认识到增长速度高主要是基数低，而基数低的原因是过去对有利与乡镇企业发展的政策没有用足，用活，用好。要弱化序列增长趋势，就要将乡镇企业发展比较有利的现行政策因素附加到过去的年份中去，为此，引进推论 1 所示的二阶弱化算子，得二阶缓冲序列2(760,29547,31,538)XD用 XD 建模预测得， 1986-2000 年该县乡镇企业每年平均递增 9.4%，这一结果是 1987 年得到的，与“八五”后半期和“九五”期间该县乡镇企业发展实际基本吻合。2.4 均值生成算子在收集数据时，常常由于一些不易克服的困难导致数据序列出现空缺
18、（也称空穴） ，有些数据序列虽然完整，但由于系统行为在某个时点上发生突变而形成异常数据，剔除异常数据就会留下空穴，如何填补空穴，自然成为数据处理过程中首先遇到的问题，均值生成是常用的构造新数据，填补原序列空穴，生成新序列的方法。定义 2.4.1 设序列 X 在 出现有空穴，记为 ，即k()k(1),(2,(1),(),1),Xxxxkxn 则称 ) (kk和 为 的 界 值 ， 为 前 界 ， 为 后 界()(1)() (1)()kxkxk当 是 由 和 生 成 时 ， 称 生 成 值 x为 ， 的 内 点定义 2.4.2 设序列(),(2,(1),(),),()Xkxn 为 k 处有空穴 的
19、序列，而 称为k* =0.5(1.xkk非紧邻均值生成数，所得序列称为非紧邻生成序列。定义 2.4.3 设序列 ，若(1),(2,()Xxxn，则称 为紧邻生成数，由紧邻* ()0.5(1).)xkk*k生成数构成的序列称为紧邻均值生成序列。2.5 序列的光滑性定义 2.5.1 设序列 ，(1),(2,(),1)XxxnZ 是 X 的均值生成序列：，其中 ，(1),(2,()zzn ()0.5().()zkxxkX 是某一可导函数的代表序列，d 为 n 维空间的距离函数，*我们将 X 删去 后所得的序列仍记 X，若 X 满足(1)xn1. 当 k 充分大时， 1()kix2. *11max()
20、aknknz则称为光滑序列，为序列光滑条件。定义. 称 1();2,3kixn为序列的光滑比。定义.若序列满足. (1);2,31kkn. ()0,;,4. .5则称为准光滑序列。.级比生成算子定义.设序列 ，则称(1),(2,()Xxxn();2,31xkn为序列的级比。.累计生成算子与累减生成算子累加生成是使灰色过程由灰变白的一种方法，它在灰色系统理论中占有极其重要的地位。通过累加可以看出灰量积累过程的发展态势，使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律充分显露出来。定义.设 ，为序列算子000(1),(2,()Xxxn，其中0(1),2XDxdd。01;1,3,ki n则称为 的一次累加生成
21、算子，记为-0（Accumulating Generation Operator）,称 r 阶算子 rD为 的 r 次累加生成算子，记为 r-AGO,习惯上，我们记0X0111(),(2,()DXxxn0(1),(2,()rrrrrXDxxn其中 1();,3,krrixdk定义 2.7.2 设 ，D 为序列算000(1),(2,()xxn，其中0(1),2XDxdnd0(),3,kkk2.8 灰指数律 定义 2.8.1 设序列 ，若对于(1),(2,()Xxxn1. 则称 X 为齐次指数序列。();,0;akxcekn2. ，称 X 为齐次指数序列。();,;1,2akxcebk定义 2.8
22、.2 设序列 若(),(,()Xxxn1. ，则称序列 X 具有负的灰指数(),0,1xkk规律。2. ，则称序列 X 具有正的灰指数(),1,xkkb规律。3. 则称序列 X 具有绝对灰(),1xkkab度为 的灰指数规律。4. 时，称 X 具有准指数规律。0.5定理 2.8.1 设序列 为非负准光滑000(1),(2,()Xxxn序列，则 的一次累加生成序列 具有准指数规律。0X1X注：定理 2.8.1 是灰色系统建模的理论基础第三章 灰色关联分析一般的抽象系统，如社会系统，经济系统，农业系统，生态系统等都包含有许多种因素，多种因素共同作用的结果决定了该系统的发展态势。我们常常希望知道众多
