1、对偶理论的基本定理 对称性弱对偶性最优性对偶定理互补松弛定理原问题检验数对偶问题基本解 6对偶单纯形法 检验数性质 原问题检验数行对应其对偶问题的一个基解 关系如下 原问题对偶问题maxz CXmin YbAX Xs bYA Ys CX Xs 0Y Ys 0 设B是原问题的一个可行基 A B N maxz CBXB CNXNmin YbBXB NXN XS bYB Ys1 CBXB XN Xs 0YN Ys2 CNY Ys1 Ys2 0YS YS1 YS2 令Y CBB 1 得Ys1 0 Ys2 CN CBB 1N 检验数性质 原问题检验数行对应其对偶问题的一个基解 关系如下 在原来的单纯形表
2、中进行迭代时 前提要求右端项b 0 基可行解 迭代过程中在b列中得到的是原问题的基可行解 在检验数行得到的是对偶问题的基解 当检验数行也是对偶问题的基可行解时 原问题与对偶问题都得到最优解 对偶单纯形法原理 根据对偶问题的对称性 保持对偶问题的解是基可行解 即cj CBB 1Pj 0 同时取消对解答列元素非负的限制 在原问题非可行解的基础上 通过逐步迭代得到基可行解 这样就得到了最优解 其优点是原问题的初始解不一定要求是基可行解 可从非可行解开始迭代 简言之 不必引进人工变量寻找基底 方法 设原问题maxz CXAX bX 0 设B是一个基 令B P1 P2 Pm 它对应的变量为XB x1 x
3、2 xm 当非基变量都为零时 可以得到XB B 1b 若在B 1b中至少有一个负分量 设 B 1b i 0 并且在单纯形表的检验数行中的检验数都为非正 即对偶问题保持可行解 它的各分量是 1 对应基变量x1 x2 xm的检验数是 i ci zi ci CBB 1Pi 0 i 1 2 m2 对应非基变量xm 1 xn的检验数是 j cj zj cj CBB 1Pj 0 j m 1 n 每次迭代时 将基变量中的负分量xs取出 换出变量 去替换非基变量中的xk 要求在所有检验数仍保持非正 对偶问题可行性 的前提下 进行基变换 从原问题来看 经过每次迭代 原问题由非可行解往可行解更靠近 当原问题得到可
4、行解时 便得到了最优解 原问题 对偶问题 注意 1 对偶单纯形法不是解对偶问题的单纯形法 而是应用对偶原理求解原问题最优解的一种方法 当然 当求解得到原问题的最优解的同时 也就得到对偶问题的最优解 2 在具体计算中 不另外构造单纯形表格 而是在原始问题的单纯形表格基础上进行对偶处理 对偶单纯形法的计算步骤 1 根据线性规划问题 列出初始单纯形表 检查b列的数值 若都为非负 并且检验数都为非正 则已得到最优解 停止计算 若b列的数值至少还有一个负分量 检验数保持非正 那么进行计算 3 确定换入变量 检查xs所在行的各系数asj j 1 2 n 若所有的asj 0 则无可行解 停止计算 2 先确定
5、换出变量 若min B 1b i B 1b i 0 B 1b s对应的基变量xs为换出变量 实际上 可取任何一个取负值的基变量作为换出变量 取最小的含义是尽快 若存在asj 0 j 1 2 n 计算 按 规则所对应的非基变量xk为换入变量 保持对偶问题解的可行性 4 以ask为主元素 进行迭代 即进行矩阵行变换 得新的单纯形表 重复 1 4 步 直到求出最优解为止 为什么要用 原因如下 确定换入变量呢 第s行变成 行变换将Pk变成单位向量 因为bs 0 一定要求bs ask 0 要选主元素ask 0 检验数变成 行变换 要保证可行性 就要有 jnew 0 j 1 n 1 0 0 1 0 0 s
6、n 1 sk sk sm sk sk s a a a a a a b L L L L 0 0 0 0 0 sn 1 1 k sk n k sk sm m sk k a a a a a s s s s s L L L L 令T j asj 0 当j T时 asj 0 从而 jnew j asj ask k 0 满足可行性 当j T时 jnew j asj ask k asj j asj k ask 由于 j k ask asj均小于0 从而上述括号内的比值均大于0 又由于asj 0 为保证 jnew 0 j T 故只要选取 就能有方括号内大于等于0 从而 jnew 0 解 先将这问题转化 此时b
7、可以是负的 以便得到对偶问题的初始可行基maxz 2x1 3x2 4x3 x1 2x2 x3 x4 3 2x1 x2 3x3 x5 4xj 0 j 1 2 3 4 5建立这个问题的初始单纯形表 例 用对偶单纯形法求解 min 2x1 3x2 4x3x1 2x2 x3 32x1 x2 3x3 4x1 x2 x3 0 则X 11 5 2 5 0 0 0 T为原问题的最优解 同时Y y1 y2 8 5 1 5 对偶单纯形法特点 1 简化计算 不引入人工变量将线性规划化成标准型 构造 初始单纯形表 初始解是非可行解 只要检验数非负 最优检 验数 就可以进行基的转换 2 适于变量多于约束条件 当变量少于约束方程的个数时 可考虑变成对偶问题后 再用对偶单纯形法 3 局限性 多数问题很难找到检验数为负 最优检验数 的初 始可行解 但可用于灵敏度分析中简化计算
