1、第2章 逻辑代数基础,2.1 逻辑代数 2.2 逻辑代数的基本定律和规则 2.3 复合逻辑 2.4 逻辑函数的两种标准形式 2.5 逻辑函数的代数化简法 2.6 逻辑函数的卡诺图化简 2.7 非完全描述逻辑函数的化简,2.1 逻辑代数,逻辑代数又称布尔代数或开关代数，它是按一定逻辑规律进行运算的代数，是分析和设计数字电路的工具和理论基础。,与普通代数相比,相同点：变量与函数均用字母表示,不同点：) 无论变量与函数均只有两种取值0、1) 0、1只表示两种对立的逻辑状态，无数量大小的概念,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,逻辑函数及其表示法,逻辑函数用有限个与、或、非逻辑运算符，按某 种逻辑关系
2、将逻辑变量A、B、C连接起来，得的表达式F=f(A、B、C )称为逻辑函数。, 布尔代数法,按一定逻辑规律进行运算的代数。与普通代数不同点是，变量和函数均为二元值的逻辑量，即只有0、1两种取值。,逻辑函数的几种表示方法,P3,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲, 真值表法,采用表格来表示逻辑函数的运算关系，左边列出输入逻辑变量的所有取值组合，右边给出相应的逻辑函数值。, 卡诺图法,卡诺图是一种几何图形，可以用来表示和简化逻辑函数表达式。, 波形图（时序图）法,一种表示输入输出变量动态变化的图形，反映了函数值随时间变化的规律。, 逻辑图法,采用规定的图形符号，构成的逻辑运算关系的网络图形。,P4
3、,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,三、由工程问题建立逻辑函数方法或步骤,1.分析工程问题，确定变量与函数,2.对变量、函数逻辑赋值,3.列真值表，表示变量与函数的关系,4.由真值表写出输出函数的逻辑表达式,例：楼梯照明电路A、B单刀双掷开关,解：楼梯照明电路,1.变量为A、B，函数L,2.设 A、B向上为“1”；向下为“0”L灯亮为“1”；灯灭为“0”,3.列真值表,4.写逻辑式,)取值为1用原变量表示; 取值为0用反变量表示,)取值组合中，各变量之间为相与关系,L= =AB,）各取值组合之间为相或关系，则,P5,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,习 题,设计一个逻辑电路，当A、B、C三
4、个输入中，至少有两个为低电平时，该电路输出高电平。,要求：(1)建立真值表；(2)从真值表写出逻辑表达式。,*,解：,(2)列真值表,(3)写出逻辑表达式令函数值为1的变量组合相或：,(1)设高电平为1、低电平为0,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,2.逻辑代数的基本定律,一、逻辑代数定律,基本定律,交换律,结合律,分配律,反演律,吸收律,摩根定律,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,常用异或和同或运算公式,此外，,(A的个数为偶数),(A的个数为奇数),证明方法:检验等式两边函数的真值表是否相同,二、逻辑代数基本公式验证,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,代数法证明,证明：,例,宁夏理工
5、学院电气信息工程系-张翠玲,三、逻辑代数常用恒等式,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,一、代入规则等式两边的某变量用一个函数代替，等式仍然成立,证明多变量的摩根律（反演律）是成立的,3.逻辑代数的运算规则,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,注意：,1)变换过程必须遵循先与后或的顺序,例,2)在几个变量上的非号必须保持不变,显然，德.摩根定理是反演定理的特例。,P13,二、反演规则,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,例: 已知,求,，,。,解： 根据反演定理可写出,解： 根据反演定理可写出,例 : 若,求,根据反演规则求函数,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,当某个逻辑恒等式成立时，则其
6、对偶式也成立。,注意：,变换过程必须遵循先与后或的顺序,例,说明,若在一个函数中包含有“”和“”运算符,则求其反函数或对偶函数时,除上述规则外,还要求将运算符“” 换成“”, “”换成“”。,三、对偶规则,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,由定义和真值表可见，异或逻辑与同或逻辑互为反函数，即,不仅如此，它们还互为对偶式。如果 ，G=AB， 不难证明F=G, G=F。 因此可以将“ ”作为“”的对偶符号，反之亦然。由以上分析可以看出， 两变量的异或函数和同或函数既互补又对偶，这是一对特殊函数。,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,一、逻辑函数的五种常用表达式,与-或式、或-与式、与非-与非式、
7、或非-或非式、与-或-非式,二、常用表达式间的相互转换,4.逻辑函数的代数化简法,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,图 2-12 逻辑函数的五种形式,)与或式可容易地转换成其它形式，而与或式可从真值表直接得到。,最简逻辑函数指最简与或式。,)任何逻辑函数都有多种逻辑表达式，因而可用多种逻辑电路实现；,最简标准,)所含乘积项最少,)每个乘积项所含因子数亦最少,三、最简逻辑函数,结 论,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,最简与-或式,最简与非-与非式,最简或-与非表达式,逻辑函数的最简形式,最简与或非表达式,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,最简或与表达式,最简或非或非表达式,最简或非或表达