23、的因素中，哪些是主要因素，哪些是次要因素，哪些因素对系统发展影响大，哪些因素对系统发展影响小，哪些因素对系统发展起推动作用需加强，哪些因素对系统发展起阻碍作用需抑制数理统计中的回归分析，方差分析，主成分分析等都是用来进行系统特征分析的方法。但数理统计中的分析方法往往需要大量数据样本，且服从某个典型分布。灰色关联分析方法弥补了采用数理统计方法作系统分析所导致的缺憾.它对样本量的多少和样本有无规律都同样适用,而且计算量小,十分方便,更不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。灰色关联分析的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近，相应序列之间关联度就越大，反之就越小
24、。例如某地区农业总产值,种植业总产值 ，畜牧业总产值 和林业总产值 ，从0X1X2X3X1997-2002 年共 6 年的统计数据如下：0（ 8， 2， ， 35， 4， 6）1X（ ， ， ， 17， ， 29）2（ 3， ， ， ， ， ）0（ 5， ， ， ， 5， 0）产 值 散 点 图010203040501997 1998 1999 2000 2001 2001年 份产值农 业种 植 业畜 牧 业林 果 业从直观上看，与农业总产值曲线最相似的是种植业总产值曲线，而畜牧业总产值曲线和林果业总产值去与农业总产值曲线在几何形状上差别较大。因此我们可以说该地区的农业仍然是以种植业为主的农业
25、，畜牧业和林果业还不够发达。3.1 灰色关联因素和关联算子集进行系统分析，选准系统行为特征的映射量后，还需进一步明确影响系统行为的有效因素。如要作量化研究分析，则需要对系统行为特征映射量和各有效因素进行处理，通过算子作用，使之化为数量级大体相近的无量纲数据，并将负相关因素转化为正相关因素。定义 3.1.1 设 为因素 的行(1),(2,()iii iXxxn iX为序列， 为序列算子，且1D111(),(),()iii iXxdxd其中 ，则称 为1) 0;,2()ii ikxkxkn 1D初值化算子。 为 在初值化算子 的象，简称初值象。1iXDi 1D定义 3.1.2 设 为因素 的行(1
26、),(2,()iii ixxn iX为序列， 为序列算子，且2222(),(),()iii iXxdxd其中 ，则称 为21() ;1,()ii nikxkdkn 2D均值化算子。 为 在均值化算子 的象，简称均值象。2iXDi 2D定义 3.1.3 设 为因素 的行(),(,()iii ixxn iX为序列， 为序列算子，且3333(1),(2),()iii iXxdxd其中 ，3mn() ;1,2a()i()iki i ikxkd knk则称 为区间化算子。 为 在区间化算子 的象，简称3D3iXDi 3D区间值象。定义 3.1.4 设 ， 为(1),(2,()iii ixxn ()0,1
27、xk因素 的行为序列， 为序列算子，且iX4D4 44(1),(2),()iii ixdxnd其中 ，则称 为逆() ;1,i ixkdkk 4D化算子。 为 在逆化算子 的象，简称逆化象。4iXDi 4D定义 3.1.5 设 ， 为(),(2,()iii ixxn ()0,1xk因素 的行为序列， 为序列算子，且i 55 55(1),(),()iii iXxdxd其中 ，则5() 0;1,2()i iixkdxkknk称 为逆化算子。 为 在倒数化算子 的象，简称倒数5D5iXDi 5D化象。定义 3.1.6 称 为灰色关联算子集。|1,2345i定义 3.1.7 设 X 为系统因素集合，D
28、 为灰色关联算子集，称（X,D ）为灰色关联因子空间。3.2 灰色关联公理与灰色关联度定义 3.2.1（灰色关联公理） 设 为系统特征序列，且0000(1),(2),()Xxxn1 1(),(2,()iii iXxxn(1),(),()mmmxx为相关因素序列，给定实数 ，若实数0(),(irxk，满足001(,)(),(ni ikrXrxk1.规范性 000,)1,()1i i iXrX2.整体性 对于 有|,;2ijSsm(,)(,)ijjirrj3. 偶对对称性 ，有,ijX()(,),ijjiijrrX4.接近性 越小， 越大。0|ixk0(),(irxk则称 为 的灰色关联度，其中0
