1、南江四中 李培杰,1,2019年6月15日星期六,(必修1) 第二章 基本初等函数(),第5讲,指数、指数函数与幂函数,南江四中 李培杰,2,理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，能进行幂的运算；理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的性质，会画指数函数的图象.,南江四中 李培杰,3,1.(1)化简:(2 )0+2-2(2 ) -(0.01)0.5= . (2) = .,= = = .,(1)(2 )0+2-2(2 ) -(0.01)0.5=1+ ( ) -( ) =1+ - = . (2) =,3,3,南江四中 李培杰,4,(-,-2),2函数f(x)=a-2x的图象经过原点，则不等
2、式f(x) 的解集是 .,由f(x)的图象经过原点知a=1， 所以f(x)=1-2x 2x x-2.,南江四中 李培杰,5,设f(x)=xn过点（-2，- ）,得(-2)n=-n=-3 f(x)= x -3=27 x= .,3幂函数y=f(x)的图象经过点（-2，-1/8)，则 满足f(x)=27的x的值是 .,南江四中 李培杰,6,4.设y1=40.9,y2=80.48,y3=( )-1.5,则( )A.y3y2y1 B.y2y1y3C.y1y2y3 D.y1y3y2,D,幂值大小比较问题，首先考虑指数函数的单调性，不同底先化成同底.y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y
3、3=( )-1.5=21.5.又因为y=2x在R上是单调增函数，1.81.51.44, 所以y1y3y2.,南江四中 李培杰,7,函数f(x)要在R上是增函数2-a0a1a2-a+1,(2-a)x+1(x1)ax(x1),且f(x)是R上的增函数,A,A. ,2) B.(1, ) C.(1,2) D.(1,+),a2.,5. 已知f(x)=,那么a的取值范围是( ),南江四中 李培杰,8,1.根式 (1)一般的,如果xn=a,那么x叫做a的 . （n1且nN*），当n为奇数时，正数的n次方根是一个 ,负数的n次方根是一个 .这时a的n次方根记为 ;当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，可用符号
4、 表示，其中 叫做 ,这里的n叫做 ,a叫做 .,n,n次方根,正数,负数,n,根式,根指数,被开方数,n,南江四中 李培杰,9,(2)当n为奇数时， =a; 当n为偶数时, = = 2.分数指数幂 (1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是: = (a0,m、nN*,n1). (2)正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿；我们规定 = (a0,m,nN*,n1). (3)0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.,n,|a|,n,a (a0) -a (a0).,n,南江四中 李培杰,10,3.有理数指数幂的性质 (1)aras= (a0,r、sQ); (2)(ar)s= (a
5、0,r、sQ); (3)(ab)r= (a0,b0,rQ). 4.指数函数及性质 (1)一般的,函数 (a0,且a)叫做指数函数,其中x是 ,函数的定义域是 .,ar+s,ars,arbr,y=ax,自变量,R,南江四中 李培杰,11,Ctrl+Alt+M=菜单栏；Ctrl+Alt+T=工具栏；Ctrl+Alt+S=滚动条；Ctrl+Alt+H=窗口；Ctrl+Alt+B=背景,南江四中 李培杰,12,（）指数函数y=ax的图象与性质如下表：,南江四中 李培杰,13,5.幂函数的定义 一般的说，型如 的函数叫幂函数,其中x是自变量，是常数.对于幂函数，我们只讨论=1,2,3, ,-1时的情形.