8、式,最简与非与表达式,逻辑函数的最简形式(续),宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,1.并项法,2.吸收法,3.消去法,4.配项法,利用A+AB=A消去多余项,代数化简法的缺点： 很难判断是否得到最简,与或表达式的化简,举例,四、逻辑函数的代数化简法,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,举 例,并项法,吸收法,利用A+AB=A消去多余项,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,举 例,消去法,配项法,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,配项法举例2,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,解:,F对偶式,(消去,求原函数,或与表达式的化简,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,例:化简逻辑函数,解:,宁
9、夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,例2,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,一、逻辑变量的最小项及其性质,1.最小项定义:,n个变量的逻辑函数中，若m为包含全部n个变量的乘积项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）则称m为该组变量的最小项。,2.特点,(1)每个最小项均含有三个因子（n个变量则含n个因子）,(2)每个变量均以原变量或反变量的形式在乘积项中出现一次,(3) n个变量有2n个最小项,5.逻辑代数的卡诺图化简法(图形化简法),宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,常用mi 表示，下标i 即为编号。把变量中原变量为1、反变量为0组合时，对应的十进制数即为i 值。,m0,m
10、1,000,001,0,1,最小项,二进制数,十进制数,编号,以三变量为例,3.最小项的编号,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,4.最小项性质,(1)对于变量的任意一个取值组合，只有一个最小项的值为1,(2)对于变量的任意一个取值组合，相邻两个最小项的积为0,(3)对于变量的任意一个取值组合，所有最小项之和(或)为1,0 0 1,A B C,0 0 0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,1,三变量的最小项,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,最大项定义:,n个变量的逻辑函数中，若M为包括全部n个变量的和项,（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次
11、），则称M为该组变量的最大项。,最大项,补充,*,例如：三个变量A、B、C，下列八个和项称为最大项,n个变量有2n个最大项，记作I。,编号方法：,将使最大项的值为0的变量取值组合视为一个二进制数，其对应的十进制数即为其编号I。,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,最大项的编号,0 0 0,0,0 0 1,1,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,最大项的性质：,同一组变量取值任意两个不同最大项的和为1。 即Mi+Mj=1 (ij),全部最大项之积为0，即,对于任意一组变量取值，只有一个最大项的值为0，其它最大项的值均为1,0 0 1,A B C,0 0 0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,0
12、,1,1,1,1,1,1,0,0,M0,M1,M2,M3,M4,M5,M6,M7,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲, 最小项与最大项的关系,相同编号的最小项和最大项存在互补关系,若干个最小项之和表示的函数式F，其反函数可用等同个与这些最小项相对应的最大项之积的形式来表示。,例1：,=,*,例如 m3为,M3为,则有,最小项 表达式,最大项 表达式,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,*,例2：,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,最小项之和形式,)用摩根定律去掉非号(多个变量上)直至只在一个变量上有非号为止,)用分配律去除括号，直至得到一个与或表达式,)配项得到最小项表达式,由一般逻辑式最小
