1、2016 年宁夏银川二中、银川九中、育才中学联考高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知 是纯虚数，则 a=（ ）A B C2 D22 （5 分）已知集合 U=R，函数 的定义域为 M，集合 N=x|x2x0，则下列结论正确的是（ ）AMN=N BM （ N）= CMN=U DM（ N）3 （5 分）某中学共 8 个艺术社团，现从中选 10 名同学组成新春社团慰问小组，其中书法社团需选出 3 名同学，其他各社团各选出 1 名同学，现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到
2、社区养老院参加“新春送欢乐”活动（每位同学被选到的可能性相同） ，则选出的 3 名同学来自不同社团的概率为（ ）A B C D4 （5 分）已知 a，bR，则“ ”是“log ab 1”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5 （5 分）已知 ，则 sin2x=（ ）A B C D6 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A8+ B8+2 C8+3 D8+47 （5 分）执行如图所示的程序框图，则该程序运行后输出的 i 值为（ ）A8 B9 C10 D118 （5 分）已知ABC 是边长为
3、 1 的等边三角形，则（ 2 ） （3 +4 ）= （ ）A B C D9 （5 分）已知 的展开式中第 3 项与第 6 项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为第（ ）项A5 B4 C4 或 5 D5 或 610 （5 分）已知抛物线 C：x 2=8y，过点 M（0，t ） （t0）可作抛物线 C 的两条切线，切点分别为A，B，若直线 AB 恰好过抛物线 C 的焦点，则MAB 的面积为（ ）A2 B3 C6 D1611 （5 分）函数 f（x）=3sinxln（1+x）的部分图象大致为（ ）A B C D12 （5 分）若函数 f（x）在定义域内满足：（ 1）对于任意不相等的 x1，x
4、2，有 x1f（x 2）+x 2f（x 1）x 1f（x 1）+x 2f（x 2） ；（2）存在正数 M，使得|f（x）|M，则称函数 f（x）为“ 单通道函数”，给出以下 4 个函数： ，x（0，） ；g（x）=lnx+e x，x1，2；h（x）=x 33x2，x1，2；（x）= ，其中， “单通道函数” 有（ ）A B C D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分13 （5 分）已知直线 l：x+3y 2b=0 过双曲线 的右焦点 F，则双曲线的渐近线方程为 14 （5 分）已知实数 x，y 满足不等式组 ，则 的最大值为 15 （5 分）已知 a，b，c 是ABC
5、 的三边，若满足 a2+b2=c2，即 ，ABC 为直角三角形，类比此结论：若满足 an+bn=cn（nN，n3）时，ABC 的形状为 （填“锐角三角形” ， “直角三角形”或“钝角三角形” ） 16 （5 分）关于 x 的方程 x3x2x+m=0，至少有两个不相等的实数根，则 m 的最小值为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （12 分）已知数列a n满足： （1）记 ，求证：数列b n为等比数列；（2）求数列na n的前 n 项和 Sn18 （12 分）自 2016 年 1 月 1 日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个
6、”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了 200 户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18有生育意愿家庭数 4 8 16 20 26（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为 14 周与 16 周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从 5 种不同安排方案中，随机抽取 2 种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择求两种安排方案休假周数和不低于 32 周的概率；如果用 表示两种方案休假周数和求随机变量 的分
7、布及期望19 （12 分）如图，空间几何体 ABCDE 中，平面 ABC平面 BCD，AE平面 ABC（1）证明：AE平面 BCD；（2）若ABC 是边长为 2 的正三角形，DE 平面 ABC，且 AD 与 BD，CD 所成角的余弦值均为 ，试问在 CA 上是否存在一点 P，使得二面角 PBEA 的余弦值为 若存在，请确定点 P 的位置；若不存在，请说明理由20 （12 分）已知抛物线 E：y 2=2px（p0） ，过点 M（1，1）作抛物线 E 的两条切线，切点分别为A，B，直线 AB 的斜率为 2（1）求抛物线的标准方程：（2）与圆（x1） 2+y2=1 相切的直线 1，与抛物线交于 P，
8、Q 两点若在抛物线上存在点 C，使 =（0） ，求 的取值范围21 （12 分）已知函数 （1）若曲线 y=f（x）在 x=1 处的切线方程为 y=2，求 f（x）的单调区间；（2）若 x0 时， 恒成立，求实数 a 的取值范围请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22 （10 分）如图，ABC 内接于O，AB 为其直径，CHAB 于 H 延长后交O 于 D，连接 DB 并延长交过 C 点的直线于 P，且 CB 平分DCP（1）求证：PC 是O 的切线；（2）若 AC=4，BC=3 ，求 的值23在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （其中
9、 t 为参数） ，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （4cos +3sin） m=0（其中 m 为常数） （1）若直线 l 与曲线 C 恰好有一个公共点，求实数 m 的值；（2）若 m=4，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长24已知定义在 R 上的连续函数 f（x）满足 f（0）=f（1 ） （1）若 f（x）=ax 2+x，解不等式 ；（2）若任意 x1，x 20，1且 x1x 2 时，有|f（x 1）f（x 2）|x 1x2|，求证：2016 年宁夏银川二中、银川九中、育才中学联考高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12
10、 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分） （2016 银川校级一模）已知 是纯虚数，则 a=（ ）A B C2 D2【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 ，又已知 是纯虚数，列出方程组，求解即可得到 a 的值【解答】解： = = ，又已知 是纯虚数， ，解得：a= 故选：A【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2 （5 分） （2016 银川校级一模）已知集合 U=R，函数 的定义域为 M，集合 N=x|x2x0，则下列结论正确的是（ ）AMN=N BM （ N）= CMN=U DM（
