1、2016 年北京市西城区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分）1 （5 分）设集合 A=x|x24x，集合 B=1，2， 3，4，则 AB=（ ）A1， 2 B2，4 C 3，1 D1，2，3，42 （5 分）设命题 p：x0，sinx2 x1，则p 为（ ）Ax0，sinx2 x1 Bx0，sinx2 x1Cx 0，sinx 2 x1 Dx0，sinx 2 x13 （5 分）如果 f（x）是定义在 R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ）Ay=x+f （x） By=xf（ x） Cy=x 2+f（x） Dy=x 2f（x）4 （5 分
2、）如图茎叶图表示的是甲乙两个篮球队在 3 次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以 m 表示，若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么 m 的可能取值集合为（ ）A2 B1，2 C0 ，1，2 D2，35 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，向量 =（ 1，2） ， =（2，m ） ，若 O，A，B 三点能构成三角形，则（ ）Am= 4 Bm 4 Cm1 Dm R6 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 A，S 分别为 0，1，则输出的 S=（ ）A4 B16 C27 D367 （5 分）设函数 f（x）=log x+xa，则“a （1，3） ”是“ 函数 f（x）
3、在（2，8）上存在零点” 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件8 （5 分）在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过 200元，已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为 20 元、10 元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于 ，且获得一等奖的人数不能少于 2 人，那么下列说法中错误的是（ ）A最多可以购买 4 份一等奖奖品B最多可以购买 16 份二等奖奖品C购买奖品至少要花费 100 元D共有 20 种不同的购买奖品方案二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）9 （5 分）在复平面内，复数 z1 与
4、 z2 对应的点关于虚轴对称，且 z1=1+i，则 z1z2= 10 （5 分）在ABC 中，b= ，a=3，tanC= ，则 c= 11 （5 分）若圆（x2） 2+y2=1 与双曲线 C： （a0）的渐近线相切，则 a= ；双曲线 C 的渐近线方程是 12 （5 分）一个棱长为 2 的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 13 （5 分）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如表：房间 A 房间 B 房间 C35m2 20m2 28m2涂料 1 涂料 2 涂料 316 元
5、 /m2 18 元 /m2 20 元 /m2那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 元14 （5 分）设函数 f（x）= ，则 f（ 8）= ，若 f（a）=f（b）=c，f（b）0，则a，b，c 的大小关系是 三、解答题（共 6 小题，满分 80 分）15 （13 分）设函数 f（x）=sinxcosx sin2（x ） （）求函数 f（x）的最小正周期；（）求函数 f（x ）在0， 上的最大值与最小值16 （13 分）已知等差数列a n的公差 d0，a 2+a6=10， a2a6=21（）求数列a n的通项公式；（）设 bn=2 ，记数列b n前 n 项的乘积为 Tn，求 Tn 的
6、最大值17 （14 分）如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，BB 1底面 ABCD，AD BC ，BAD=90 ，ACBD（）求证：B 1C平面 ADD1A1；（）求证：ACB 1D；（）若 AD=2AA1，判断直线 B1D 与平面 ACD1 是否垂直？并说明理由18 （13 分）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取 40 名学生的测试成绩，整理数据并按分数段40，50） ，50，60） ，60，70） ，70，80） ，80，90） ，90，100进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如图） （1）体育成绩大于或等
7、于 70 分的学生常被称为“体育良好 ”，已知该校高一年级有 1000 名学生，试估计高一全校中“体育良好” 的学生人数；（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体积成绩在60，70）和80，90）的样本学生中随机抽取 2人，求在抽取的 2 名学生中，至少有 1 人体育成绩在60，70）的概率；（3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为 a，b，c，且分别在70，80） ，80，90） ，90，100三组中，其中 a，b，cN，当数据 a， b，c 的方差 s2 最小时，写出 a，b，c 的值 （结论不要求证明）（注：s 2= （ x ） 2+（x 2 ） 2+（x ） 2，其中 为数据 x1，