13、项表达式方法,F(A、B、C、D),二、逻辑函数最小项表达式,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,习 题,解：F(A、B、C),结论：任一个逻辑函数都可化成为唯一的最小项表达式,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,P39,三、逻辑函数的卡诺图,1.定义:,将逻辑变量的所有最小项分别用一个小方块来表示，并按照逻辑上相邻的小方块在几何位置上也相邻的规则排列成的一个方格图形。,逻辑上相邻：两个最小项只有一个变量不同。例,2.变量卡诺图,1) 二变量的卡诺图 L(A,B),图中的一小格对应真值表中的一行，即对应一个最小项,A B,0 0,0 1,1 0,1 1,m0,m1,m2,m3,A,B,AB,A
14、,B,1,0,1,0,m0,m1,m2,m3,mi,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,2) 三变量的卡诺图 L(A,B,C),3) 四变量的卡诺图 L(A,B,C,D),00,01,11,10,00,01,11,10,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m12,m13,m14,m15,m8,m9,m10,m11,AB,CD,A,BC,0,1,00,01,11,10,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7, k图为方形图。n个变量的函数-k图有2n个小方格，分别对应2n个最小项；, k图中行、列两组变量取值按循环码规律排列，使相邻小方块对应的最小项之间具有逻辑相邻性。, 几
15、何相邻：邻接、相对（行列两端）,卡诺图具有循环邻接性,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,3.逻辑函数卡诺图的画法,(1)已知逻辑表达式,) 将逻辑表达式化成最小项表达式,) 画变量卡若图,) 在最小项对应的小方块中填“1”其余填入“0”,说明：,)可直接按与或式填卡诺图此时，可在包含乘积项的小方块中填“1”，其余填“0”。,举例,(2)已知真值表,) 画变量卡若图,)将真值表中函数值为1的变量取值组合（最小项）所对应的小方 块中填 “1”,其余填“0”即可。,举例,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,由函数的逻辑表达式画卡诺图,解：,AB,AC,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,填写函数的
16、卡诺图。,举例,例:已知真值表如图，,将真值表中函数值为1的变量取值组合（最小项）所对应的小方块中填 “1”,其余填“0”即可,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,P44,四、逻辑函数的卡诺图化简法,1.化简的依据:,2) 相邻四个最小项求和时,四项并一项并消去两个变量,1) 相邻两个最小项求和时,两项并一项并消去一个变量,3) 相邻八个最小项求和时,八项并一项并消去三个变量,0,1,2,3,4,5,6,7,11,10,12,11,14,15,8,9,10,11,如:,如:,如:,几何相邻的2i(i = 1、2、3n)个小格可合并在一起构成正方形或矩形圈，消去i个变量，而用含(n i)个变量的
17、乘积项标注该圈。,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,2.化简的方法和步骤,1) 将行、列中相邻的值为1的小方块画成若干个包围圈,原 则,)每个包围圈中必须含有2n个小方块 (n=1,2, )。-方,)小方块可重复被包围，但每个包围圈中必须含有其它包围圈没有的新小方块。-新,)不能漏掉任何值为1的小方块，包围圈的数目尽可能少-小,)包围圈所含的小方块数目要尽可能多。-大,)包围圈数目要尽可能少，画包围圈的顺序由小大。-小,2) 将每个包围圈中的乘积项合并成一项（留下相同因子，消去不同因子）,3) 对各个包围圈合并成的乘积项求逻辑和,例1,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,P46,画圈的步骤,
18、返 回,原始表达式表示在卡诺图上,没有相邻项的单独画圈,识别2方格的包围圈,识别4方格的包围圈,识别8方格的包围圈,最简与或表达式,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,P47,例2,结论：逻辑函数最简与或式不是唯一的,例3,结论：含0较少时，用求反较简单,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,使函数值不定，或根本不会出现的变量组合，称为无关项，又称约束项或任意项，常用“”或“d”表示 。,3.具有无关项的逻辑函数的化简,3) 化简方法：视化简需要可作0或1处理。,2) 填函数的卡诺图时，在无关项对应的小方块内填任意 项符号“”、“d”或“”。,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,解：, 填函数的
19、卡诺图,1,1,1,1,1,1,1, 化简,不考虑约束条件时：,考虑约束条件时：,具有无关项逻辑函数的化简例题,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,例2：,设计一位十进制数的判奇电路，当输入为奇数时，输出为1，否则输出为0。,解：,列真值表,无关项：1010 1111,L=m(1,3,5,7,9)+d(1015),结论：充分利用无关项， 可将函数化为最简。,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,6.逻辑函数各种描述方法间的相互转换,一、已知逻辑图求逻辑表达式,用基本逻辑符号和连线构成的图形,描述逻辑函数的方法：,逻辑表达式,真值表,卡诺图,逻辑图,方法：逐级写出逻辑表达式然后求和化简,宁夏理工学
