1、运 筹 学,任课教师：徐咏梅博士 副教授,,Operations Research,第2章线 性 规 划,第2章 线性规划,2.1 线性规划问题2.2 图解法2.3 极点和最优解2.4 计算机求解2.5 最小化问题2.6 特例,2.1 线性规划问题,在一定的约束条件（限制条件）下，使得某一目标函数取得最大（或最小）值，当规划问题的目标函数与约束条件都是线性函数，便称为线性规划。Linear programming （LP）,2.1 线性规划问题,例1：某厂生产两种产品，需要三种资源，已知各产品的利润、各资源的限量和各产品的资源消耗系数如下表：,生产计划问题,问题：如何安排生产计划，使得获利最多
2、？步骤：1、确定决策变量：设生产A产品x1kg,B产品x2kg2、确定目标函数：maxZ=70X1+120X23、确定约束条件： 人力约束 9X1+4X2360 设备约束 4X1+5X2 200 原材料约束3X1+10X2 300 非负性约束X10 X20,线性规划示意图,maxZ=70X1+120X2 9X1+4X23604X1+5X2 2003X1+10X2 300 X10 X20,例2：高尔夫球袋,2.1 线性规划问题,2.1 线性规划问题,决策变量目标函数约束条件设产品标准袋、高档袋分别生产X1、X2个 Obj: maxZ=9X1+10X2 S.t. 0.7X1+ X2 630 0.5
3、X1+0.83333X2 600 1X1+0.33333X2 708 0.1X1+ 0.25X2 135 X10 , X20,2.1 线性规划问题,一般形式目标函数：Objective Function Max(min)z=c1x1+c2x2+cnxn约束条件：Constraint a11x1+a12x2+a1nxn(=,)b1 a21x1+a22x2+a2nxn(=,)b2 am1x1+am2x2+amnxn(=,)bm x1,x2,xn0,2.1 线性规划问题,几个概念可行解：若向量X=(x1,x2,xn) 满足所有的约束条件，则称其为可行解。最优解：使目标函数达到最大值（或最小值）的可行
4、解称为最优解。最优值：最优解的目标函数值称为最优值。,T,2.2 图解法,唯一解无穷多个最优解无界解无可行解,Example 1: A Maximization Problem,LP Formulation Max z= 5x1 + 7x2 s.t. x1 0,87654321 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,Example 1: Graphical Solution,Constraint #1 Graphed,x2,x1,x1 6,(6, 0),87654321 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,Example 1: Graphical Solution,Constrain
5、t #2 Graphed,2x1 + 3x2 19,x2,x1,(0, 6 1/3),(9 1/2, 0),Example 1: Graphical Solution,Constraint #3 Graphed,87654321 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,x2,x1,x1 + x2 8,(0, 8),(8, 0),Example 1: Graphical Solution,Combined-Constraint Graph,87654321 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,2x1 + 3x2 19,x2,x1,x1 + x2 8,x1 10 4x1 - x2 12 x
6、1 + x2 4 x1, x2 0,Example 2: Graphical Solution,Constraints Graphed,54321,1 2 3 4 5 6,x2,4x1 - x2 12 x1 + x2 4,2x1 + 5x2 10,x1,Feasible Region,Example 2: Graphical Solution,Objective Function Graphed,54321,1 2 3 4 5 6,x2,Min z = 5x1 + 2x24x1 - x2 12x1 + x2 4,2x1 + 5x2 10,x1,Example 2: Graphical Solu
7、tion,Optimal Solution,54321,1 2 3 4 5 6,x2,Min z = 5x1 + 2x24x1 - x2 12x1 + x2 4,2x1 + 5x2 10Optimal: x1 = 16/5 x2 = 4/5,x1,2.6 特例,无可行解无界解无穷多最优解,无可行解,Max z= 2x1 + 6x2 s.t. 4x1 + 3x2 8 x1, x2 0,无可行解,x2,x1,4x1 + 3x2 8,3,4,4,8,无界解,Max z=3x1 + 4x2 s.t. x1 + x2 5 3x1 + x2 8 x1, x2 0,无界解,x2,x1,3x1 + x2 8,x1 + x2 5,Max z=3x1 + 4x2,5,5,8,2.67,无穷多最优解,？,作 业,P 61起 2.1,2.2, 2.3,