8、x 2，x n 的平均数）19 （14 分）已知椭圆 C： + =1（m 0）的长轴长为 2 ，O 为坐标原点（）求椭圆 C 的方程和离心率；（）设动直线 l 与 y 轴相交于点 B，点 A（3，0）关于直线 l 的对称点 P 在椭圆 C 上，求|OB|的最小值20 （13 分）已知函数 f（x） =xlnx+ax21，且 f（1）=1（）求 f（x）的解析式；（）若对于任意 x（0，+ ） ，都有 f（x）mx 1，求 m 的最小值；（）证明：函数 y=f（x）xe x+x2 的图象在直线 y=2x1 的下方2016 年北京市西城区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共 8
9、 小题，每小题 5 分，满分 40 分）1 （5 分） （2016 西城区一模）设集合 A=x|x24x，集合 B=1，2，3，4，则 AB=（ ）A1， 2 B2，4 C 3，1 D1，2，3，4【分析】求出 A 中不等式的解确定出 A，找出 A 与 B 的交集即可【解答】解：A=x|x 24x=x|0x4，集合 B=1，2，3，4，AB=2，4，故选：B【点评】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2 （5 分） （2016 西城区一模）设命题 p：x0，sinx 2x1，则p 为（ ）Ax0，sinx2 x1 Bx0，sinx2 x1Cx 0，sinx 2 x1 Dx0
10、，sinx 2 x1【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：命题 p：x0，sinx2 x1，则p 为：x0，sinx2 x1，故选：A【点评】本题考查特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查3 （5 分） （2016 西城区一模）如果 f（x）是定义在 R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ）Ay=x+f （x） By=xf（ x） Cy=x 2+f（x） Dy=x 2f（x）【分析】逐个计算 g（x） ，观察与 g（x）的关系得出答案【解答】解：f（x）是奇函数， f （ x）= f（x） 对于 A，g（x）= x+f（x）=xf（x）=g（x）
11、，y=x+f （x）是奇函数对于 B，g（x ）=xf（x）=xf（x）=g（x） ，y=xf（x）是偶函数对于 C，g（x ）=（x） 2+f（ x）=x 2f（x） ，y=x 2+f（x）为非奇非偶函数，对于 D，g（x）= （x） 2f（x）=x 2f（x）= g（x） ，y=x 2f（x）是奇函数故选 B【点评】本题考查了函数奇偶性的性质和奇偶性的判断，属于基础题4 （5 分） （2016 西城区一模）如图茎叶图表示的是甲乙两个篮球队在 3 次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以 m 表示，若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么 m 的可能取值集合为（ ）A2 B
12、1，2 C0 ，1，2 D2，3【分析】由茎叶图中的数据，求出甲、乙二人的平均成绩，列出不等式求出 m 的取值集合【解答】解：由茎叶图知，甲的平均成绩为 （88+92+93）=91；乙的平均成绩为 （90+91+90+m ）=90+ ，又9190+ ，m2，又 mN，m 的可能取值集合为0，1 ，2故选：C【点评】本题考查了茎叶图与平均数的应用问题，也考查了识图与用图的问题，是基础题5 （5 分） （2016 西城区一模）在平面直角坐标系 xOy 中，向量 =（1，2） ， =（2，m） ，若O，A，B 三点能构成三角形，则（ ）Am= 4 Bm 4 Cm1 Dm R【分析】O，A，B 三点能
13、构成三角形，可得 ， 不共线，利用向量共线定理即可得出【解答】解：O，A，B 三点能构成三角形， ， 不共线，4+m0，解得 m=4故选：B【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6 （5 分） （2016 西城区一模）执行如图所示的程序框图，若输入的 A，S 分别为 0，1，则输出的 S=（ ）A4 B16 C27 D36【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 k、A、S 的值，当 k4 时满足条件，退出循环，从而计算输出 S 的值【解答】解：模拟执行程序，可得A=0，S=1，顺序执行语句，k=1，A=0 +1=1，S=1 1=1；不满足条件 k4，执行
14、循环体，k=3，A=1+3=4 ，S=1 4=4；不满足条件 k4，执行循环体，k=5，A=4+5=9 ，S=4 9=36；满足条件 k4，退出循环，输出 S=36故选：D【点评】本题主要考查了程序框图和算法的应用问题，正确得到每次循环 k，A，S 的值是解题的关键，属于基础题7 （5 分） （2016 西城区一模）设函数 f（x）=log x+xa，则“a（1，3） ”是“函数 f（x）在（2，8）上存在零点”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】由对数函数与一次函数的单调性可得：函数 f（x）在（2，8）上单调递减，利用函数零点存在定理可得