29、1(,)(),(ni ikrXr,ij为 在 点的关联系数，并称条件 1.2.3.4 为灰0,ixkij和色关联四公理。在灰色关联公理中，规范性 表明系统中任0(,)1irX何两个行为序列都不可能严格无关联。整体性则体现了环境对灰色关联比较的影响，环境不同，灰色关联度也随之变化，因此对称性不一定满足。偶对对称性表明，当灰色关联因子集中只有两个序列时，满足对称性。接近性是对关联量化的约束。定义 3.2.2 设系统行为序列0000(1),(2),()Xxxn1 1(1),(2,()iii iXxxn(),(),()mmmxx对于 令0,10 00in()ax()(),( i ik iki i ii
30、xkxkrxk 记 为 ， ，则0(),(ir0()irk00011,)(),()nni i ik kXrxr满足灰色关联公理，其中 称为分辨001(,)(),(ni ikXx系数。 称为 的灰色关联度，记为 。0(,)ir0,iX0ir根据关联度的定义，可得关联度的计算步骤如下：1根据评价目的确定评价指标体系，收集评价数据设 个数据序列形成如下矩阵：m010101122, mm mxxXXxnxn 其中 为指标的个数，n1,2,1,2,Tiii iXxxni 2确定参考数据列 0X参考数据列应该是一个理想的比较标准，可以以各指标的最优值 （或最劣值）构成参考数据列，也可根据评价目的选择其它参
31、照值记作 0000(1),2,Xxxm3对指标数据序列用关联算子进行无量纲化（也可以不进行无量纲化） ，无量纲化后的数据序列形成如下矩阵：010101122, mm mxxXXxnxn 常用的无量纲化方法有均值化像法、初值化像法等 1,10,2,.i ii in iikxxkximn ；4逐个计算每个被评价对象指标序列与参考序列对应元素的绝对差值即 ； 0()()()i ikxk1,kn1,im5确定 与01in()()mikMxk01max()()niikxk6计算关联系数 分别计算每个比较序列与参考序列对应元素的关联系数 0(),()()iimMrxkk1,n式中 为分辨系数，在（0，1）
32、内取值， 越小，关联系数 间的差异越大，区分能力越强通常 取 0.57.计算关联度 001(,)()niikrXr8依据各观察对象的关联序，得出综合评价结果3.3 灰色关联分析的应用举例利用灰色关联分析对 6 位教师工作状况进行综合评价1评价指标包括：专业素质、外语水平、教学工作量、科研成果、论文、著作与出勤2对原始数据经处理后得到以下数值，见下表教师考评数据表编号 专业 外语教学量科研 论文 著作 出勤1X8 9 8 7 5 2 927 8 7 5 7 3 839 7 9 6 6 4 74X6 8 8 8 4 3 658 6 6 9 8 3 868 9 5 7 6 4 83确定参考数据列：
33、09,9,8,9,X4计算 ，见下表0()()()i ikxk编号 专业 外语教学量科研论文 著作 出勤1i2i3i4i5i6i7i10X1 0 1 2 4 7 022 1 2 4 2 6 1300 2 0 3 3 5 24X3 1 1 1 5 6 3501 3 3 0 1 6 161 0 4 2 3 5 15 01min()()min(0,1,)0ikxk01a()()ax(7,65,)7niik6依据式 ，取 计0(),()()iimMrxk0.5算，得 01.57()0.8r010.57(2)1.0r013.8014.6301().467r01(6).3r01(7).0r同理得出其它各值
34、，见表（125 ）编号i0(1)ir0(2)ir0(3)ir0(4)ir0(5)ir0(6)ir0(7)ir1 0.778 1.000 0.778 0.636 0.467 0.333 1.0002 0.636 0.778 0.636 0.467 0.636 0.368 0.7783 1.000 0.636 1.000 0.538 0.538 0.412 0.6364 0.538 0.778 0.778 0.778 0.412 0.368 0.5385 0.778 0.538 0.538 1.000 0.778 0.368 0.7786 0.778 1.000 0.467 0.636 0.538
