1、1,第一节 定积分的概念与性质,定积分问题举例,定积分的定义,关于函数的可积性,定积分的几何意义,小结 思考题 作业,定 积 分,定积分的性质,*,*,*,definite integral,2,1.曲边梯形的面积,求由连续曲线,一、定积分问题举例,3,用矩形面积,（五个小矩形）,（十个小矩形）,思想,近似取代曲边梯形面积,4,采取下列四个步骤来求面积A.,(1) 分割,(2) 取近似,长度为,为高的小矩形,近似代替,5,(3) 求和,(4) 求极限,为了得到A的精确值,取极限,形的面积:,极限值就是曲边梯,6,2.求变速直线运动的路程,思想,以不变代变,直线运动,已知速度,是时间间隔,的一个
2、连续函数,求物体在这段时间内所经过的路程.,思路,把整段时间分割成若干小段,速度看作不变,路程相加,得到路程的近似值,对时间的无限,细分过程求得路程的精确值,7,(1) 分割,(3) 求和,(4) 取极限,路程的精确值,(2) 取近似,表示在时间区间,内走过的路程.,某时刻的速度,8,二、定积分的定义,设函数f (x)在a,b上有界,在a,b中任意插入,定义,若干个分点,把区间a,b分成n个小区间,各小区间长度依次为,在各小区间上任取,一点,作乘积,并作和,记,如果不论对,(1),(2),(3),(4),9,被积函数,被积表达式,记为,积分和,怎样的分法,也不论在小区间,上点,怎样的取法,只要
3、当,和S总趋于确定的,极限I,称这个极限I为函数f(x)在区间a,b上的,定积分.,积分下限,积分上限,积分变量,a,b积分区间,10,(2),和上、下限.,定积分是一个数.,被积函数,有关;,无关.,11,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,1. 几何意义,三、定积分的几何意义,12,几何意义,各部分面积的代数和.,取负号.,介于x轴、函数 f (x) 的图形及两条,直线 x =a, x = b的,在 x 轴上方的面积取正号;,在 x 轴下方的面积,13,例1,解,2. 物理意义,定积分,14,定理1,定理2,或,记为,黎曼 德国数学家(18261866),四、关于函数的可积性,可积.,且
4、只有有限个间,可积.,可积.,黎曼可积,断点,充分条件,15,解,例2 用定义计算由抛物线,和x轴所围成的曲边梯形面积.,直线,小区间,的长度,取,16,当n取不同值时,近似值精度不同.,17,补充规定,说明,五、定积分的性质,假定定积分都存在,不考虑积分上下限的大小,性质1,性质2,性质1和性质2称为,线性性质.,18,补充,例,则,性质3 (区间可加性),假设,的相对位置如何, 总成立.,不论,19,证,性质4,性质5 (保号性),则,20,解,令,于是,比较积分值,和,的大小.,例3,21,推论1,如果在区间,则,性质5,则,证,推论2,由推论1,22,例4 推论2,证,夹逼定理,即得,
5、23,证,性质6 (估值),分别是函数,最大值及最小值.,则,24,解,估计积分,例5,25,证,由介值定理:,性质7(定积分中值定理）,如果函数,在闭区间,连续,则在积分区间,至少存在一点,使下式成立:,积分中值公式,至少存在一点,使,即,26,平均值公式,几何解释,至少存在一点,在区间,曲边梯形的面积,=,27,例6,证,由积分中值定理有,(a为常数),28,3. 定积分的性质,(估值性质、积分中值定理的应用),4. 典型问题,(1) 估计积分值;,(2) 不计算定积分比较积分大小.over,六、小结,1. 定积分的实质: 特殊和式的极限.,2. 定积分的思想和方法:,以直代曲、以匀代变.
