1、1,二、定积分的分部积分法,第三节,不定积分,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,定积分的换元法和,分部积分法,第五章,2,一、定积分的换元法,定理1. 设函数,单值函数,满足:,1),2) 在,上,证: 所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,是,的原函数 ,因此有,则,则,第五章第三节,3,说明:,1) 当 , 即区间换为,定理 1 仍成立 .,2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .,3) 换元公式也可反过来使用 , 即,或配元,配元不换限,第五章第三节,4,例1. 计算,解: 令,则, 原式 =,且
2、,第五章第三节,5,例2. 计算,解: 令,则, 原式 =,且,第五章第三节,6,例3.,证:,(1) 若,(2) 若,偶倍奇零,第五章第三节,7,二、定积分的分部积分法,定理2.,则,证:,第五章第三节,8,例4. 计算,解:,原式 =,第五章第三节,9,例5. 证明,证: 令,n 为偶数,n 为奇数,则,令,则,第五章第三节,10,由此得递推公式,于是,而,故所证结论成立 .,第五章第三节,11,内容小结,基本积分法,换元积分法,分部积分法,换元必换限 配元不换限 边积边代限,思考与练习,1.,提示: 令,则,第五章第三节,12,2. 设,解法1,解法2,对已知等式两边求导,思考:,若改题为,提示: 两边求导, 得,得,第五章第三节,13,3. 设,求,解:,(分部积分),第五章第三节,14,作业,P249 1 (4) , (10) , (16) ; 6 ;11 (4), (9), (10),第五章第三节,15,备用题,1. 证明,证：,是以 为周期的函数.,是以 为周期的周期函数.,第五章第三节,16,解：,2.,右端,试证,分部积分积分,再次分部积分,= 左端,第五章第三节,
