1、7.7 二阶常系数齐次线性微分方程,定义,二阶常系数齐次线性微分方程的解法,n阶常系数齐次线性微分方程的解法,小结、思考题,作业,一、定义,n阶常系数线性微分方程的标准形式,二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,二阶齐次线性微分方程,二、二阶常系数齐次线性方程解法,-特征方程法,(1),由上节讨论可知，要找微分方程(1)的通解，可以先求出它的两个线性无关的特解,将它们代入微分方程(1)，得,(2),特征方程,方程(2)的特征根, 特征方程有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,特征根为, 特征方程有两个相等的实根,一特解为,特征根为,因为这里
2、只要得到一个不为常数的解，所以不妨选取,从而微分方程(1)的通解为, 特征方程有一对共轭复根,特征根为,欧拉公式,还是微分方程(1)的解，,所以，微分方程(1)的通解为,定义,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.,综上所述：,求二阶常系数齐次线性微分方程,的通解的步骤如下：,(表格在小结中),解,特征方程为,解得,故所求通解为,例2,例1,解,特征方程为,解得方程的特征根,故所求方程的通解为,解,所给微分方程的特征方程为,特征根为：,因此所求方程的通解为,解,所给方程的特征方程为,特征根为,由于特征根是两个相等的实根，因此所求微分方程的通解为,于是，所求微分方程的特解为,三、n阶常系数齐次线性方程解法,特征方程为,注意,n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个任意常数.,特征根为,故所求通解为,解,特征方程为,例5,四、小结,二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,(见下表),思考题,求微分方程 的通解.,作业： P340T1(偶) T2(奇),思考题解答,令,则,特征根,通解,
