哈工大运筹学大作业-对偶单纯形法对比.doc

1、运筹学课程运筹学对偶单纯形法与单纯形法对比分析大作业哈尔滨工业大学工业工程系 学 生 姓 名 : 学 号 ： 11208401指 导 教 师 ： 成 绩 ：评 语 ：1运筹学对偶单纯形法与单纯形法对比分析摘 要 ： 这 篇 论 文 主 要 介 绍 了 对 偶 单 纯 形 法 的 实 质 、 原 理 、 流 程 和 适 用 条 件 等 。将 对 偶 单 纯 形 法 与 单 纯 形 法 的 基 本 思 想 进 行 对 比 分 析 ， 从 而 说 明 对 偶 单 纯 形 法 的 优点 和 适 用 范 围 。关 键 词 ： 对 偶 单 纯 形 法 ； 对 偶 理 论 ； 单 纯 形 法 ； 基 本 思

2、 想在 线 性 规 划 早 期 发 展 阶 段 的 众 多 重 要 发 现 中 ， 对 偶 的 概 念 及 其 分 支 是 其 中 最 重要 的 内 容 之 一 。 这 个 发 现 指 出 ， 对 于 任 何 一 个 线 性 规 划 问 题 都 具 有 对 应 的 称 为 对 偶问 题 的 线 性 规 划 问 题 。 对 偶 问 题 与 原 问 题 的 关 系 在 众 多 领 域 都 非 常 有 用 。（ 一 ） 教 学 目 标 ：通 过 对 偶 单 纯 形 法 的 学 习 ， 加 深 对 对 偶 问 题 的 理 解 。 掌 握 对 偶 单 纯 形 法 的解 题 过 程 ， 理 解 对 偶 理

3、 论 的 其 原 理 ， 了 解 对 偶 单 纯 形 法 的 作 用 和 应 用 范 围（ 二 ） 教 学 内 容 ：1） 对 偶 单 纯 形 法 的 思 想 来 源2） 对 偶 单 纯 形 法 原 理3） 对 偶 理 论 的 实 质4） 单 纯 形 法 和 对 偶 单 纯 形 法 的 比 较（ 三 ） 教 学 进 程 ：一 、 对 偶 单 纯 形 法 的 思 想 来 源所 谓 对 偶 单 纯 形 法 ， 就 是 将 单 纯 形 法 应 用 于 对 偶 问 题 的 计 算 ， 该 方 法 是 由 美 国数 学 家 C.莱 姆 基 于 1954 年 提 出 的 ， 它 并 不 是 求 解 对 偶

4、 问 题 解 的 方 法 ， 而 是 利 用对 偶 理 论 求 解 原 问 题 的 解 的 方 法 。2二 、 对 偶 问 题 的 实 质下 面 是 原 问 题 的 标 准 形 式 以 及 其 对 应 的 对 偶 问 题 ：原 问 题 对 偶 问 题 =1. =1 =1,2,0 =1,2, =1. =1 =1,2,0 =1,2,从 而 可 以 发 现 如 下 规 律 ：1.原 问 题 目 标 函 数 系 数 是 对 偶 问 题 约 束 方 程 的 右 端 项 。2.原 问 题 约 束 方 程 的 右 端 项 是 对 偶 问 题 目 标 函 数 的 系 数 。3.原 问 题 一 个 变 量 在

5、所 有 约 束 方 程 中 的 系 数 是 对 偶 问 题 一 个 约 束 方 程 中 的 所 有系 数 。三 、 对 偶 单 纯 形 法 原 理对 偶 单 纯 形 法 是 通 过 寻 找 原 问 题 的 对 偶 问 题 的 可 行 解 来 求 解 原 问 题 的 最 优 解 的方 法 ， 它 的 应 用 包 括 影 子 价 格 和 灵 敏 度 分 析 等 。 为 了 理 解 对 偶 单 纯 形 法 为 什 么 能 够解 出 原 方 程 的 最 优 解 ， 我 们 需 要 对 对 偶 理 论 的 几 个 基 本 原 理 有 所 了 解 。1.弱 对 偶 性如 果 是 原 问 题 的 可 行 解

