1、第二章 线性弹性力学问题的有限元法,主要内容,2-1 弹性力学的基本方程 2-2 弹性力学平面问题的有限元列式 4节点矩形单元 2-3 轴对称问题 2-4 三维问题,单 元 分 析 的 内 容,节点位移,(1),单元内部各点位移,单元应变,单元应力,(2),(3),节点力,(4),位移协调模式,几何方程,物理方程,平衡方程边界条件,单元分析,单元刚度矩阵,2-2 弹性力学平面问题的有限元列式,八、4节点矩形单元 矩形单元采用比常应变三角形单元次数更高的位移模式，故可以更好地反映弹性体中的位移状态和应力状态。,该单元的位移模式,这种单元的位移模式是完备的和协调的，满足解的收敛条件，因此4节点矩形
2、单元是协调单元。将4个节点的坐标和位移代入上式可求的18 引入一个局部坐标系、，局部坐标的原点取在矩形的形心， 和轴分别与整体坐标轴x和y平行，其坐标变换的关系为,式中,用节点位移表示的单元位移模式可在 此局部坐标系中表达为,其中,4个角点的自然坐标分别是（-1，-1）， （1，-1），（1，1），（-1，1）,单元应力为,单元应变为,4节点矩形单元的位移模式比常应变三角形单元中采用的线性模式增添了xy项，所以矩形单元内的应变分量、应力分量都不是常量，而是沿着x及y方向呈线性变化。因此，在弹性体中采用相同数目节点时，矩形单元的精度要比常应变三角形单元高。,但是，矩形单元亦有明显的缺点，一是不能
3、适应斜交边界和曲线边界，二是不便于对不同部位采用不同大小的单元，因此直接应用受到限制。,2-3 轴对称问题,许多机械零件和结构的几何形状、约束条件以及作用的载荷都对称于某一对称轴，在这种条件下的物体中的位移、应变和应力也对称于此轴。这种问题称为轴对称问题。 应力、应变都与无关，仅是坐标r和z的函数。沿方向的位移为0，因此轴对称问题可作为二维问题处理。,对轴对称问题进行计算时，只需取出一个截面进行网格划分和分析，但应注意到单元是圆环状的，所有的结点载荷都应理解为作用在单元结点所在的圆周上。,本节主要以3节点三角形轴对称环状单元为例进行讨论。它具有与平面三角形单元同样的特点。,在轴对称问题中，通常
4、采用圆柱坐标（r，z）。以对称轴作为z轴，所有应力、应变和位移都与方向无关，只是r和z的函数。任一点的位移只有两个方向的分量，即沿r方向的径向位移u和沿z方向的位移w。由于轴对称，方向的位移v等于零，因此轴对称问题是二维问题。,离散轴对称物体时，采用的单元是一些圆环，各单元在rz平面内形成网格。,一、3节点三角形轴对称单元的插值函数及应力应变矩阵 （一）形函数子午面内的环单元与前面讨论过的平面问题3节点三角形是一样的，它们的形函数也完全一样。,形函数是用单元位移分量来描述位移函数的插值函数。,其中,（二）单元应变和应力将位移插值函数代入轴对称问题的几何方程，得到单元应变：,其中,由上式可见，应
5、变分量r、z、rz都是常量， 环向应变不是常量。,单元应力：,轴对称问题的弹性矩阵为,由于不是常量，所以单元中除切应力rz外 其它应力分量也不是常量。,二、3节点轴对称单元的单元刚度矩阵和等效节点载荷,令,将轴对称问题的N、B、Ce和dV=rddrdz代入上式，即可求得轴对称单元的单元刚度矩阵和等效节点载荷,为了简化计算和消除在轴对称上r0对积分所带来的麻烦，将积分式中的自变量r、z用单元截面形心处的坐标来近似。,这样(3-56)就近似为,作了这样的近似后，应变矩阵B和应力矩阵S都成了常量阵，简化了计算。 在轴对称问题中，对于单元刚度矩阵和等效节点载荷向量采用上述近似积分方法，就位移和应力而言
6、，其精度是能够满足工程计算要求的。,2-4 三维问题,一、常应变四面体单元 二、六面体单元,一、常应变四面体单元 （一）位移函数 四面体单元以4个角点为节点。每个节点有3个自由度，一个单元共有12个自由度。,其中I为三阶单位矩阵。,位移函数为,整理后可得,V是四面体ijml的体积。为了使四面体的体积不为负值，单元节点编号 必须依照一定的顺序。,设P(x，y，z)为四面体中任一点，记四面体jmlP的体积为Vi，则,上式按第4列展开得,定义四面体单元中节点i的体积坐标为,与3节点三角形单元的面积坐标相对应, 这里形函数,即是四面体单元的体积坐标。,由体积坐标定义可知,又因,由于位移函数是线性的，相
7、邻单元交界面上的位移由该界面上三个节点位移所决定，因此是连续的，所以常应变四边形单元是协调元。,（二）应变矩阵和应力矩阵 将三维问题的应变分量写成向量的形式为,式中,应变矩阵Br的元素均为常数, 故四面体单元是一种常应变单元。,单元应力为,平面应变问题和轴对称问题的弹性矩阵 与三维问题弹性矩阵的对应元素是相同。,（三）单元刚度矩阵和等效节点载荷 四面体单元的刚度矩阵和等效节点载荷可利用式（3-31）求得，对于三维问题，dV=dxdydz。其中应变矩阵B为常数矩阵，可提到积分号外。 四面体单元优点：1）适应多种复杂边界形状；2）容易实现网格密度的变化；3）有利于对不规则三维空间进行全自动网格剖分。因此得到广泛应用。 缺点：四面体的拼合较复杂，划分时容易出错，不容易直观地理解。,二、六面体单元,8节点六面体单元，每个节点有3个自由度，一个单元共有24个自由度。插值多项式中包括如下各项：以单元的形心为原点建立一个局部坐标系，,为自然坐标，在单元内部,利用节点坐标和位移求得插值多项式系数，可将 位移表示为,其中,形函数则可表达为,式中,形函数对自然坐标求偏导数以后，沿各坐标方向均为线性函数，所以在各单元中应变是呈线性分布的。这种单元的计算精度比四面体单元要高。但是它的形状过于规则，不能拟合复杂边界形状，应用场合有限。,The end!,