6、,四步曲:,分割、,取近似、,求和、,取极限.,思想,方法,29,第二节 微积分基本公式,问题的提出,积分上限函数及其导数,牛顿 莱布尼茨公式,小结 思考题 作业,(v(t)和s(t)的关系),fundamental formula of calculus,第五章 定积分,30,例,路程为,这段路程可表示为,(v(t)和s(t)的关系),物体作直线运动,已知速度,的一个连续函数,求在这段时间内所经过的路程.,是时间间隔,一、问题的提出,其中,？,运算,启发,31,定积分,积分上限函数,一定要分清函数的,设f (x)在a,b中可积,则对任一点,与,自变量x,积分变量t.,二、积分上限函数及其导数
7、,32,几何意义,是如图红色部分,的面积函数.,33,证,定理1 (原函数存在定理),因为,从而,34,积分中值定理,定积分性质3,故,35,定理1指出：（定理）,连续函数 f (x) 一定有原函数,就是f(x)的一个原函数.,函数,36,推论,?,37,例1,解,例2,解,38,例3,解,39,例4,解,这是 型不定式,分析,应用洛必达法则,40,例5,解,求极限,2002年考研数学(三) 5分,41,证,例6,证明函数,为单调增加函数.,42,为单调增加函数.,故,43,证,令,为单调增加函数.,证明:,只有一个解.,例7,所以原方程,只有一个解.,44,牛顿(英)16421727,莱布尼
8、茨(德)16461716,三、牛顿莱布尼茨公式,证明,F(x)和(x)都是f(x)的原函数 故存在C 使 F(x)(x)C.,由F(a)(a)C及(a)0,得CF(a),F(x)(x)F(a).,由F(b)(b)F(a),得(b)F(b)F(a),即,若F(x)是连续函数f(x)在区间a, b上的一个原函数, 则,45,注意：,求定积分问题转化为求原函数的问题!,46,例8,原式,解,面积,例9,解,平面图形的面积.,所围成的,47,例10,解,48,例11,解,由图形可知,49,微积分基本公式,积分上限函数(变上限积分),积分上限函数的导数,四、小结,注意其推论.,50,解,此极限实为一积分
9、和的极限.,练习1,51,练习2,解,52,分析,求,必须先化掉,积分号,只要对所给积分方程两边求导即可.,解,对所给积分方程两边关于x求导,得,练习3,需先求出,即,53,已知函数,求积分上限的函数,解,分段函数,?,错!,练习4,54,已知函数,求积分上限的函数,正确做法,55,第三节 定积分的换元法和分部积分法,定积分的换元法,小结 思考题 作业,定积分的分部积分法,definite integral by parts,definite integral by substitution,第五章 定积分,56,定理1,则有,定积分换元公式,假设函数,一、定积分的换元法,函数,满足条件:,(
10、1),(2),具有连续导数,且其值域,definite integral by substitution,57,由于积分限做了相应的,故积出来的原函数不必回代;,(1),仍成立;,(2),改变,58,例1,解,写出,下限.,定积分的上、,新的变量 t ,59,或,60,解,例2,提示：,61,提示：,解,例3,62,难 例4,解,原式,63,几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分的例子.,例5,证,由于,作变换,64,例6：计算:,则,65,可得:,奇、偶函数在对称区间上的定积分性质,且有,则,则,66,例7：计算,奇,偶,67,证,(1),三角函数的定积分公式,例8,由此计算,设,证毕.,68
11、,设,自证,由此计算,69,周期函数的定积分公式,(自证),70,例9,解,71,解,作换元变换,则,例10,72,定积分的分部积分公式,二、定积分的分部积分法,设,有连续的导数,则,definite integral by parts,定理2,73,例11,解,解,例12,74,例13,解,75,例 14 证明定积分公式,n为正偶数,n为大于1的正奇数,J.Wallis公式,计算,76,定积分的分部积分公式,三、小结,定积分的换元公式,奇、偶函数在对称区间上的定积分性质,三角函数的定积分公式,周期函数的定积分公式,77,思考题,解答,78,思考题,试检查下面运算是否正确?,解答,注意,必定大