6、 ， 是 其 对 偶 问 题 的 可 行 解 ，(=1,)(=1,)则 恒 有 =1=1证 明 ： 由 于 对 偶 方 程 中 原 问 题 的 约 束 条 件 是 各 行 的 aijxj 之 和 小 于 等 于 yi的 系 数 bi， 而 对 偶 问 题 的 约 束 条 件 是 各 行 的 aijyi 之 和 小 于 等 于 xj 的 系 数 cj，故 将 和 分 别 和 比 较 ， 可 得 上 述 结 论 。=1=1 =1=12.最 优 性如 果 是 原 问 题 的 可 行 解 ， 是 其 对 偶 问 题 的 可 行 解 ，(=1,)(=1,)3且 有 =1=1则 是 原 问 题 的 最 优

7、 解 ， 是 其 对 偶 问 题 的 最 优 解 。(=1,)(=1,)证 明 ： 由 =1=1可 得 =1=1=1=1=1=1故 可 知 是 原 问 题 的 最 优 解 ， 是 其 对 偶 问 题 的 最 优(=1,)(=1,)解 。3.强 对 偶 性如 果 原 问 题 有 最 优 解 ， 那 么 其 对 偶 问 题 也 有 最 优 解 ， 且 有 maxz=minw.证 明 ： 设 B 为 原 问 题 式 (1)的 最 优 基 ， 那 么 当 基 为 B 时 的 检 验 数 为， 其 中 为 由 基 变 量 的 价 值 系 数 组 成 的 价 值 向 量 。1BCAC既 然 B 为 原 问

8、 题 式 (1)的 最 优 基 ， 那 么 有 。10BCA令 ， 那 么 有 ， 从 而 是 对 偶 问 题 式 (2)的1Y0YAY可 行 解 。这 样 一 来 ， 是 对 偶 问 题 的 可 行 解 ， 是 原 问 题 的 最 优 基 可1BC 1BXb行 解 。由 于 ， 而 ， 从 而 有 。 根 据 最 优1BNBXb1BYCCY性 ， 命 题 得 证 。4.线 性 规 划 的 问 题 原 问 题 及 对 偶 问 题 之 间 存 在 一 对 互 补 的 基 解 ， 其 中 原 问 题 的松 弛 变 量 对 应 对 偶 问 题 的 变 量 ， 对 偶 问 题 的 剩 余 变 量 对

9、应 原 问 题 的 变 量 ； 这 些 相 互4对 应 的 变 量 如 果 在 一 个 问 题 中 是 基 变 量 ， 则 在 另 一 问 题 中 是 非 基 变 量 ； 将 这 对 互 补的 基 解 分 别 代 入 原 问 题 和 对 偶 问 题 的 目 标 函 数 有 z=w。四 、 对 偶 单 纯 形 算 法 流 程在 上 述 的 理 论 基 础 上 ， 可 知 用 单 纯 形 法 求 解 线 性 规 划 问 题 时 ， 在 得 到 原 问 题的 一 个 基 可 行 解 问 题 同 时 ， 在 检 验 数 行 得 到 对 偶 问 题 的 一 个 基 解 。 单 纯 形 法的 基 本 思

10、想 是 保 持 原 问 题 为 可 行 解 的 基 础 上 ， 通 过 迭 代 增 大 目 标 函 数 ， 当 其对 偶 问 题 也 为 可 行 解 时 ， 就 达 到 了 目 标 函 数 的 最 优 值 。而 对 偶 单 纯 形 法 的 基 本 思 想 则 是 保 持 对 偶 问 题 为 可 行 解 的 前 提 下 （ 即 单 纯 性 表最 后 一 行 检 验 数 都 小 于 零 ） ， 通 过 迭 代 减 小 目 标 函 数 ， 当 原 问 题 也 是 可 行 解 时 ，就 得 到 了 目 标 函 数 的 最 优 解 。故 我 们 可 以 得 到 对 偶 单 纯 形 法 求 解 过 程 如

