1、 点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料一份好的考研复习资料，会让你的复习力上加力。中公考研辅导老师为考生准备了【高等数学-中值定理知识点讲解和习题】 ，同时中公考研网首发 2017 考研信息，2017 考研时间及各科目复习备考指导、复习经验，为 2017 考研学子提供一站式考研辅导服务。第三章 中值定理综述：中值定理的证明一直是考研数学的难点.在考研数学一的考试中，这一部分的出题的频率比较稳定，一般两年出一道大题.从考试的情况来看，考生在这一部分普遍得分率不高. 其主要原因是练习不够，不熟悉常见的思想方法，以及对证明题惯有的惧怕心理.其实这一部分的题目也是
2、有一定套路的，只要掌握一些常见的证明思路，在大多数情况下就都可以轻松应对了.本章需要用到的主要知识点有：闭区间上连续函数的性质（有界性、最值定理，介质定理） ，费马引理，罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和积分中值定理.根据题目的形式，我们将这一部分的题目分为了 3 种类型：中值定理的简单应用（直接能作出辅助函数的） ，复杂的中值定理证明（需要对等式变形才能作出辅助函数的） ，证明存在两点 ,ab使得它们满足某种等式.常考题型一：对中值定理内容的考查1.【023 4 分】设函数 fx在闭区间 ,ab上有定义，在开区间 ,ab上可导，则（） A当 0fab时，存在 ,，使得 0fB对任何
3、,，有 limxffC对 ff时，存在 ,ab，使 D存在 (,)ab，使 ()()ffa.点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料2.【04-3 4 分 】设 在 上连续，且 ，则下列结论中错)(xf,ab0)(,)(bfaf误的是()(A) 至少存在一点 ，使得 .0(,)(0xff(B) 至少存在一点 ，使得 .baxb(C) 至少存在一点 ，使得 .),(0)(0xf(D) 至少存在一点 ，使得 = 0.x3 【96-2 5 分】求函数 在 点处带拉格朗日型余项的 阶泰勒展开1()fxn式.4.【03-2 4 分】 的麦克劳林公式中 项的系数是 .xy
4、2n常考题型二：闭区间上连续函数性质5.【02-3 6 分】设函数 在 上连续，且 .利用闭区间上连续(),fxg,ab()0gx函数性质，证明存在一点 ，使 .ab()baafxdfd常考题型三：罗尔定理的使用6.【08-2 4 分】设 ，求 的零点个数()2()1)(fxx()fx0 1 2 3ABCD7.【07123 11 分】设函数 (),fxg在 ,ab上连续，在 (,)ab内具有二阶导数且存在相等的最大值， ()fab，证明：存在 ，使得()fg.8.【00123 6 分】设函数 fx在 0,上连续，且 0fxd，0cos0fxd.试证：在 ,内至少存在两个不同的点 12、 ，使得
5、12.点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料9.【962 8 分】设 fx在区间 ,ab上具有二阶导数，且 0,fafb0fab试证明：存在 ,和 ，使 0f，及 .10.【033 8 分】设函数 ()fx在 ,3上连续，在 (,3)内可导，且()1(2),(3)1fff.试证：必存在 0，使 .)f11.【103 10 分】设函数 ()fx在 ,上连续,在 ,内存在二阶导数,且20()()ffxdf,(I) 证明存在 02,使 ()0;ff;(II) 证明存在 (3,使 12.【933 6 分】 假设函数 ()fx在 0,1上连续，在 (0,1)内二阶可导
6、，过点(0,)(1,)AfBf的直线与曲线 y相交于点 ()Ccf，其中 c，证明：在内至少存在一点 ，使 ()0f【小结】：1. 对命题为 ()nf的证明，一般利用以下三种方法：（1）验证 为 (1)nfx的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；（2）验证 (1)nf在包含 于其内的区间上满足罗尔定理条件.（3 ）如果 x在某区间上存在 n个不同的零点，则 ()nfx在该区间内至少存在一个零点.2证明零点唯一性的思路：利用单调性；反证法.4.证明函数在某区间上至少有两个零点的思路有：证明该函数的原函数在该区间上有三个零点；先证明至少有一个零点，再用反证法证明零点不是唯一的.