20、院电气信息工程系-张翠玲,例: 已知函数的逻辑图如下所示，试求它的逻辑表达式。,解：,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,二、已知逻辑表达式求逻辑图,方法：先化简转化为需要的形式画逻辑图,对其二次求非,解：,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,三、从真值表到逻辑函数式,例: 已知一奇偶判别函数的真值表图，试写出它的逻辑函数。,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,四、从逻辑式列出真值表,解：,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,解：,AC,AD,BC,化简得：,最简与非与非式为：,化简并转换,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲, 逻辑问题的描述方法：真值表、函
21、数表达式、逻辑图、 卡诺图和时序图, 分析和设计逻辑电路的重要数学工具：布尔代数, 逻辑函数的化简：布尔代数法、卡诺图法,小 结,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15),例1：化简,*,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,例2：化简,*,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,已知真值表如图，用卡诺图化简。,例3：,*,宁夏理工学院电气信息工程系-张翠玲,化简时可以将无关状态当作1或 0，目的是得到最简结果。,F = A,P62,*,化简结果不唯一，但都是最简与或式。,说明一：,P63,*,化简结果通常为与或表示
22、式。若要求用其他形式表示则用反演定理来转换。,说明二：,P64,*,可以0画包围圈，先求反函数，再以摩根定理求反。,例：,若求或非-或非表达式,P65,end,【例 2-1】 求F= m(1, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 13)的最简与或式。 解： 画出F的K图(见图2-20)。,图 2-20 例2-1的卡诺图, 画K圈。按照最小项合并规律，将可以合并的最小项分别圈起来。 根据化简原则，应选择最少的K圈和尽可能大的K圈覆盖所有的1格。首先选择只有一种圈法的BC，剩下四个1格(m1、m3、m10、m11)用两个K圈 覆盖。 可见一共只要用三个K圈即可覆盖全部1格。 写出最简式。,【
23、例 2-2】,求,的最简与或式。,解： 画出F的K图。给出的F为一般与或式，将每个与项所覆盖的最小项都填1，K图如图2-21所示。,图 2-21 例2-2的卡诺图, 画K圈化简函数F。 写出最简与或式。 本例有两种圈法， 都可以得到最简式。 按图2-21(a)圈法：,按图2-21(b)圈法：,该例说明，逻辑函数的最简式不是惟一的。,【例 2-3】求 的最简与或式。解： 画F的K图。这是一个五变量逻辑函数，按五变量K图中的编号填图，得出F的K图如图2 - 22所示。,图 2-22 例2-3的卡诺图, 画K圈化简函数。 先找只有一种圈法的最小项：, 写出最简式。,如何判断得到的函数式是否为最简式呢
24、? 下面从蕴含项的概念讨论最简式问题： 蕴含项(Implicant)。组成逻辑函数的每一个与项(积项)称为该函数的蕴含项。它可以是最小项，也可以是合并项。, 本原蕴含项(Prime Implicant)。如果逻辑函数的一个蕴含项再也不能同该函数的其它蕴含项合并组成变量数更少的蕴含项，则称该蕴含项为本原蕴含项。实际上它对应着卡诺图中不能再扩大的合并项， 即最大卡诺圈。 实质本原蕴含项(Essential Prime Implicant)。不能被其它蕴含项所包含的本原蕴含项称为实质本原蕴含项。它对应着卡诺图中必不可少的最大卡诺圈，该圈至少包含了一个只有一种圈法的最小项。,例如，已知逻辑函数F1、F
25、2的卡诺图分别如图2-23(a)、(b)所示，化简F1时只需用 3 个最大的K圈就可以覆盖全部1格，如果用四个K圈肯定有一个多余圈。从图2-23(a)中看出，合并项AC为多余项，因为该圈中每个 1 格被圈了两次。因此可得出最简与或式为,化简图2-23(b)的F2，只用六个最大的K圈覆盖所有的 1 格，观察每一个K圈都有一个 1 格只被圈过一次，因此这六个K圈都必须存在，最简与或式为,图 2-23 F1、F2的化简K图,2. 求最简或与式任何一个逻辑函数既可以等于其卡诺图上填1的那些最小项之和，也可以等于其卡诺图上填0的那些最大项之积， 因此，如果要求出某函数的最简或与式， 可以在该函数的卡诺图
26、上合并那些填0的相邻项。这种方法简称为圈0合并， 其化简步骤及化简原则与圈1合并类同，只要按圈逐一写出或项， 然后将所得的或项相与即可。但需注意，或项由K圈对应的没有变化的那些变量组成，当变量取值为0时写原变量， 取值为1时写反变量。,【例 2-4】 求,的最简或与式。,解： 画出F的K图(见图2-24)。 圈K圈。圈0合并，其规律与圈1相同，即K圈的数目应最少，K圈所覆盖的0格应尽可能多。本例用三个K圈覆盖所有0格。 写出最简或与式。,图 2-24 例2-4的卡诺图,【例 2-5】 求,的最简或与式。,解：, 画出F的K图。本例给出的F为一般或与式，因此将每个或项所覆盖的最大项都填0，就可以得到F的K图如图2-25所示。 圈K圈化简函数。 写出最简或与式。,当需要将逻辑函数化为最简与或非式时， 也可以采用合并0格的方式，即在卡诺图上圈0格，先求出 的最简与或式， 然后根据F=F再求出F的最简与或非式。,图 2-25 例2-5的卡诺图,