11、N）【分析】分别解出关于 M，N 的范围，然后判断即可【解答】解：函数 的定义域为 M=x|x1，集合 N=x|x2x0=x|0x1，M N=x|0x1=N，M N=x|x1=M， N=x|x0，或 x1，M （ N）=x|x0，故只有 A 正确，故选：A【点评】本题考察了集合的包含关系，考察不等式问题，是一道基础题3 （5 分） （2016 银川校级一模）某中学共 8 个艺术社团，现从中选 10 名同学组成新春社团慰问小组，其中书法社团需选出 3 名同学，其他各社团各选出 1 名同学，现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到社区养老院参加“新春送欢乐” 活动（每位同学被选到的可能性相同
12、） ，则选出的 3 名同学来自不同社团的概率为（ ）A B C D【分析】利用互斥事件加法公式、相互独立事件概率乘法公式求解【解答】解：设“选出的 3 名同学是来自互不相同社团”为事件 A，则 P（A）= = 故选：C【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件加法公式、相互独立事件概率乘法公式的合理运用4 （5 分） （2016 银川校级一模）已知 a，bR，则“ ”是“log ab1” 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】 ，平方可得 ab1，可得 logab1，反之不成立，即可得出【解答】解： ，平方可得 ab1
13、，可得 logab1，反之不成立，例如取 a= ，b= ”是“ logab1”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5 （5 分） （2016 银川校级一模）已知 ，则 sin2x=（ ）A B C D【分析】由条件利用两角和的正切公式求得 tanx 的值、再利用二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系，求得 sin2x 的值【解答】解：已知 = ，tanx= ，则 sin2x= = = ，故选：C【点评】本题主要考查两角和的正切公式、二倍角的正弦公式的应用，属于基础题6 （5 分） （2016 银川校
14、级一模）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A8+ B8+2 C8+3 D8+4【分析】由三视图知该几何体是简单的组合体：上面是一个正方体，下面是半个圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由柱体的体积公式求出几何体的体积【解答】解：根据三视图可知几何体是简单的组合体：上面是一个正方体，下面是半个圆柱，且正方体的棱长是 2，圆柱的底面半径是 1、母线长 4，几何体的体积 V=222+ =8+2，故选：B【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力7 （5 分） （2016 银川校级一模）执行如图所示
15、的程序框图，则该程序运行后输出的 i 值为（ ）A8 B9 C10 D11【分析】根据框图流程依次计算运行的结果，直到满足条件 n=1，求得此时 i 的值【解答】解：由程序框图知：程序第一次运行 n=10，i=2；第二次运行 n=5，i=3 ；第三次运行 n=35+1=16，i=4；第四次运行 n=8，i=5 ；第五次运行 n=4，i=6 ；第六次运行 n=2，i=7 ；第七次运行 n=1，i=8 满足条件 n=1，程序运行终止，输出 i=8故选：A【点评】本题考查了循环结构与选择结构相结合的程序框图，根据框图流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法8 （5 分） （2016 银川校级一
16、模）已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，则（ 2 ） （3 +4 ）=（ ）A B C D【分析】根据等边三角形的性质和向量的数量积的运算即可求出【解答】解：ABC 是边长为 1 的等边三角形，（ 2 ） （ 3 +4 ）=3 +4 6 8 =311cos120+411cos1206811cos120= ，故选：B【点评】本题主要考查了向量的基本运算在三角形中的应用，属于基础试题9 （5 分） （2016 银川校级一模）已知 的展开式中第 3 项与第 6 项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为第（ ）项A5 B4 C4 或 5 D5 或 6【分析】利用二项式系数的性质求得 n=7，再
17、利用二项式展开式的通项公式求得第 r+1 项的系数，可得结论【解答】解：由题意可得 = ，求得 n=7，故展开式第 r+1 项的系数为 Tr+1= （1） r，故当 r=4，即第五项的系数最大，故选：A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题10 （5 分） （2016 银川校级一模）已知抛物线 C：x 2=8y，过点 M（0，t ） （t0）可作抛物线 C 的两条切线，切点分别为 A，B，若直线 AB 恰好过抛物线 C 的焦点，则MAB 的面积为（ ）A2 B3 C6 D16【分析】利用切点分别为 A， B，若直线 AB 恰好过抛物线 C 的
18、焦点，求出 A，B 的坐标，根据导数的几何意义求出 t 的值，问题得以解决【解答】解：抛物线 C：x 2=8y 的焦点坐标为（0，2） ，抛物线 C 的两条切线，切点分别为 A，B，直线 AB 恰好过抛物线 C 的焦点，x 2=82，解得 x=4，x B=4，x A=4，A（4，2） ，B（ 4，2） ，y= x2，y= x，k AM= 4=1= ，解得 t=2，|AB|=4+4=8，MAB 的高等于 2（2）=4，S MAB = 84=16，（求出直线的斜率也可以这样求：设直线 AM 的方程为 y2=k（x 4） ，由 得到 x28kx+8（4k+2）=0，=64k 232（4k2）=0，解
19、得 k=1，继而求出 y2=x4，得到 t=2，然后再求出面积）故选：D【点评】本题考查三角形面积的计算，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题11 （5 分） （2016 银川校级一模）函数 f（x）=3sinxln（1+x）的部分图象大致为（ ）A B C D【分析】根据函数值的符号和导数和函数的极值的关系即可判断【解答】解：由 f（x）=3sinxln（x+1）知 x1，当 x= 时，f（ ）=3sin ln（ +1）=3ln（ +1）3lne=3，f（x）=3cosxln（x+1）+3sinx ，令 f（x）=0，即 3cosxln（x+1）+3sinx =0，当 0x 时，ln（x+1） 0，sinx0， 0，cosx0，