6、,y1,0y1,0y1,y1,增函数,减函数,y=x,南江四中 李培杰,14,Ctrl+Alt+M=菜单栏；Ctrl+Alt+T=工具栏；Ctrl+Alt+S=滚动条；Ctrl+Alt+H=窗口；Ctrl+Alt+B=背景,南江四中 李培杰,15,6.幂函数的性质 所有的幂函数在(0,+)上都有定义，且图象都过(1,1)点.当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数. 一般的,当0时,幂函数y=x有下列性质： (1)图象都通过点 ; (2)在第一象限内,函数值 ; (3)在第一象限内，当1时，图象是向下凸的;当01时,图象是向上凸的；,(0,0),(1,1),随x的增大而增大,南江
7、四中 李培杰,16,(4)在第一象限内，过点(1，1)后，图象向右上方无限伸展. 当0时，幂函数y=x有下列性质： (1)图象都通过点 ; (2)在第一象限内,函数值 ; (3)在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近,向右与x轴无限地接近.,(1，1),随x的增大而减小,南江四中 李培杰,17,题型一 指数函数的性质,例1,求下列函数的定义域、值域并判断单调性.(1)y=( ) ; (2)y=( )-|x| .,6+x-2x2,南江四中 李培杰,18,因为二次函数u=6+x-2x2=-2(x- )2+ , 所以函数的值域为y|y( ) . 又因为二次函数u=6+x-2x2的对称轴为x= , 在
8、 ,+）上u=6+x-2x2是减函数， 在(-, 上是增函数，又函数y=( )u是减函数， 所以y=( )6+x-2x2在 ,+)上是增函数，在(-, 上是减函数.,利用换元法，化为基本函数求解. (1)函数的定义域为R.令u=6+x-2x2,则y=( )u.,南江四中 李培杰,19,(2)定义域为xR. 因为|x|0， 所以y=( )-|x|=( )|x|( )0=1. 故y=( )-|x|的值域为y|y. 又因为y=( )-|x|是偶函数，( )x (x0)( )x (x0), 所以函数y=( )-|x|在(-,0上是减函数，在0,+)上是增函数.(此题可借助图象思考),且y=( )-|x
9、|=,南江四中 李培杰,20,合函数的值域可采用换元法，结合中间变量的范围求函数的值域；复合函数y=f(x)的单调性要根据y=au,u=f(x)两函数在相应区间上的单调性确定，遵循“同增异减”的规律.,南江四中 李培杰,21,题型二 幂函数的性质,例2,已 知幂函数f(x)=xm2-m-2(mZ)是偶函数，且在(0,+)上是减函数,求函数f(x)的解析式,并讨论g(x)=a - (x (a、bR)的奇偶性.,利用幂函数的定义和性质求解析式，根据奇偶性的定义判断奇偶性.,南江四中 李培杰,22,由题意可知,m2-m-2是偶数, 且m2-m-20,即-1m2. 又因为mZ,所以m=0,1. 此时m
10、2-m-2=-2,故f(x)=x-2. 于是g(x)= -bx,g(-x)= +bx. 当a0且b0时,g(x)为非奇非偶函数； 当a0且b0时,g(x)为奇函数； 当a0且b0时,g(x)为偶函数； 当a0且b0时,g(x)既为奇函数又为偶函数.,南江四中 李培杰,23,题型三 幂、指数函数的综合问题,例3,若直线y=2a与y=|ax-1|(a0,且a1)的图象有两个公共点，则a ；,a|0a ,数形结合法.当a1时，作图知无解； 当0a1时,作图知02a1 0a .,南江四中 李培杰,24,1.分数指数幂的定义揭示了分数指数幂与根式的关系，因此，根式的运算可以转化为分数指数幂的运算.在运算过程中，要贯彻先化简后计算的原则，并且注意运算的顺序. 2.指数函数y=ax的底数须满足条件a0且a，研究几个指数函数尽量化为同底.,南江四中 李培杰,25,3.指数函数的性质主要是单调性,比较大小是单调性的一个重要应用，比较时注意底数与的大小分类讨论. (1)若底数相同，指数不同，则利用指数函数的单调性来比较； (2)若底数、指数均不相同，则可引入中间量或画图象来比较. 4.利用指数函数的概念、图象、性质讨论一些复合函数的相应问题是常考题型,应注意数形结合、分类讨论、化归等数学思想的灵活运用.,南江四中 李培杰,26,做做复习巩固练习题.,