11、 下 ： 1.将 原 问 题 化 为 标 准 型 ， 找 到 一 个 检 验 数 都 小 于 等 于 零 的 对 偶 问 题 的 初 始 可 行基 。2.确 定 换 出 基 的 变 量对 于 小 于 零 的 bi， 找 到 最 小 的 一 个 br， 其 对 应 的 xr 为 换 出 基 的 变 量3.确 定 换 入 基 的 变 量（ 1） 为 了 使 迭 代 后 表 中 的 第 r 行 基 变 量 为 正 值 ， 因 而 只 有 对 应 aij 小 于 零的 非 基 变 量 才 可 以 作 为 换 入 基 的 变 量 ；（ 2） 为 了 使 迭 代 后 表 中 对 偶 问 题 仍 为 可 行

12、 解 ， 令=|n， 那 么 对 偶 问 题 有 n 个 约 束 方 程 ， 而 原 问 题 有 m 个 约 束 方 程 ，所 以 对 偶 问 题 有 更 少 的 约 束 方 程 数 量 ， 那 么 通 过 对 偶 单 纯 形 法 的 运 用 比 起 直 接 只 用单 纯 形 法 将 会 显 著 的 减 少 计 算 量 。3.弱 对 偶 性 和 强 对 偶 性 是 对 偶 理 论 的 关 键 原 理 。 对 偶 问 题 可 以 用 来 对 原 问 题 的计 划 方 案 进 行 评 价 。 我 们 可 以 用 一 个 对 偶 问 题 的 可 行 解 和 目 前 原 问 题 的 计 划 方 案 进

13、行 比 较 ， 如 果 两 个 目 标 函 数 值 相 等 或 比 较 接 近 ， 则 可 以 说 明 原 问 题 的 计 划 方案 已 经 是 可 以 看 做 最 优 了 。4.对 偶 理 论 在 灵 敏 度 分 析 和 影 子 价 格 计 算 中 有 着 重 要 的 作 用 。七 、 单 纯 形 法 和 对 偶 单 纯 形 法 的 基 本 思 想 比 较8通 过 以 上 的 分 析 可 知 ， 对 偶 单 纯 形 法 其 实 相 当 于 单 纯 形 法 的 一 种 变 形 ，只 不 过 在 运 用 对 偶 单 纯 形 法 解 线 性 规 划 时 需 要 将 单 纯 形 表 旋 转 一 下

14、。 单 纯 形 表 中 的b 列 实 际 上 是 对 偶 问 题 的 非 基 变 量 的 检 验 数 , 而 原 单 纯 形 表 的 检 验 数 为 对 偶 问题 的 基 解 , 这 样 可 以 理 解 为 通 过 旋 转 90运 用 单 纯 形 法 求 解 线 性 规 划 。从 求 解 思 路 上 来 说 ， 单 纯 形 法 是 首 先 保 证 基 解 是 原 问 题 的 基 可 行 解 （ bi不 小 于 零 ） ， 然 后 通 过 变 量 的 换 入 换 出 增 大 目 标 函 数 值 ， 直 到 其 同 时 成 为 对 偶 问题 的 可 行 解 ， 根 据 强 对 偶 性 原 理 ， 可 知 这 个 解 就 是 最 优 解 。 而 对 偶 单 纯 形 法 则 是 首先 保 证 基 解 是 对 偶 问 题 的 可 行 解 （ 检 验 数 都 不 大 于 零 ） ， 然 后 逐 步 减 小 对 偶 标准 化 的 目 标 函 数 值 ， 使 其 成 为 原 问 题 的 可 行 解 。 两 种 方 法 殊 途 同 归 ， 其 本 质 是 一 样的 。