1、2019/4/28,南晓数信学院,1,第2讲 函数依赖的公理体系,授课人： 李朔 Email:,2019/4/28,南晓数信学院,2,主要内容,阿姆斯特朗公理及推论 X关于F的闭包及其计算 最小函数依赖集 候选键的求解方法,2019/4/28,南晓数信学院,3,一、阿姆斯特朗公理及推论,是一系列推理规则 最早出现在1974年W.W.Armstrong的论文里 他人于1977年提出改进形式,F=XY,侯选键,XY在R中是否成立,能从F导出的所有XY,推导工具？,问题引入：,2019/4/28,南晓数信学院,4,1、阿姆斯特朗公理,设有关系模式R(U,F)，U=A1,A2,An是R的属性集，F是R
2、的属性集U上的FD集，X、Y、Z、W是U的子集。 阿姆斯特朗公理为：A1 自反律：若YX，则XYA2 增广律：若XY，则XZYZA3 传递律：若XY,YZ，则XZ,2019/4/28,南晓数信学院,5,Armstrong公理是正确的。方法：从函数依赖的定义出发A1 自反律：若YX，则XY (增广律,传递律证明类似,P104) 证：设u、v为r的任意两个元组。若uX=vX，则u和v在X的任何子集上必然相等。 由条件YX ，所以有：uY=vY，由u、v的任意性，并根据函数依赖的定义，可得 XY。,2、定理5.1,2019/4/28,南晓数信学院,6,3、 阿姆斯特朗公理的推论,合并规则：若XY且X
3、Z，则XYZ (增广律)分解规则：若XY，且ZY，则XZ (自反律)伪传递规则：若XY且WYZ，则WXZ,证：,XY,WXZ,WXWY,WYZ,2019/4/28,南晓数信学院,7,例5.2简化版 P105 对关系模式R(A,B,C),依赖集F=C-A,AB-C,候选键为AB和CB,证明BC-ABC. 证明:已知有C-A,由增广律可得BC-AB,又已知AB-C,由增广律可得AB-ABC综上由传递律可得 BC-ABC,2019/4/28,南晓数信学院,8,作用：将一个FD分解成若干个右边是单属性的FD。用于确定关系的主键。,4、定理5.2,如果Ai(i=1,n)是关系模式R的属性,则XA1A2A
4、n成立的充分必要条件是XAi(i=1,n)均成立。,2019/4/28,南晓数信学院,9,二、X关于F的闭包及其计算,例：已知关系模式R(A,B,C)，其函数依赖集为F=AB，BC，求函数依赖集F的闭包F+。(P103),2019/4/28,南晓数信学院,10,1、X关于F的闭包,设有关系模式R(U,F)和属性集U=A1,A2,An的子集X。则称所有用阿姆斯特朗公理从F推导出的函数依赖XAi的属性Ai组成的集合称为X关于F的闭包，记为XF+，通常简记为X+。即XF+=Ai|用公理从F推出的XAi,集合元素,2019/4/28,南晓数信学院,11,设有关系模式R(U，F)，U=A1,A2,An是
5、R的属性集，F是R的属性集U上的函数依赖集，X、Y是U的子集，则XY能用Armstrong公理从F导出YX。,该定理把判定XY是否能由F根据Armstrong公理导出的问题 求出X，判定Y是否为X的子集的问题。,2、定理5.3,2019/4/28,南晓数信学院,12,算法5.1 求属性集X关于函数依赖集F的闭包X 输入：关系模式R的全部属性集U,U上的函数依赖集F，U的子集X。 输出：X关于F的闭包X。 计算方法：,3、X关于F的闭包X的计算,2019/4/28,南晓数信学院,13,（1）X(0)=X。 （2）从F中找出满足条件VX(i)的所有函数依赖VW，并把所有的VW中的属性W组成的集合记
