1、1,主讲教师:张 伟,线性代数,2,一、问题的推出,第五节,二次型及其矩阵表示,第四章,二、基本概念,三、二次型的矩阵及二次型的秩,3,1、二次型及其表示,定义1,含 个变元,的二次齐次多项式,称为n元二次型（或二次齐式）。,（1）,一、基本概念,4,若（1）中交叉项,的系数全部为零，即,为,的标准二次型（二次型的标准形）,可见 f 为对角形。,注：,由（1）可见，每一项中变量的方次之和均为2。,如：,不是二次型,是二次型,5,三、二次型的矩阵与二次型的秩,例1 将下列二次型用矩阵表示。,解,下面讨论化二次型为标准型的方法。,称A为二次型,的矩阵，,6,（3）,简记为,令,推广：,的矩阵，,与
2、,可建立一一对应关系，,的秩称为,称上式中实对称矩阵,为二次型,的秩。,7,二次型,例2 将下列二次型写成矩阵形式。,解,的矩阵,是一实对称矩阵，,8,二次型,解,的矩阵,是一实对称矩阵，,9,二次型,解,的矩阵,是一实对称矩阵，,10,作业,P260 1 2,11,一、正交变换法,第六节,化实二次型为标准形,第四章,二、配方法,12,使二次型,若通过线性变换,经变换后化为只含平方项的标准形。,即通过,因为,其中,为二次型的标准形。,一、二次型的满秩线性变换,13,称 为可逆线性变换。,（1）当 是可逆矩阵时，,（2）当 是正交矩阵时，,称 为正交变换。,14,化为标准形,的矩阵 与对角矩阵相
3、似。,即本节讨论的主要问题是要求找到一个满秩线性,变换,使二次型,经变换后变成平方和的形式即：,即对于给定的,由于,是可逆的线性变换，,则有惟一的,15,使,显然,仍为二次型，且为标准形。,A是对称矩阵，固有,这表明,也是对称矩阵，若记,则二次型,就是由二次型,经过满秩线性变换,后所得的新二次型。,16,二、正交变换法化二次型为标准形,如果存在正交矩阵P，使,如果在满秩线性变换,中，,C是正交矩阵，则,称它是正交线性变换矩阵，简称正交线性变换。,由于实二次型的矩阵是一个对称方阵，,故对于任意,一个 n 元实二次型,一定可以找到一个正,交变换,使得,17,对二次型,存在正交变换 使,其中,为 的
4、特征值。,其中P 的列向量是A的相应于特征值的n个两两正交,的单位特征向量。,定理1 （主轴定理）,18,例1 用正交变换化二次型为标准型，,正交变换。,解 （1）写出二次型 f 的矩阵A .,(2) 求出A 的全部特征值及其对应的标准正交的,特征向量。,并求出所用的,19,而它们所对应的标准正交的特征向量为,(3) 写出正交变换,取正交矩阵,则得所欲求的正交变换,即,20,（4） 写出,的标准形。,易知经上述正交变换,后所得二次型的标准形,必须指出：,把实二次型,化为标准形后，,所得标准形虽然不是惟一的，,但在标准形中的系数不,等于零的平方项的个数是由A的秩所惟一确定的。,并且,在标准形中平
5、方项系数为正的的个数p 与负的个数,r - p也都是惟一确定的。,它们依次被称为实二次型,的正（负) 惯性指数。,21,2.,解 二次型的矩阵为,22,3）对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化：,23,作正交变换 X=QY，则,24,3.,解 （1）写出二次型 f 的矩阵A .,(2) 求出A 的全部特征值及其对应的标准正交的,特征向量。,25,当,时解,解之,其基础解系,先将,正交化。,单位化,26,当,得同解方程组,基础解系为,时解,单位化,(3) 写出正交变换,取正交矩阵,则得所欲求的正交变换,27,的标准形。,易知经上述正交变换,后所得二次型的标准形。,（4） 写出,28,
6、三、用配方法二次型为标准型,由于二次型的形式多种多样，,不妨设它含有一个,交叉项,这又可以分成两种情形来讨论。,1、同时含有平方项,与交叉项,的情形。,用配方法将例1中的二次型经可逆线性变换化为,例3,解,标准形。,29,令,二次型的标准形为,所求的可逆线性变换为,30,用配方法化二次型,为标准形,并求出所作的可逆线性变换.,例4,解,令,2、不含有平方项,的情形。,31,则,令,则二次型的标准形为,32,所用的可逆线性变换为,33,二次型的标准形显然不是唯一的，,只是标准形中,所含项数是确定的（即是二次型的秩R(A),不仅如此,在限定变换的实变换时，,标准形中的系数的个数是不,变的（从而负系
7、数的个数也不变）。,这与选择的线性,变换无关，,可设二次型的标准形为：,四、正定二次型,34,令,（1）式变成,则称 (2) 为实二次型,的规范型。,其平方项系数为 1，1，0。,设二次型的标准形为：,35,(惯性定理),定理2,任何实二次型总可以经过一个适当的可逆,线性变换化成规范形,规范形是唯一的.,其中 为 的秩.,36,都有,定义,设,为实二次型,(A为实对称矩阵),如果对于任意非零向量,称 为正定(半正定)二次型,称正定(半正定),二次型 的矩阵 为正定(半正定)矩阵.,2、正定二次型,37,判别下列二次型的正定性,任,半正定.,1.,2.,解,1.,代入,2.,不定.,例5,38,实二次型,正定,标准形中 个系数全为正.,推论2,推论3,正定,39,各阶顺序主子式全大于0,即,定理3,正定,奇数阶顺序主子式为负,负定,偶数阶顺序主子,式为正。,40,为负定.,判别二次型,的矩阵为,的正定性.,解,例6,41,作业,P277 1(1)(3) 2 (1) 3 4(1),