35、 0.412 0.7787分别计算每个人各指标关联系数的均值（ 关联度）： 713.07.13.046.3.08.0.178.01 r同理 0203040506.614.68.9.83.58rrrrr， ， ， ， 8如果不考虑各指标权重（认为各指标同等重要） ，六个被评价对象由好到劣依次为 1 号（ ） ，5 号（713.0r） ，3 号（ ） ，6 号（ ） ，2 号（6.05r 80.03r 680） ，4 号（ ） 即12 59400503060204rrr3.4 广义灰色关联度命题 3.4.1 设 0X00（ x(1),2,x(n)），而i iii（ ,）和000（ (),()）分别
36、为 与 的始点化像，即0iXiii（ x(1),2,xn） 0Xi， ，则记 0k=-0iii(k)=-(1)， 及102| |nksx()+2| |niks00iix+(n)102| |niks00i i1(x)-()-定义 3.4.1 设序列， ， 如命题 3.3.1 中所示，则称0si00 01|ii iss为 与 的灰色绝对关联度，简称绝对关联度。绝对关联0Xi度满足灰色关联公理中规范性，偶对对称性与接近性，但不满足整体性。定理 3.4.1 灰色绝对关联度 具有如下的性质：0i1. 01i2. 只与 与 几何形状有关，而与其它无关，或者说，iXi平移不改变绝对关联度的值。3.任何两个序
37、列都不是绝对无关的，即 恒不为零。0i4. 与 几何形状相似程度越大， 越大。0Xi i5. 当 或 中任一观测数据变化了， 将随之变化。i 0i6. 与 长度变化， 也变化。0i 0i7. 1i8. 0ii3.5 灰色相对关联度定义 3.5.1 设序列 与 长度相同，且初值皆不等于零，0Xi与 分别为 与 的初值像，则称 与 的灰色绝对关0Xi0i 0Xi联度为 与 的灰色相对关联度，简称为相对关联度，记01为 。iR相对关联度表征了序列 与 相对与始点的变化速率0Xi之间的关系， 与 的变化速率越接近， 越大，反之越0Xi 0iR小。定理 3.5.1 设序列 与 长度相同，且初值皆不等于零
38、，0Xi若 ，其中 为常数，则0iXcc01iR定理 3.5.2 灰色相对关联度 具有如下的性质：i1. 01iR2. 只与序列 与 的相对于始点的变化率有关，而i 0Xi与各观测值的大小无关，或者说，数乘不改变相对关联度的值。3.任何两个序列的变化率都不是毫无联系的，即 恒不0iR为零。4. 与 相当于始点的变化速度越接近， 越大。0Xi 0i5. 当 或 中任一观测数据变化了， 将随之变化。i iR6. 与 长度变化， 也变化。0i 0iR7. 1iR8. 0ii3.6 灰色综合关联度定义 3.6.1 设序列设序列 与 长度相同，且初值皆不0Xi等于零， 和 分别为 与 的灰色绝对关联度和
39、相对关0iiR0i联度， 则称,100()iii为 与 的灰色综合关联度，简称综合关联度。Xi综合关联度既体现了折线 与 的相似程度，又反映了0Xi与 相对于始点的变化速率的接近程度，是较为全面的0Xi表征序列之间联系是否紧密的一个数量指标。例 3.6.1 河南省长葛县乡镇企业经济的灰色关联分析20 世纪 80 年代中期，长葛县乡镇企业发展比较快，1983 年到 1986 年，平均每年增长 51.6%，乡镇企业经济在全县经济发展中占有重要地位，1986 全县乡镇企业产值35388 万元，占工农业总产值的 60%。如何有效的加快乡镇企业的发展，是大家普遍关心的问题。据分析，乡镇企业产值主要与固定资产，流动资产，劳动力，企业留利四个因素有关。该县乡镇企业产值及相关因素行为数据如下表：年份变量 1983 1984 1985 1986(产值)0X10155 12588 23408 35388(固定资产)13799 3605 5460 6982(流动资产)21752 2160 2213 4753(劳动力：人)3X24186 45590 57685 85540(企业留利)41164 1788 3134 4478单位：万元1.求绝对关联度。令
