1、第6讲,不等式选讲,1常用的证明不等式的方法,(1)比较法：比较法包括作差比较法和作商比较法,(2)综合法：利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数的定理)和不等式的性质，推导出所要证明的不等式(3)分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立,(4)反证法：可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式 AB，先假设 AB，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定 AB.凡涉及的证明不等式为否定命题、唯一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存
2、在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法(5)放缩法：要证明不等式 AB 成立，借助一个或多个中间变,量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法,2绝对值不等式,(1)含绝对值不等式的解法,设 a0，|f(x)|af(x)a.(2)理解绝对值的几何意义|a|b|ab|a|b|.,x|1x2,1用反证法证明时：其中的结论“ab”，应假设为(,),Aab,Bab,Cab,Dab,D,2(2010 年广东广州测试)若关于 x 的不等式|xa|1 的解集,为(1,3)，则实数 a 的值为(,),A,(，1)(2，),A2,B1,C1,D2,4不等式|2x3|1 的解集为_5(2010 年陕西)不等式
3、|2x1|3 的解集为_,3不等式|2x1|x|的解集为_,考点1,比较法证明不等式,证明：ab1， ax2by2(axby)2ax2by2a2x22abxyb2y2 a(1a)x2b(1b)y22abxy abx2bay22abxy ab(xy)2. 又a，bR，ab(xy)20. ax2by2(axby)2.,比较法证不等式步骤可归纳为：,第一步：作差并化简，其化简目标应是 n 个因式之积或完全,平方式或常数的形式,第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论第三步：得出结论.,考点2 综合法证明不等式,利用某些已经证明的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件综合法证明不等式的
4、逻辑关系是：AB1B2BnB，及从已知条件A 出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论B.,考点3 分析法证明不等式,分析法证明不等式，就是“执果索因”，从所证的不等式出发，不断用充分条件代替前面的不等式，直至使不等式成立的条件已具备，就断定原不等式成立当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别对于条件简单而结论复杂的题目往往是行之有效的方法,用分析法论证“若 A 则 B”这个命题的模式是：欲证命题 B为真，只需证明命题B1为真，从而又只需证明命题B2为真，从而又只需证明命题A 为真，今已知A 真，故B 必真简写为：BB1B2BnA.,考点4 利用放缩法证明不等式
5、时应把握好度,要证AB，可适当选择一个C，使得CB，反之亦然主要应用于不等式两边差异较大时的证明一般的放缩技巧有：,分式放缩：固定分子，放缩分母；固定分母，放缩分子,多见于分式类不等式的证明,添舍放缩：视情况丢掉或增多一些项进行放缩，多见于整,式或根式配方后需要放缩的不等式的证明,考点5,解绝对值不等式,A(0,2),B(，0),A,C(2，),D. (，0)(0，),(2011 年广东)不等式|x1|x3|0 的解集是,_,1，),解析：|x1|x3|0(x1)2(x3)2，原不等式的解集为1，),0，),考查含绝对值不等式的解法，对于含绝对值不等式主要是去掉绝对值后再求解，可以通过绝对值的
6、意义、零点分区间法、平方等方法去掉绝对值题利用代值法最好；题利用平方法最好；题利用零点分区间法最好,考点6 不等式|a|b|ab|a|b|的应用,图561,例6：设函数f(x)|2x1|x4|. (1)解不等式f(x)2； (2)求函数yf(x)的最小值,对于比较复杂的含绝对值不等式的问题，若用常规解法需分类讨论，去掉绝对值符号，解法繁琐，而灵活运用绝对值的几何意义，往往能简便、巧妙地将问题解决,【互动探究】1若不等式|x4|x3|a 的解集为非空集合，则实数 a 的,取值范围是(,),C,a3 或 a1,Aa7,B1a7,Ca1,Da1,2(2010 年广东佛山检测)若不等式|xa|x2|1
7、 对任意实数 x 均成立，则实数 a 的取值范围为_.解析：设y|xa|x2|，则ymin|a2|，因为不等式|xa|x2|1对xR恒成立，所以|a2|1，解得：a3，或a1.,1利用比较法证明不等式时，为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负,2放缩法证明不等式的理论依据主要有：(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较常用的放缩技巧有：舍掉(或加进)一些项；在分式中放大或缩小分子或分母；应用均值不等式进行放缩,3特别注意：对于含绝
8、对值的不等式，从 2010 年高考开始由选考内容改为必考内容，成为这两年高考的热点，特别是 2010年的压轴题就是绝对值不等式，应掌握绝对值不等式的解法和利用|a|b|ab|a|b|证明不等式的基本方法,4含绝对值不等式的解法：等价转化法、分类讨论法及平方,法,5理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意,义及取等号的条件：,|ab|a|b|(a，bR)；|ab|ac|cb|(a，bR).,1分析法和综合法是对立统一的两种方法，分析法的证明过程，恰好是综合法的分析、思考过程，即综合法是分析法的逆过程混淆了它们间的区别与联系易产生思维障碍要注意两种证明方法的书写格式，否则易产生逻辑上的错误利用反证法证明问题是从否定结论入手的，没有使用假设命题而推出矛盾结果，其推理过程是错误的,2应用定理|a|b|ab|a|b|求解基本问题时，要注意等号成立的条件特别注意不等式|ab|a|b|，当且仅当 ab0时，等号成立,