12、于零.,问题在于引进的变换,不满足换元法则的前提条件.,79,解,1990年考研数学(一)计算5分,原式=,练习1,80,练习2,解,用定积分的分部积分公式,81,小结 作业,平面图形的面积,体 积,平面曲线的弧长,第四节 定积分在几何学上的应用,第六章 定积分的应用,定积分的元素法,82,结合曲边梯形面积的计算,可知,用定积分计算的量,应具有如下,及定积分的定义,两个特点:,(1) 所求量I 即与a, b有关;,(2) I 在a, b上具有可加性.,一 定积分的元素法,83,按定义建立积分式有四步曲:,“分割、,得到,是所求量 I 的微分,于是, 称,为量 I 的,微元或元素.,取近似、,求
13、和、,取极限 ”,84,元素法或微元法.,简化步骤,85,面积元素,得,86,二、平面图形的面积,回忆,的几何意义:,启示,一般曲线围成区域的面积也可以,用定积分来计算.,定积分,下面曲线均假定是连续曲线.,87,求这两条曲线,及直线,所围成的区域的,面积A.,的面积元素dA为,它对应,(1),1.直角坐标系中图形的面积,小区间,88,(2),由曲线,和直线,所围成的区域的,面积A.,的面积元素dA为,它对应,小区间,89,例1 计算抛物线y2x与yx2所围成的图形的面积.,解,(2)确定在x轴上的投影区间:,(4)计算积分,0, 1;,(1)画图;,y,问：是否只可以选x为积分变量？,0,
14、1;,(3)确定上下曲线:,左右曲线:,1,答：否。,90,例2 计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积.,(2)确定在y轴上的投影区间:,(4)计算积分,(3)确定左右曲线:,-2, 4.,解,(1)画图;,问：是否只可以选y为积分变量？,答：否。,91,例3,解,画草图,求两曲线交点的坐标以便,解方程组:,交点,面积元素,法一,选 为积分变量,?,确定积分限,92,法二,选y为积分变量,面积元素,法三,?,93,分成若干块上面讨论过的那两种区域,只要分别,(3),一般情况下,由曲线围成的有界区域,总可以,算出每块的面积再相加即可.,(2),(1),(1),(2),94,例4,解,
15、两曲线交点为,由于图形关于y轴对称,故,95,解,曲线的参数方程为,由对称性,作变量代换,例5,其中,总面积等于4倍第一象限部分面积,不易积分.,96,面积元素,曲边扇形的面积,2.极坐标下平面图形的面积,由极坐标方程,给出的平面曲线,所围成的面积A.,和射线,曲边扇形,97,解,由对称性知总面积,=4倍第一象限部分面积,例6,求双纽线,所围平面图形的面积.,98,解,利用对称性知,99,圆柱,圆锥,圆台,三、体 积,旋转体,这直线叫做旋转轴,一个平面图形绕,这平面内一条直线,旋转一周而成的立体,1. 旋转体的体积,100,3)旋转体的体积,采用元素法,由连续曲线,直线,及 x 轴所围成的曲边
16、梯形绕,x 轴旋转一周而成的立体,体积为多少?(X-型),1)取积分变量为x,为底的,小曲边梯形绕 x 轴旋转而,成的薄片的,体积元素,(1),101,解,体积元素,例1,取积分变量为x,102,由连续曲线,及 y 轴所围成的曲边梯形绕,y 轴旋转一周而成的立体,体积为多少? (Y-型),(2),直线,体积元素,旋转体的体积,103,解,两曲线的交点为,绕y轴旋转,例2,104,解,例3,求摆线,的一拱,与y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积.,绕 x轴旋转的旋转体体积,变量代换,105,绕 y轴,可看作平面图OABC,与OBC,分别绕 y轴旋转构成的旋转体的体积之差.,摆