6、为Z；也即从F中找出那些其决定因素是X(i)的子集的函数依赖，并把由所有这样的依赖的被决定因素组成的集合记为Z。 （3）若ZX(i)，则转（5）。(当X(i)只决定自己时) （4）否则，X(i+1)=X(i)Z，并转（2）。(传递律) （5）停止计算，输出X(i)，即为X+。,3、X关于F的闭包X的计算（续）,2019/4/28,南晓数信学院,14,例5.4 已知R(U),U=A,B,C,D,E,G， R上的FD集F=ABC,CA,BCD,ACDB，DEG,BEC,CGBD,CEAG，X=BD，求X，BDA是否成立？ (1)X（0）=BD。(B、D、B，D） (2)X（1）=BDEG（B、D、
7、E、G、B、D2n-1个子集) (3)X（2）=BCDEG (4)X（3）=ABCDEG,X=ABCDEG,ABD，故BDA成立,4、举例,2019/4/28,南晓数信学院,15,一个函数依赖集F的闭包F通常包含很多函数依赖，有些函数依赖是无意义的，如平凡的函数依赖，还有一些是可以推导出的，即无关的函数依赖。如果将每一个函数依赖看作是对关系的一个约束，要检查F中的每一个函数依赖对应的约束，显然是一件很繁重的任务。如果能找出一个与F等价的、包含较少数目函数依赖的函数依赖集G，则可以简化此工作。最小函数依赖集的概念由此而提出。,三、最小函数依赖集,2019/4/28,南晓数信学院,16,定义5.5
8、设F和G是两个函数依赖集，如果FG，则称F和G等价。如果F和G等价，则称F覆盖G，同时也称G覆盖F。,1、函数依赖集的等价与覆盖,2019/4/28,南晓数信学院,17,定理5.4 FG的充要条件是FG和GF。,F= G,F,G,FG,定理,GF,定理意义:P107 不计算F+与G+,对于F(或G)中每个X-Y,只通过求Xg+中是否包含Y来判断FG, XF+来判断GF,FG, F (G)+,2019/4/28,南晓数信学院,18,作用：任一函数依赖集都可转化成由右端只有单一属性的依赖组成的集合。该结论是最小函数依赖集的基础。,推论,每一个函数依赖集F都被其右端只有一个属性的函数依赖组成的依赖集
9、G所覆盖。,2019/4/28,南晓数信学院,19,满足下列条件的函数依赖集F称为最小函数依赖集。 F中每一个FD的右端都是单个属性； 对F中任何FD:XA，F-XA不等价于F； 对F中的任何FD:XA和X的任何真子集Z，(F-XA)ZA不等价于F。,2、最小函数依赖集,F没有多余的FD,每个FD左端无多余的属性,2019/4/28,南晓数信学院,20,求解方法,（1）用分解规则将F中的所有函数依赖分解成右端为单个属性的函数依赖；,Armstrong公理的推论 分解规则：若XY，且ZY，则XZ,2019/4/28,南晓数信学院,21,求解方法（续一）,（2）去掉F中冗余的函数依赖 对于F中任一
10、FD：XY G = F-XY； 求X关于G的闭包XG+； 看XG+是否包含Y。如果XG+包含Y，则在G中逻辑蕴涵XY，说明XY是多余的函数依赖，所以F=G；如果X+不包含Y，则保留XY。,2019/4/28,南晓数信学院,22,求解方法（续二）,（3）去掉左端多余的属性对于F中左端是非单属性的函数依赖（XYA），假设要判断Y是否是多余的属性 G = (F-XYA)XA； 求X关于F的闭包XF+； 如果A不属于XF+，则XA不在F+中，说明Y不是多余的属性，接着判别X是否是多余的属性；如果A属于XF+，则说明Y是多余的属性，F=G。,2019/4/28,南晓数信学院,23,ABC，CA，BCD，
11、 ACDB，DEG，BEC， CGBD，CEAG,F=,ABC，CA，BCD，ACDB, DE,DG，BEC，CGB ， CGD，CEA,CEG, F1=,例5.5：求函数依赖集F的最小函数依赖集法1：（步骤一：分解规则 ）,3、举例,2019/4/28,南晓数信学院,24, F21=,ABC，CA，BCD，ACDB, DE,DG，BEC，CGB ， CGD，CEA,CEG,F1=,ABC，CA，BCD，ACDB, DE，DG，BEC，CGD，CEA,CEG,3、举例（续一）,例5.5：求函数依赖集F的最小函数依赖集 (步骤二：去掉F中冗余的函数依赖 ）,2019/4/28,南晓数信学院,25
