1、2017 年山东省淄博市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 A=x|x24，B=0，1，2，3，则 AB=（ ）A B0 C0，1 D0，1，22 （5 分）已知 ，其中 x，y 是实数，i 是虚数单位，则 x+yi 的共轭复数为（ ）A1 +2i B12i C2+i D2 i3 （5 分）下列命题为真命题的是（ ）A若 xy0，则 ln x+ln y0B “= ”是“ 函数 y=sin（2x+） 为偶函数”的充要条件C x0（，0） ，使 3x04 x0 成立D已知两个
2、平面 ，若两条异面直线 m，n 满足 m，n 且 m，n，则 4 （5 分）在区间0， 上随机地取一个数 x，则事件“ sin x ”发生的概率为（ ）A B C D5 （5 分）已知圆 C：（xa） 2+（y 2） 2=4（a0） ，若倾斜角为 45的直线 l 过抛物线 y2=12x 的焦点，且直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 ，则 a 等于（ ）A +1 B C2 D 16 （5 分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）上是减函数的为（ ）Ay=log |x| By=x Cy= Dy=lg7 （5 分）设向量 =（1 ，2） ， =（a，1） ， =（b，0） ，其中 O 为坐标
3、原点，a 0，b 0，若 A，B ，C 三点共线，则 + 的最小值为（ ）A4 B6 C8 D98 （5 分）已知 x，y 满足不等式组 ，当 3m5 时，目标函数 z=3x+2y 的最大值的变化范围是（ ）A7 ，8 B7，15 C6，8 D6，159 （5 分）已知一个平放的各棱长均为 4 的三棱锥内有一个小球，现从该三棱锥顶端向锥内注水，小球慢慢上浮当注入的水的体积是该三棱锥体积的 时，小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切（小球完全浮在水面上方） ，则小球的表面积等于（ ）A B C D10 （5 分）设定义在 R 上的函数 y=f（x） ，对于任一给定的正数 p，定义函数 fp（x ）=，
4、则称函数 f p （x） 为 f （x） 的“p 界函数”关于函数 f（x ）=x 22x1 的 2 界函数，结论不成立的是（ ）Af 2（f（0） ）=f（f 2（0） ） Bf 2（f（1） ）=f （f 2（1） ） Cf 2（f （2） ）=f （f 2（2） ） Df 2（f （3） ）=f（f 2（3） ）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分11 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 12 （5 分）函数 f （x ） = （ A0，0，| | ）的部分图象如图所示，则 f（ ）= 13 （5 分）从某高校在校大学生中随机选取 5 名女大学生，由
5、她们身高和体重的数据得到的回归直线方程为 =0.79x73.56，数据列表是：身高 x（cm） 155161 a 167174体重 y（kg） 49 53 5658 64则其中的数据 a= 14 （5 分）已知 A 为双曲线 C： =1（a0，b 0）的右顶点，B 1，B 2 分别为虚轴的两个端点，F 为右焦点若 B2FAB 1，则双曲线 C 的离心率是 15 （5 分）在研究函数 f （ x ）= 的性质时，某同学受两点间距离公式启发，将 f（x）变形为 f（x）= ，并给出关于函数 f（x）以下五个描述：函数 f（x ）的图象是中心对称图形； 函数 f（x ）的图象是轴对称图形；函数 f（
6、x ）在0，6上是增函数；函数 f（x ）没有最大值也没有最小值；无论 m 为何实数，关于 x 的方程 f（x ） m=0 都有实数根其中描述正确的是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分16 （12 分）已知函数 f（ x）= sinx cosxsin2x+1（0）相邻两条对称轴之间的距离为（）求 的值及函数 f（x）的单调递减区间；（）已知 a，b，c 分别为ABC 中角 A，B ，C 的对边，且满足 a= ，f （A）=1，求ABC 面积 S 的最大值17 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，ABC=BAD=90，BC=2AD，PAB 与PAD 都是边长为 2 的等边三角形