17、线,106,2. 平行截面面积为已知的立体的体积,上垂直于一定轴的各个截面面积,立体体积,该立体,的体积也可用定积分来计算.,那么,这个立体,表示过点x,且垂直于x轴的,截面面积,采用元素法,体积元素,107,解,取坐标系如图,底圆方程,例4,一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,计算这平面截圆柱体所得,立体的体积.,垂直于x轴的截面为直角三角形.,底,高,截面面积,立体体积,108,作一下垂直于y轴的截面是,截面长为,宽为,矩形,截面面积,可否选择y作积分变量?,此时截面面积函数是什么?,如何用定积分表示体积?,思考,109,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体
18、积,垂直于x轴的截面为等腰三角形,例5,求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径 的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.,110,四、平面曲线的弧长,在弧上,插入分点,此折线的长,的极限存在,则称此极限为曲线弧AB,的弧长.,1. 平面曲线弧长的概念,定理 光滑曲线弧是可求长.,111,弧长元素,弧长,2. 直角坐标情形,小切线段的长,以对应小切线段的长代 替小线段的长,取积分变量为x,任取小区间,112,曲线弧为,弧长,3. 参数方程情形,其中,具有连续导数.,113,曲线弧为,弧长,4. 极坐标情形,其中,具有连续导数.,114,证,设正弦线的弧长等于,设椭圆的周长为,证明正弦线,例6,的弧
19、长等于,椭圆,的周长.,椭圆的对称性,115,1.求在直角坐标系下、极坐标系下平面图形,（注意恰当的选择积分变量),分横条(X型),分竖条(Y型),分成扇形,分成圆环.,的面积.,四、小结,2.旋转体的体积,平行截面面积为已知的立体的体积,绕 x 轴旋转一周,绕 y 轴旋转一周,直角坐标系下,极坐标系下,3.求弧长的公式,参数方程情形下,116,练习,所围成的平面区域;,所围成的平面区域;,其中,(1)试求D1绕x轴旋转而成的旋转体体积V1;,试求D2绕y轴旋转而成的旋转体体积V2;,(2)问当a为何值时,V1+ V2取得最大值?,试求此最大值.,2002年考研数学(三)7分,直线,解,(1)
20、,(2),(唯一驻点),最大值,117,解,思考题1,118,思考题2,位置无关.,设,分别表示,从点,向抛物线,引出的两条切线的切点.,在点,的切线方程:,即,又,解,119,于是切线,的方程分别为,所围图形的,面积为,可见,无关,位置无关.,120,思考题3,解答,仅仅有曲线连续还不够,不一定.,必须保证曲线光滑才可求长.,闭区间a, b上的连续曲线 y = f (x)是否,一定可求长?,121,变力沿直线所作的功,水压力,引 力,函数的平均值和均方根,第五节 定积分在物理学上的应用,第六章 定积分的应用,122,一、变力沿直线所作的功,如果一常力F作用于一物体使其沿直线移动了距离s, 那
21、么就说力对这一物体作了功, 且所作功,积分得到总功的表达式.,如果计算功时力或距离是变化的,则需要,在某一变量的小区间上求出功元素,然后求定,123,设物体在变力F(x)作用下沿x轴从,移动到,力的方向与运动方向平行,求变力所,做的功.,在,上任取小区间,在其上所作的,功元素,因此变力F(x)在区间,上所作的功为,124,例1,取任一小区间,取r为积分变量,单位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到,b处 (a b) ,求电场力所作的功.,解,当单位正电荷距离原点,时,一个,电场力为,功元素,所求功,说明,处的电位为,电场在,库仑定律,在一个带+q电荷所产生的电场作用下,125,二、水压力,在
