1、1FGGA BCDE CA BDE F立体几何证明平行的方法及专题训练罗虎胜-立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：（1） 通过“平移” 。（2） 利用三角形中位线的性质。（3） 利用平行四边形的性质。（4） 利用对应线段成比例。（5） 利用面面平行的性质，等等。(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质1如图，四棱锥 PABCD 的底面是平行四边形，点 E、F 分 别为棱 AB、 PD 的中点求证：AF平面 PCE；分析：取 PC 的中点 G，连 EG.，FG，则易证 AEGF 是平行四边形2、如图，已知直角梯形 ABCD 中，ABCD，AB
2、BC，AB1，BC2，CD1 ，3过 A 作 AECD，垂足为 E，G、F 分别为 AD、CE 的中点，现将ADE 沿 AE 折叠，使得 DEEC.（）求证：BC面 CDE； （）求证：FG 面 BCD；分析：取 DB 的中点 H，连 GH,HC 则易证 FGHC 是平行四边形EFBACDP（第 1 题图）2DEB1 A1C1CAB FM3、已知直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，D, E, F 分别为 AA1, CC1, AB 的中点，M 为 BE 的中点, ACBE. 求证：（）C 1DBC； （）C 1D平面 B1FM. 分析：连 EA，易证 C1EAD 是平行四边形，于是 MF/EA4
3、、如图所示, 四棱锥 P ABCD 底面是直角梯形, CD=2AB, E 为 ,ACDBPC 的中点, 证明: ;/EBAD平 面分析:：取 PD 的中点 F，连 EF,AF 则易证 ABEF 是平行四边形(2) 利用三角形中位线的性质5、如图，已知 、 、 、 分别是四面体的棱 、 、 、 的中点，求EFGMADCB证： 平面 。AM分析：法一：连 MD 交 GF 于 H，易证 EH 是AMD 的中位线法二：证平面 EGF平面 ABC，从而 平面 EFG6、如图，直三棱柱 ， ， AA=1，点 M， N/ABC90BAC2,AC分别为 和 的中点。/ABCDEFGM3证明： 平面 ;MN/A
4、C分析：连结 AC1， ，则 MN 是 则 A 1BC1 的中位线 ，7如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中， D 为 AC 的中点.求证：AB 1/面 BDC1；分析：连 B1C 交 BC1 于点 E，易证 ED 是B 1AC 的中位线8、如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点.证明: BC 1/平面 A1CD;分析：此题与上面的是一样的，连结 AC1 与 A1C 交 F,连结DF，则 DF/BC19、如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面ABCD 外一点，M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过 G 和AP 作平面交平面 B
5、DM 于 GH.求证：APGH.分析：连结 AC 交 BD 于 O 点，连结 OM，易证 OMPA从而 PA平面 DBM,再根据直线与平面平行的性质得 APGH .（.3） 利用平行四边形的性质10正方体 ABCDA1B1C1D1中 O 为正方形 ABCD 的中心，求证： D1O/平面 A1BC1;分析：连 D1B1 交 A1C1 于 O1 点，易证四边形 OBB1O1是平行四边形4PEDCBA11、在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD，AB= DC， .21中 点为 PDE求证：AE平面 PBC；分析：取 PC 的中点 F，连 EF 则易证 ABFE是平行四边形12、在如图所示的几何体中，四
6、边形 ABCD 为平行四边形， ACB= 90，平面，EF， ，.=.（）若是线段的中点，求证：平面;（）若=,求二面角- -的大小（I）证法一：因为 EF/AB， FG/BC，EG/AC ， 90ACB，所以 90,EGF .EFG由于 AB=2EF，因此，BC=2FC，连接 AF，由于 FG/BC， B21在 ABCD中，M 是线段 AD 的中点，则 AM/BC，且 BCAM21因此 FG/AM 且 FG=AM，所以四边形 AFGM 为平行四边形，因此 GM/FA。又 F平面 ABFE， G平面 ABFE，所以 GM/平面 ABFE。(4)利用对应线段成比例13、如图：S 是平行四边形 A
7、BCD 平面外一点，M 、N 分别 是 SA、BD 上的点，（1） = ， 求证：MN平面 SDCMANDB（2） , 求证：MN 平面 SBCS分析：法一：过 M 作 ME/AD，过 N 作 NF/AD利用相似比易证 MNFE 是平行四边形5法二：连接 AN 并且延长交 CD 或 CD 的延长线于 E 点，连结 SE，则易证 MNSE,于是MN平面 SDC，同理连接 AN 并且延长交 BC 或 BC 的延长线于 F，连结 SF，则易证MNSF,于是 MN平面 SBC14、如图正方形 ABCD 与 ABEF 交于 AB，M，N 分别为 AC 和 BF 上的点且 AM=FN 求证：MN平面 BE
8、C分析：过 M 作 MG/AB，过 N 作 NH/AB利用相似比易证 MNHG 是平行四边形（6） 利用面面平行15、如图，三棱锥 ABCP中， E为 P的中点， M为 AB的中点，点 F在 PA上，且 2F. 求证： /平面 F；分析: 取 AF 的中点 N，连 CN、MN，易证平面 CMN/平面 EFB16、如图, 在直三棱柱 1ABC中， 3A， 4BC， 5A, 14，点D是 的中点，（1）求证： 1；（2）求证：/平 面AC；（3）求三棱锥 的体积。分析:取 A1B1的中点 E，连结 C1E 和 AE，易证C1ECD,AEDB1，则平面 AC1EDB1C,于是D/平 面A FAEAB
9、ACADAMA NA6NMB1 C1D1A1DCBAPNMB1 11A1DCBAPNMB1 C1D1A1 DCBA17 在长方体 中, , 1ABCD1,2ABC点 是 的中点,点 是 的中点.MN(1) 求证: 平面 ;/1(2) 过 三点的平面把长方体 截成,CD1ABCD两部分几何体, 求所截成的两部分几何体的体积的比值.（1）证法 1：设点 为 的中点，连接 . P,MP 点 是 的中点,MBC ./D 平面 , 平面 ,1A1ACD 平面 . 2 分/P 点 是 的中点,N1 ./AD 平面 , 平面 ,11CP1ACD 平面 . /NP1AD4 分 , 平面 , 平面 ,MPNMN
10、P 平面 平面 ./1ACD 平面 , 平面 . /16 分证法 2: 连接 并延长 与 的延长线交于点 , 连接 ,AMDCP17QNMB1 C1D1A1 DCBA 点 是 的中点, MBC . , ,AP90AMCP Rt Rt . 2 分 . 点 是 的中点,N1 . 4 分M/AP 平面 , 平面 ,11CD1AC 平面 . 6 分 /N(2) 解: 取 的中点 , 连接 , ,1BQN 点 是 的中点,A ./N ,BCD ./Q 过 三点的平面 把长方体 截成两部分几何体,NQCD1ABCD其中一部分几何体为直三棱柱 , 另一部分几何体为直四棱柱. 8 分11BQCA ,122BSC 直三棱柱 的体积 , QBCNAD112QBCVSA10 分 长方体 的体积 , 1ABCD12V直四棱柱 体积 . 11QN23812 分 . 12V3 所截成的两部分几何体的体积的比值为 . 1314 分