7、，E 是 BC 的中点（）证明：平面 AE平面 PCD；（）求 PAB 与平面 PCD 所成二面角的大小18 （12 分）某学校举行物理竞赛，有 8 名男生和 12 名女生报名参加，将这 20 名学生的成绩制成茎叶图如图所示，成绩不低于 80 分的学生获得“优秀奖”，其余获“纪念奖”（）求出 8 名男生的平均成绩和 12 名女生成绩的中位数；（）按照获奖类型，用分层抽样的方法从这 20 名学生中抽取 5 人，再从选出的 5 人中任选3 人，求恰有 1 人获“优秀奖”的概率19 （12 分）数列a n是公差为正数的等差数列，a 2 和 a5 是方程 x212x+27=0 的两实数根，数列b n满
8、足 3n1bn=nan+1（n 1）a n（）求 an 与 bn；（）设 Tn 为数列 bn的前 n 项和，求 Tn，并求 Tn7 时 n 的最大值20 （13 分）设 f（x）=x ln xax2+（2a 1）x ，aR（）令 g（ x）= ，求 g（x）的单调区间；（）当 a1 时，证明：f（x ）021 （14 分）已知椭圆 C： + =1（ab0）经过点 （1， ） ，离心率为 ，点 A 为椭圆 C 的右顶点，直线 l 与椭圆相交于不同于点 A 的两个点 P （x 1，y 1） ，Q （x 2，y 2） （）求椭圆 C 的标准方程；（）当 =0 时，求OPQ 面积的最大值；（）若 x1
9、y2x2y12，求证：|OP |2+|OQ|2 为定值2017 年山东省淄博市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分） （2017淄博一模）已知集合 A=x|x24，B=0，1，2，3，则 AB=（ ）A B0 C0，1 D0，1，2【分析】先分别求出集合 A，B ，由此利用交集定义能求出 AB 的值【解答】解：集合 A=x|x24= x|2x2，B=0，1，2，3，AB=0，1故选：C【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用2
10、（5 分） （2017淄博一模）已知 ，其中 x，y 是实数，i 是虚数单位，则 x+yi 的共轭复数为（ ）A1 +2i B12i C2+i D2 i【分析】由已知得出 x=（ 1+i） （1 yi） ，由复数相等的概念求出 x，y 确定出 x+yi，再得出共轭复数【解答】解：由已知，x=（1+i） （1 yi） ，计算 x=1+y+（1 y）i根据复数相等的概念 ，解得 ，x+yi=2+i，其共轭复数为 2i故选 D【点评】本题考查复数的基本运算，复数相等、共轭复数的概念属于基础题3 （5 分） （2017淄博一模）下列命题为真命题的是（ ）A若 xy0，则 ln x+ln y0B “=
11、”是“ 函数 y=sin（2x+） 为偶函数”的充要条件C x0（，0） ，使 3x04 x0 成立D已知两个平面 ，若两条异面直线 m，n 满足 m，n 且 m，n，则 【分析】利用反例判断 A，B 的正误；利用指数函数的性质判断 C 的正误；直线与平面的位置关系判断 D 的正误；【解答】解：若 xy0，然后 x= ，y= 则 ln x+ln y0，所以 A 不正确；“= ”是“函数 y=sin（2x+）=cos2x 为偶函数 ”，所以“= ”是“函数 y=sin（2x +） 为偶函数”的充要条件，不正确；x0（，0） ，使 3x0 4x0 成立，由指数函数的性质，可知 x0 时，y=3 x
12、 的图象在 y=4x，的图象的上方，所以 C 不正确；已知两个平面 ，若两条异面直线 m，n 满足 m，n 且 m，n，则 ，可过 n 作一个平面与平面 相交于 n，由线面平行的性质定理可得 nn ，再由线面平行的判断定理可得，n，由面面平行的判断定理可得 ，所以 D 正确；故选：D【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，函数的简单性质，充要条件，直线与平面的位置关系的应用，是基本知识的考查4 （5 分） （2017淄博一模）在区间0， 上随机地取一个数 x，则事件“ sin x ”发生的概率为（ ）A B C D【分析】首先求出在区间0， 上满足“ sin x ”的 x 范围，利用区间长度比