22、很多实际问题要求计算液体作用于一物体表面上的侧压力.,如,水坝或闸门的压力.,当压强为常数时,压力=压强面积,当物,体表面位于液体中时,不同深度所受的压强是,故往往需要用定积分计算液体对表面,因而采用“元素法”思想.,的侧压力.,不同的,126,解,在端面建立坐标系.,取x为积分变量,取任一小区间,小矩形片上各处的压强,近似相等,小矩形片的面积为,一个横放着的圆柱形水桶,桶内盛有半桶水,例2,设桶的底半径为R,水的比重为,计算桶的一端面,上所受的压力.,如图,小矩形片的压力元素为,端面上所受的压力,桶内盛满水?,127,质量分别为,的质点,二者间的引力:,大小,方向,沿两质点的连线,三、引力,
23、相距,则要用定积分计算.,采用“元素法”思想.,如果要计算一根细棒对一个质点的引力,那么,由于细棒上各点与该点的距离是变化的,且各点对该点的引力方向也是变化的,故不能,用上述公式计算.,128,解,建立坐标系.,引力元素,是否可建立其它坐标系?,想一想,例3,法一,129,例,.,引力元素,法二,法三,.,引力元素,130,例,法四,.,引力元素,131,四、函数的平均值和均方根 平均值的公式247 均方根的公式248,132,和引力等物理问题,(注意熟悉相关的物理知识),四、小结,利用“元素法”的思想,求变力沿直线作功、,水压力,133,无穷限的反常积分,无界函数的反常积分,小结 思考题 作
24、业,第六节 反常积分,(广义积分),improper integral,第五章 定积分,134,常义积分,积分区间有限,被积函数有界,积分区间无限,被积函数无界,常义积分的极限,反常积分,推广,135,定义1,即,当极限存在时,称反常积分,当极限不存在时,称反常积分,如果极限,存在,则称这个极限值,反常积分,(1),收敛;,发散.,一、无穷限的反常积分,136,即,当极限存在时,称反常积分,当极限不存在时,称反常积分,存在,如果极限,则称这个极限值,反常积分,(2),收敛;,发散.,137,如果反常积分,和,都收敛,则称上述两反常积分之和为函数,称反常积分,上的反常积分,即,收敛;,记作,发散
25、.,否则称反常积分,(3),138,规定:,N-L公式,139,例1 计算反常积分,解,反常积分的积分值,的几何意义,140,例 2 计算反常积分,解,141,证,例3 证明反常积分,收敛,发散.,142,证,因此,收敛,其值为,发散.,例4 证明反常积分,*,143,练习,1.计算,2002年考研数学(一)填空3分,解,2.位于曲线,下方,x轴上方的,无界图形的面积是,解,2002年考研数学(二)填空3分,144,定义2,即,当极限不存在时,称反常积分,则称此极限为,仍然记为,如极限,存在,也称反常积分,函数,二、无界函数的反常积分,(瑕积分),反常积分,收敛;,发散.,瑕点,(1),145
26、,否则,则定义,如极限,存在,(2),瑕点,称反常积分,发散.,146,若等号右边两个反常积分,如果,则定义,否则,就称反常积分,发散.,都收敛,(3),瑕点,反常积分,如瑕点在区间内部,讨论各段瑕点积分.,通常用瑕点将区间分开,147,由NL公式,则反常积分,规定:,148,例5 计算反常积分,解,为瑕点,这个反常积分值的,直线x = 0与x = a,位于曲线,x 轴之上,之间的图形面积.,几何意义?,之下,149,例 6 计算反常积分,解,故原反常积分发散.,150,证,反常积分收敛,其值为,反常积分发散.,例7 证明反常积分,*,151,例8 求,解,发散.,也发散.,错误的做法:,152,例9,下面是,练习,发散,无穷区间上无界函数的,反常积分,发散,发散.,发散.,153,例10,解,表示,154,无界函数的反常积分(瑕积分),无穷限的反常积分,三、小结,1. 不要与常义积分混淆;,2. 不能忽略内部的瑕点.,155,思考题1(选择题),解答,恒等于常数.,156,思考题2,积分 的瑕点是哪几点？,解答,积分,不是瑕点,的瑕点是,可能的瑕点是,又,