12、, F22=,ABC，CA，BCD，ACDB, DE,DG，BEC，CGD，CEA,CEG, F21=,ABC，CA，BCD，ACDB，DE，DG，BEC，CGD，CEG,3、举例（续二）,例5.5：求函数依赖集F的最小函数依赖集,(步骤二：去掉F中冗余的函数依赖 ）,2019/4/28,南晓数信学院,26,ABC，CA，BCD，ACDB，DE，DG，BEC，CGD，CEG, F22=, F3=,ABC，CA，BCD， CDB，DE，DG， BEC，CGD，CEG,3、举例（续三）,例5.5：求函数依赖集F的最小函数依赖集,步骤三：去掉左端多余的属性,2019/4/28,南晓数信学院,27,
13、F21=,ABC，CA，BCD， DE，DG，BEC， CGB，CEG,ABC，CA，BCD，ACDB, DE,DG，BEC，CGB CGD，CEA,CEG, F1=,3、举例（续四）,例5.5：求函数依赖集F的最小函数依赖集 法2：（步骤一：分解规则 ）,步骤二：去掉F中冗余的函数依赖,步骤三：去掉左端多余的属性,2019/4/28,南晓数信学院,28,四、候选键的求解方法,1、属性分类对于给定的关系R（U）和函数依赖集F，可将其属性分为4类： L类：仅出现在F的函数依赖左部的属性； R类：仅出现在F的函数依赖右部的属性； N类：在F的FD左右两边均未出现的属性； LR类：在F的FD左右两边
14、均出现的属性。,2019/4/28,南晓数信学院,29,四、候选键的求解方法,2、快速求解候选键的一个充分条件 （1）若X是L类属性，则X必为R的某一候选键的成员； （2）若X是L类属性，且X包含了R的全部属性，则X必为R的唯一候选键； （3）若X是R类属性，则X不是任一候选键的成员； （4）若X是N类属性，则X必包含在R的某一候选键中； （5）若X是R的N类属性和L类属性组成的属性集，且X包含了R的全部属性，则X是R的唯一候选键。,2019/4/28,南晓数信学院,30,四、候选键的求解方法,3、候选键的一般求解方法 将所有属性分为L、R、N和LR四类，并令X代表L和N类，Y代表LR类； 求
15、XF+：若XF+包含了R的全部属性，则X是R的唯一候选键，转； 在Y中取一属性A，并求(XA)F+ ：若(XA)F+包含了R的全部属性，则XA为的一个候选键； 重复，直到Y中的属性依次取完为止； 从Y中除去所有已成为主属性的属性A；,2019/4/28,南晓数信学院,31,四、候选键的求解方法,3、候选键的一般求解法 在剩余的属性中依次取两个属性、三个属性，将其记为集合B，并求(XB)F+ ：若(XB)F+包含了R的全部属性，且自身不包含已求出的候选键，则XB为R的一个候选键； 重复，直到Y中的属性按的组合依次取完为止； 输出候选键，算法结束。,2019/4/28,南晓数信学院,32,R的候选键：A、E、BC和CD,四、候选键的求解方法,3、候选键的一般求解法 例:设有关系模式R（A,B,C,D,E），R的函数依赖集FABC,CDE,BD,EA，求R的所有候选键。,均为LR类,令Y=ABCDE。,A+=ABCDE E+=ABCDE,BC+=ABCDE CD+=ABCDE,2019/4/28,南晓数信学院,33,XY是否能从F导出,Armstrong公理 及推论,小结,求X+,求最小FD集,无多余FD,FD左边 无多余属性,F+=G+,候选键,L类、N类、LR类,2019/4/28,南晓数信学院,34,谢谢,追求,休息一下！,