13、求事件发生的概率【解答】解：在区间0， 上满足“ sin x ”的 x 范围为 ，由几何概型的公式得到，事件发生的概率为 ；故选 B【点评】本题考查了几何概型的概率求法；关键是明确几何测度为区间的长度5 （5 分） （2017淄博一模）已知圆 C：（x a） 2+（y 2） 2=4（a0） ，若倾斜角为 45的直线l 过抛物线 y2=12x 的焦点，且直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 ，则 a 等于（ ）A +1 B C2 D 1【分析】由抛物线的焦点坐标求出直线方程，再求出圆的圆心的半径，利用点到直线的距离公式半径以及圆心到直线的距离关系，由此能求出 a【解答】解：抛物线 y2=12x
14、的焦点 F（ 3，0） ，过抛物线 y2=12x 的焦点且倾斜角为 45的直线方程为：y=tan45（x +3） ，即 xy+3=0，圆 C：（xa） 2+（y2） 2=4（a0） ，的圆心（a，2） ，半径 r=2，圆心到直线 xy+3=0 的距离：d= ，弦长 L=2 可得： ，解得 a=2 或 a=2+ 故选：C【点评】本题考查直线与圆相交的弦长的求法，是中档题，解题时要注意抛物线、圆、直线方程、点到直线距离公式等知识点的灵活运用6 （5 分） （2017淄博一模）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）上是减函数的为（ ）Ay=log |x| By=x Cy= Dy=lg【分析】根据
15、函数单调性和奇偶性的性质分别进行判断即可【解答】解：对于 A，既是偶函数，又在区间（1，2）上是减函数；对于 B，函数的定义域不关于原点对称，不表示偶函数；对于 C，是偶函数，在区间（1，2）上是增函数；对于 D，是奇函数故选 A【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质7 （5 分） （2017淄博一模）设向量 =（1，2） ， =（a，1） ， =（b，0） ，其中 O 为坐标原点，a0，b0，若 A，B，C 三点共线，则 + 的最小值为（ ）A4 B6 C8 D9【分析】利用向量共线定理可得：2a+b=1 再利用“乘 1 法”与基本不等式的性
16、质即可得出【解答】解： =（a1，1） ， =（b 1，2） ，A，B，C 三点共线，2（a 1）（b 1）=0，化为： 2a+b=1又 a0，b 0，则 + =（2a+b） =4+ + 4+2 =8，当且仅当 b=2a= 时取等号故选：C【点评】本题考查了向量共线定理、 “乘 1 法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8 （5 分） （2017淄博一模）已知 x，y 满足不等式组 ，当 3m5 时，目标函数 z=3x+2y 的最大值的变化范围是（ ）A7 ，8 B7，15 C6，8 D6，15【分析】画出约束条件的可行域，通过 m 的范围，得到最小可行域以及最大可行域，
17、利用目标函数的几何意义求解目标函数的最大值的范围即可【解答】解：x，y 满足不等式组 ，的可行域如图，3m5 最小可行域为 BCDO以及最大可行域为 OAC，如图：目标函数 z=3x+2y 的最大值：是目标函数经过 BCDO 的 B 时取得最大值中的最小值，经过 OAC 中的 A 时，取得最大值中的最大值，由题意可得 B（1，2） ，A（0，4） 目标函数 z=3x+2y 的最大值的变化范围是： 7，8 故选：A【点评】本题考查线性规划的应用，判断目标函数的最值以及可行域的画法是解题的关键，考查计算能力9 （5 分） （2017淄博一模）已知一个平放的各棱长均为 4 的三棱锥内有一个小球，现从该三棱锥顶端向锥内注水，小球慢慢上浮当注入的水的体积是该三棱锥体积的 时，小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切（小球完全浮在水面上方） ，则小球的表面积等于（ ）A B C D【分析】先求出没有水的部分的体积是 ，再求出棱长为 2，可得小球的半径，即可求出球的表面积【解答】解：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的 ，正四面体的各棱长均为 4，正四面体体积为 = ，没有水的部分的体积是 ，设其棱长为 a，则 ，a=2，设小球的半径为 r，则 4 r= ，r= ，