15、 f（2）f（8）0，解出即可判断出结论【解答】解：函数 f（x）=log x+xa 在（2，8）上单调递减，若 “函数 f（x）在（2，8）上存在零点” ，则 f（2）f （8）=（1a ） （5a）0，解得 1a5则“a（1，3） ”是“ 函数 f（x）在（2，8）上存在零点”充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了函数的单调性、函数的零点简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8 （5 分） （2016 西城区一模）在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过 200 元，已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为 20 元、10 元，一等奖人数
16、与二等奖人数的比值不得高于 ，且获得一等奖的人数不能少于 2 人，那么下列说法中错误的是（ ）A最多可以购买 4 份一等奖奖品B最多可以购买 16 份二等奖奖品C购买奖品至少要花费 100 元D共有 20 种不同的购买奖品方案【分析】设获一等奖和二等奖的人数分别为 x，y（x，yn *） ，由题意得到 ，解得2x4，6y16，即可分别判断即可【解答】解：设获一等奖和二等奖的人数分别为 x，y（x，yn *）由题意得： ，解得 2x4，6y16，故 x 取 2，3，4，故最多可以购买 4 份一等奖奖品，最多可以购买 16 份二等奖奖品，购买奖品至少要花费 220+610=100 元，故 A，B
17、，C 正确，当 x=2 时，y 有 6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，共有 11 种，当 x=3 时，y 有 9，10，11，12，13，14，共有 6 种，当 x=4 时，y 有 12，共有 1 种，故共有 11+6+1=18 种，故 D 不正确，故选：D【点评】本题考查了不等式组在实际生活种的应用，关键是求出 x，y 的范围，属于中档题二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）9 （5 分） （2016 西城区一模）在复平面内，复数 z1 与 z2 对应的点关于虚轴对称，且 z1=1+i，则 z1z2= 2 【分析】直接由复数 z1 与 z2 对应的
18、点关于虚轴对称，且 z1=1+i，求出 z2=1+i，然后把 z1，z 2 代入 z1z2，再由复数代数形式的乘法运算化简，则答案可求【解答】解：由复数 z1 与 z2 对应的点关于虚轴对称，且 z1=1+i，则 z2=1+i，则 z1z2=（1+i） （1+i）= 1i+i+i2=2故答案为：2【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题10 （5 分） （2016 西城区一模）在ABC 中，b= ，a=3，tanC= ，则 c= 2 【分析】由已知利用同角三角函数关系式可求 cosC 的值，根据余弦定理即可计算求值【解答】解：在ABC 中，tanC= ，cosC
19、= = ，又b= ，a=3，由余弦定理可得：c= = =2故答案为：2【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题11 （5 分） （2016 西城区一模）若圆（x 2） 2+y2=1 与双曲线 C： （a 0）的渐近线相切，则a= ；双曲线 C 的渐近线方程是 y= x 【分析】求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心和半径，运用直线和圆相切的条件：d=r，解方程可得 a，进而得到渐近线方程【解答】解：双曲线 C： （a 0）的渐近线方程为 y= x，圆（x2 ） 2+y2=1 的圆心为（2，0） ，半径为 1，由直线和圆相切，可得 =1
20、，解得 a= ，渐近线方程为 y= x故答案为： ，y= x【点评】本题考查双曲线的渐近线方程和圆与渐近线相切，注意运用直线和圆相切的条件：d=r，考查运算能力，属于基础题12 （5 分） （2016 西城区一模）一个棱长为 2 的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 【分析】由三视图可得，正方体，被一个平面截去一个三棱锥，三条侧棱互相垂直，长度分别为1，1，2，计算体积即可得出结论【解答】解：由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥，三条侧棱互相垂直，长度分别为 1，1，2，体积为 = ，该几何体的体积是 23 = 故答案为： 【点评】
21、本题考查了由几何体的三视图求相关问题；关键是正确还原几何体13 （5 分） （2016 西城区一模）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如表：房间 A 房间 B 房间 C35m2 20m2 28m2涂料 1 涂料 2 涂料 316 元 /m2 18 元 /m2 20 元 /m2那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 1464 元【分析】若涂料总费用最少，只需大面积粉刷便宜的即可【解答】解：由题意得：3516+2818+2020=1464，故答案为：1464【点评】本题考查了简单的线性规划问题，是一道基础题14 （5 分） （2016 西城区一模）设函数 f（x）= ，则 f（8）= ，若 f（a）=f（b）=c，f （ b）0，则 a，b，c 的大小关系是 bac 【分析】将 x=8 代入函数的表达式，求出 f（8）的值即可；画出函数 f（x）的图象，结合图象求出a，b，c 的范围，判断其大小即可【解答】解：f（x）= ，f（8）= +1= ，画出函数 f（x）的图象，如图示：，若 f（b）0，则 b4，若 f（a） =f（b）=c，则 2a4，1c2，故 bac，
