1、2015-2016 学年第二学期期末质量评估试参考答案高二数学（理科）1、 选择题:本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A C C D C C A C C B D B二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分（13）-2+3i ； （14） ； （15） ； （ 16）9 530xy3三、解答题：本大题共 6 小题满分 70 分（17）解：（）由题设及余弦定理得，22cos132cosBDCBDCA54A所以 1cos又 ，C=60， 6 分087B（）四边形 ABCD 的面积11sinsin22SABDC
2、A(3)i60 12 分2（18 ）解： （）取到的 2 个颜色相同的球可能是 2 个红球、2 个黄球或 2 个绿球，所以 3 分43296158CP（）随机变量 X 所有可能的取值为 2，3 ，4X=4表示的随机事件是 “取到的 4 个球是 4 个红球” ，； 491()26CPX=3表示的随机事件是 “取到的 4 个球是 3 个红球和 1 个其他颜色的球，或 3 个黄球和 1 个其他颜色的球” ，； 7 分314569201() 3CP于是 13(2)1(3)(4)624PXPX所以随机变量 X 的概率分布如下：10 分数学期望 12 分13120()2469EX（19 ）解 （）依题意，
3、 ，即 ，2()a258a所以椭圆 E 的方程为 2 分28153xy（）设 ， ， ，其中 0(,)Pxy1(,0)Fc2(,)21ca因为直线 F2P 交 y 轴于点 Q，所以 ，0x且直线 F1P 的斜率 ，直线 F2P 的斜率 ， 5 分10FPkc20FPykxc又直线 F2P 的方程为 ，Q 点的坐标为 0()yx0(,)所以直线 F1Q 的斜率为 ， 8 分10FQkc由于 F1PF 1Q，所以 ，1 01PyxA化简得 10 分220()yxa因为 P 为椭圆 E 上第一象限内的点，将上式代入 ，得221xya， ，即 ，20xa201ya01xy所以点 P 在定直线 上 12
4、 分（20）解：（）当 m=e 时， ， ，lnefx2xef当 xe 时， ()0f()0f ()0f所以，x=e 时， 取得最小值 3 分ln2（） ，21()(0)3xmxgf令 ，则 ， 5 分0x21()1xx故，01 时， ；且 x=1 是 的唯一零点， 0mX 2 3 4P 46即，01 时， 单调递减；x=1 时， 取得最大值 ，mmm23所以， 时， 无零点； 或 时， 有一个零点； 时，23g230gx0有两个零点 8 分gx（）对任意 ba0， 恒成立，等价于 恒成立()1fa()()fbfa等价于函数 单调递减， 10 分()ln(0)mhxfx因 ，222 114()
5、mxxx故，当 时， ， 为减函数，对任意 ba0， ，4()0h() ()()fbfa所以 m 的取值范围为 12 分1,（21-甲）解：因为 ABCD 是平行四边形，所以 ABDC ，AB =DC，且 5 分DFCEA又 AFE=CFD，故AFE CFD， 31DAE因为ADF 与AFE 的高相等，所以 SADF：S AFE=DF：FE=3:1 10 分（21-乙）解：因为曲线 C 的参数方程为 （t 为参数） ，2cos,inxy所以其普通方程为 ，即曲线 C 为以原点为圆心， 为半径的圆2xy25 分由于点（1,1）在圆上，且该圆过（1,1）点的半径的斜率为 1，所以切线 l 的斜率为
6、-1 ，其普通方程为 ，20xy化为极坐标方程为 ，即 10 分cosinsin()4（21-丙）解：当 时，原不等式可以化为2x，即 ，所以 3 分()(12x当 时，原不等式可以化为 ，即 ，20x()(12x所以 5 分12x当 时，原不等式可以化为 ，即 ，此时无解 7 分0(2)1x2故原不等式的解集为 10 分1|（22-甲）解：（）由于ABC 为等腰三角形，ADBC，所以 AD 是BAC 的平分线又因为O 分别与 AB，AC 相切于 E，F，所以 AE=AF故 ADEF，EFBC 4 分（）由（）知，AE =AF，所以 AD 是 EF 的垂直平分线又因为 EF 为 O 的弦，所以
7、 O 在 AD 上连结 OE，OM，则 OEAE由 AG 等于 O 的半径得，AO=2OE ，OAE=30，所以ABC 和 AEF 都是等边三角形 8 分因 AE= ，所以 AO=4，OE=223又，OM=ON=2，DM = ，故 OD=1，AD=5， 3103AB所以，四边形 EBCF 的面积 1222103163()()分（22-乙）解：（）设 P(x，y) ，则 (,)2xyM由于 M 是 C1 上的动点，所以cos,in,2y即 C2 的参数方程是 （ 为参数） 4 分4cos,ixy（）曲线 C1 的极坐标方程为 ，sin曲线 C2 的极坐标方程为 ， 8 分8i射线 与 C1 的交点 A 的极经为 ，314sin3射线 与 C2 的交点 B 的极经为 ，28i所以 12 分12|3AB（22-丙）证明：（）由题意，a，b，c，d 均为正数，且 a + b = c + d，ab cd，所以，2 2() 2()ababcd故 4 分cd（）必要性： 若 ，则 ，|ab22()()abcd即 ，22()4()4cd因为 a + b = c + d，所以 ，ab由（）知， 8 分cd充分性： 若 ，则 ，ab22()()abcd因为 a + b = c + d，所以 ，cd于是 ，2222()()4()4()c所以 |abcd综上， 是 的充要条件 12 分|abcd