7、 （这些结论在证明题中不能直接应用，应用它们的时候需要写出证明过程，但记住它们对复杂一点的证明题是很好的思路提示.）点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料4.费马引理、罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明过程都是需要掌握的，它们不但是直接的考点。所涉及的思想方法在中值定理的证明过程中也有重要应用。常考题型四：柯西中值定理的使用13.【032 10 分】设函数 ()fx在闭区间 ,ab上连续，在开区间 (,)ab内可导，.0)(xf若极限 afax2(lim存在，证明：(1)在 ,b内 )0f;(2)在 (,内存在点 ，使 )(2)(2fdxfba；
8、(3)在 (,)ab内存在与 (2)中 相异的点 ，使 badxfbf .)(2)214.【08-2 10 分】 (I) 证明积分中值定理：若函数 在闭区间 上连续，则(fx,至少存在一点 ，使得 ；,ab()()bafxdfba(II)若函数 具有二阶导数，且满足， ，则至少存在()x 3221,()()xd一点 ， .1,30使 得常考题型五：辅助函数的构造15.【09123 11 分】 （）证明拉格朗日中值定理：若函数 fx在 ,ab上连续，在 (,)ab可导，则存在 ,ab，使得 ffafb（）证明：若函数 fx在 0处连续，在 0,内可导，且0limxfA，则 存在，且 fA16.【
9、98-12 6 分】设 是区间 上的任一非负连续函数.()yx,1(1) 试证存在 ,使得在区间 上以 为高的矩形面积,等于在区010x0()f间 上以 为曲边的梯形面积.0,1x()yfx点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料(2) 又设 在区间 内可导,且 证明(1)中的 是唯一的.()fx(01)2()(),fxf0x17.【133 10 分】设函数 fx在 0,上可导， lim()2xff且 ，证明（1 ）存在 0a，使得 ()1fa（2 ）对（1 ）中的 ，存在 0,使得 1().fa18.【951 8 分】假设函数 x和 g在 ,b上存在二阶导数
10、，并且0gx， fafbgab，试证：（1 ）在开区间 ,内， 0x；（2 ）在开区间 ,ab内至少存在一点 ，使 ffg.19.【963 6 分】设 fx在区间 0,1上可微，且满足条件 120fxfd，试证：存在 0,1，使 .20.【013 9 分 】设 fx在区间 ,上连续，在 ,1内可导，且满足101xkfefdk证明至少存在一点 0,，使得21.【993 7 分 】设函数 fx在区间 ,1上连续，在 0,1内可导，且10,2fff.试证：（1 ）存在 ,，使 f；（2 ）对任意实数 ，必存在 0,，使得 1ff.22.【1312 10 分】设奇函数 ()fx在 1,上具有二阶导数，
11、且 ()f.证明：点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料（I）存在 0,1（ ） ，使得 ()1f；（II）存在 1,，使得 ()1ff。【小结】：1.构造辅助函数的方法：1）.将待证明结论中的 改为 x；2）.通过初等变换将等式化为容易积分的形式；3）.积分求出原函数，积分常数取作 0；4）.将等式两边移到一边，即是所需辅助函数.2. 如果要证明的等式为 1()()nnfPf，则令辅助函数为()(1)PxdnFef。然后证明该函数满足罗尔定理，即可得到想要的结论。对命题为 ()0的证明，一般利用以下两种方法：方法一：验证 为 (1)nfx的最值或极值点，利
12、用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；方法二：验证 ()在包含x于其内的区间上满足罗尔定理条件.常考题型六：双中值问题23.【0512 12 分】已知函数 ()fx在 0,1上连续，在 (0,1)内可导，且 (0)f，(1)f，证明：（1 ）存在 ),10( 使得 )(f；（2 ）存在两个不同的点 1,0，使得 .1)(f24.【102 10 分】设函数 ()fx在闭区间 0,上连续,在开区间 0,1内可导,且(0)f, 1()3f,证明：存在 ,2, (),使得 2()=.ff25.【983 6 分】设函数 fx在 ab上连续，在 ,ab内可导，且 fx.试证存在 ,ab，使得 ef.【小
13、结】：1.等式中含有两个参数 ,的题目一般需要用两次柯西中值定理：由点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料()()fbafgg， ()fbafhh得到 ()()()ffbagba，()()()ff，从而有 ()()()ffgh ，再通过初等变换得到需要证明的等式.2当要证明的等式关于 ,具有轮换对称性时或题目中明确要求 ,不相同时，通常的做法是：选取适当的点 ()cab，在 ,c和,cb上分别应用中值定理，然后得到所需要证明的等式.常考题型七：泰勒中值定理的使用26.【01-1 7 分】设 在 内具有二阶连续导数且 试证：()yfx1,“()0,fx(1)
14、对于(1,1)内的任意 , 存在唯一的 (0,1) ，使0成立；()0()fxfx(2) 01lim.2x27. 【96-1 8 分】 设 在 上具有二阶导数,且满足条件 ,()fx01 |()|fxa,其中 都是非负常数, 是(0,1)内任一点,证明 .|()|fbac|()|2bfca28.【99-2 8 分】设函数 在闭区间 上具有三阶连续导数，且 ，fx10f， ，证明：在开区间 内至少存在一点 ，使1f0f 1,329.【01-2 8 分】设 在区间 上具有二阶连续导数, ,()fx(0)af（ ）(1) 写出 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式;f(2) 证明在 上至少存在一点 ，使,a3()().affxd参考答案：1.【02 3 4 分】 B2.【04-3 4 分】 D点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料3.【96-2 5 分】 12 121() (1)()(0)nnnx xf xx4.【03-2 4 分】 !)(ln5.【02-3 6 分】略6.【08-2 4 分】 D在紧张的复习中，中公考研提醒您一定要充分利用备考资料和真题，并且持之以恒，最后一定可以赢得胜利。更多考研数学复习资料欢迎关注中公考研网。
