1、1常微分方程模拟试题一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分）1一阶微分方程的通解的图像是 2 维空间上的一族曲线2二阶线性齐次微分方程的两个解 为方程的基本解组充分必要条件是)(,1xy3方程 的基本解组是 0y4一个不可延展解的存在在区间一定是 区间5方程 的常数解是 21dx二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分）6方程 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ） y3（A）上半平面 （B）xoy 平面 （C）下半平面 （D）除 y 轴外的全平面7. 方程 （ ）奇解1dx（A）有一个 （B）有两个 （C）无 （D）有无数个 8 连续可微是保证方程 解存在且唯一的（ ）
2、条件)(yf )(dyfx（A）必要 （B）充分 （C）充分必要 （D）必要非充分9二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ） （A）构成一个 2 维线性空间 （B）构成一个 3 维线性空间（C）不能构成一个线性空间 （D）构成一个无限维线性空间10方程 过点(0, 0) 有（ B ） 3dyx(A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、计算题（每小题分，本题共 30 分）求下列方程的通解或通积分：11. yxlnd12. x2)(113. 5dyx14 0)d(2215 3四、计算题（每小题 10 分，本题共 20 分）16求方程 的通解25xy17求下列方程组
3、的通解xtytdsin1五、证明题（每小题 10 分，本题共 20 分）18设 在 上连续，且 ，求证：方程)(xf),00)(limxfx2)(dxfy的一切解 ，均有 )(xy0)(limxyx19在方程 中， 在 上连续，求证：若qp)(,qp),恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式 是 上的严格单调p xW(函数常微分方程模拟试题参考答案 一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分）12 2线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3 4开 5 xe, 1y二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分）6D 7C 8B 9C 10A三、计算题（每小题分，本题共 30 分
4、）11解： 为常数解 （1 分）1y当 ， 时，分离变量取不定积分，得0（3 分）xydln通积分为（6 分）xCel注： 包含在常数解中，当 时就是常数解，因此常数解可以不专门列出。1y0c13解： 方程两端同乘以 ，得5y（1 分）x45d令 ，则 ，代入上式，得zy4 zy5（3 分）xd1这是一阶线形微分方程，对应一阶线形齐次方程的通解为（4 分）4xzce利用常数变易法可得到一阶线形微分方程的通解为（5 分）14Cx因此原方程通解为（6 分）4e4xy14解： 因为 ，所以原方程是全微分方程 （2NM23分）取 ，原方程的通积分为)0,(,(0yx（4 分）Cyx02d计算得 （6
5、分）y32115解： 原方程是克莱洛方程，通解为 （6 分）3Cx四、计算题（每小题 10 分，本题共 20 分）16解： 对应齐次方程的特征方程为， （1 分）052特征根为， ， （2 分）12齐次方程的通解为 （4 分）xCy5e因为 是特征根。所以，设非齐次方程的特解为0（6 分）)()21BA代入原方程，比较系数确定出， ， （9 分）35原方程的通解为 （10 分）xxCy251e352117解： 齐次方程的特征方程为（1 分）201特征根为（2 分）i求得特征向量为（3 分）1i因此齐次方程的通解为（4 分）tCtyxcosinsi-c21令非齐次方程特解为（5 分）tti)(i
6、n-)(21满足)(,21tC4（6 分）0sin1)(cosin21ttCt解得 （8 分）,si)(21ttt积分，得 ， （9 分）tnl1 t)(2通解为（10 分） tttCtyx cosinls-icoisin-co21五、证明题（每小题 10 分，本题共 20 分）18证明： 设 是方程任一解，满足 ，该解的表达式为)(x0)(yx（4 分）000ed)(e)xxsxfy取极限000)(limli)(lim)xxsxxx fy= （10 分） 00000de)(,e)(li, ) )(xxsxx sff若19证明： 设 ， 是方程的基本解组，则对任意 ，它们朗斯)(1y2 ),基行列式在 上有定义，且 又由刘维尔公式,()(W， （5 分）x0de)(spx ),(0)x0)(由于 ， ，于是对一切 ，有0)(W(p),或 )x(故 是 上的严格单调函数 （10 分）x,
