1、1,7 初等方阵,一、初等方阵的概念,二、利用初等变换求逆矩阵,2,定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.,三种初等变换对应着三种初等方阵.,矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.,一、初等矩阵的概念,3,4,=,5,=,6,7,8,9,10,11,(2). 初等方阵均为可逆阵, 其逆阵仍为初等方阵.,12,(3).,则 B 等于以相应的初等方阵 P 左乘 A ,即 B = PA . 反之也成立.,(行左),即 B = AP , 反之也成立.,(列右),则 B 等于以相应的初等方阵 P 右乘 A ,13,(4).,A B,B = PAQ,P 为m 阶可逆阵,Q 为n
2、 阶可逆阵.,14,定理五:对于一mn矩阵A作一次初等行变换相当于在A的左边乘上一个相应的m阶初等方阵;对A作一次初等列变换相当于在A的右边乘上一个相应的n阶初等方阵.,定理六:两个mn矩阵A,B等价的充要条件是:存在可逆的m阶方阵P与可逆的的n阶方阵Q使A=PBQ,证明:由定理五可知,A与B等价的充要条件为,则P,Q均可逆,且A=PBQ,15,定理七. 若矩阵 A 可逆,存在有限个,证明:,E.,故E 可经有限次初等变换变成 A. 即,证毕.,16,推论: 可逆阵总可以经一系列行变换化成单位阵.,事实上,由定理七有,证毕.,17,方法：,当|A|0 (即A可逆),二、利用初等变换求逆矩阵,18,综合、:,简记:,即,经初等行变换,例.,19,解:,20,21,22,即,初等行变换,23,例,解,24,25,26,27,解,例3,28,29,
