1、120162017 学年下期期末考试高二数学（理）试题卷第 I 卷（选择题）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的）1. 设 ，则 等于（ ）103izzA. B. C. D. 13i13i13i2. 曲线 在点 处的切线的斜率为 1，则 的值为（ ）lnyxa,maA. 1 B. 2 C. D. 23. 凸 7 边形的对角线有（ ）A. 14 条 B. 18 条 C. 21 条 D. 35 条4. 已知正态分布密度曲线 ，若 ，则21,xfxe10.4fxd（ ）31fxdA. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D
2、. 0.85. 观察右图的杨辉三角，当 时，猜想式子 （ ）2n2136nCA. B. C. D. 2nC3C2n316. 将序号分别为 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少 1 张. 如果分给同一人的 2 张参观1,4券连号，那么不同的分法种数是（ ）A. 24 B. 96 C. 144 D. 2107. 已知复数 ，则复数 的共轭复数 在复平面内对应的点位于（ 2342017iiizzz）A. 第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限8. 在矩形 中，对角线 与相邻两边所成角分别为 ，则有 . 类比到ABCDA,22cos1空间中的一个正确命题是：在长方体 中，对角线
3、与相邻三个面所成角分别为1BCD1AC，则 （ ）,222coscosA. B. 1 C. D. 21 329. 函数 的图象大致是（ ）2xfxe210. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术” ，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积 可由公式 求得，其中 为三角形周长的一半，,abcSpabpcp这个公式也被称为海伦秦九韶公式. 现有一个三角形的边长满足 ，则此三角形面积12,8abc的最大值为（ ）A. B. C. D. 4585415511. 抛掷两枚骰子，当至少有一枚 5 点或者 6 点出现时，就说这次实验成功，则在 90 次试验中成功次数 的均值为（ ）XA.
4、30 B. 40 C. 50 D. 6012.若 有三个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）2xfeaexaA. B. C. D. 0,0, 1,)e,e第卷二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 乘积 展开后有 项.123123412345abcc14. 复数 ， ， 是实数，则 .zizaiRz12z15. 已知函数 和其导函数 满足 ，则 .fxfxcosin6ffx3f16. 某个部件由三个元件按右下图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作. 设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布 ，且各个元件能
5、否正常工作均相互独立，2(10,5)N那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 .三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17. 已知 ，证明关于 的方程 有且只有一个根.axab318. （I）求 展开式中 的系数；1021x4x（II）用二项式定理求 除以 8 的余数.5619. 微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）. 为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各 5
6、0 名，其中每天玩微信时间超过 6 小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：微信控 非微信控 合计男性 26 24 50女性 30 20 50合计 56 44 100（I）根据以上数据，能否有 的把握认为“微信控”与 “性别”有关？60%（II）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出 5 人赠送营养面膜 1 份，再从抽取的 5 人中再随机抽取 3 人赠送价值 200 元的护肤品套装，记这 3 人中“非微信控”的人数 ，试求 的分布列X及数学期望参考公式： ，其中22nadbcKdnabcd2Pk0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.0100.45
7、5 0.708 1.323 3.841 5.024 6.635420. 已知函数 .2230,xaxf aRe（I）若函数 在 处取得极值，求 的值；yf（II）若函数 的图象上存在两点关于原点对称，求 的取值范围. xa21. 已知数列 中， ，当 且 时， .na12nN2nSa（I）求 的值；234,（II）猜想数列 的通项公式并用数学归纳法证明；n（III）若 ，证明： .21nnba134nib22. 已知函数 .xfekR（I）试讨论函数 的单调性；yf（II）若该函数有两个不同的零点 ，试求：（i）实数 的取值范围；（ii）证明： .12,xk124x520162017 学年度郑
8、州市下期期末考试高中二年级 数学（理科） 参考答案一、选择题:1. C2. B. 3.A4. D5. D6. B 7.D 8. D9.B. 10.B. 11. C 12. A.二、填空题:13. 60；14. 15. 16. 42;3;.8三、解答题：17.证明：由于 ，因此方程至少有一个实根 . .2 分0aabx假设方程不只一个实根，不妨设 是它的两个不同的实根，21,x即 ， .两式相减得 . 6 分bx12 0)(a因为 ，所以 ，所以应有 ，这与已知矛盾，故假设错误.8 分21所以，当 ，方程 有且只有一个根10 分0abx18.解：（I）由 21393234999(1)()(1)
9、)x xCxxC所以 的系数为 .6 分4495C（II）因为 5551545451545461(661)(66)7 10 分所以 除以 8 的余数为 1. . 12 分519. 解：（I）由题意，K2= 0.650. 708， 3 分没有 60%的把握认为“微信控”与“性别” 有关； .4 分（II）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为 3：2，选出 5 人赠送营养面膜 1 份，所抽取的 5 人中“微信控” 有 3 人， “非微信控”的人数有 2 人； 6 分由题知 X=1，2，3，则 .7 分P（X=1）= =0.3，P（X=2）= =0.6，P（X=3）= =0.1 .10 分
10、X 的分布列为：6X 1 2 3P 0.3 0.6 0.1.11 分随机变量 X 的数学期望为 EX=10.3+20.6+30.1=1.8 .12 分20.解：（I）当 时， 2 分0xaxefaxef 2,322因为 在 处取得极值，所以 ，解得 3 分fy()0f经验证满足题意，所以 . .5 分2ae(II)由题意知 的图像上存在两点关于原点对称，即xfy图象上存在一点 ，使得0322eyx 0,0xy在 的图象上0, 2xay消去 ，得 ，化简得 .32200xe0y3320220 axae 02xea8 分则由题意关于 的方程 在 上有解.0x0xea,设 ， 令 ，得 ，21,2h
11、xeh则 0xh1当 时， ， 在 为增函数；10x,当 时 ， ， 在 为减函数. 10 分0xh10所以 ，即 的值域为 .;,2xhxe时 ，且 xh时 ，0xh,2e所以当 时 ，方程 在 上有解.a0a,即当 时，函数 的图像上存在两点关于原点对称. 12 分e2xfy21.解：（） .3 分541,3,1aa（）由（）猜想 ，4 分）*()Nnn下用数学归纳法证明之证明：（1）当 时，猜想成立.17（2）假设 时，猜想成立，即kn1,()ka那么 ，时12 21111(),().kkkkSSa即，6 分121212)(kkk aaa得 ，即 .)(1k 时 成 立n由（1） （2）
12、知猜想正确， .8 分)1(an（）由（）知 ，10 分)21n)2()1(12 bnn （所以 1 3(),23441ni即所以 12 分1.4nib22 解：（I）由 ,则 ,1 分)()(Rkxefkexf(若 ,则 ,故 在 上单调递增； ,3 分0kx)fy若 ,令 ,解得 ;令 ,解得 ,所以单调递增区间为 ,单调)(fkln0)(xfkln)(lnk递减区间为 .5 分lnk(II) （i)由题意:由(1)可知, 当 时,函数至多只有一个零点,不符合题意,舍去;时,令 ,解得 ,此时 ; 时, 0k 0l)(llnkefk 2e0)1(efx,因此会有两个零点,符合题意.)(xf综上:实数 的取值范围是 8 分k),(2e(ii)由（2）可知： 时，此时 且 ,0)(;01( xfxef时 ， ,0)2(kef因此 由 ，相除后得到),2(),1(x kkx212, 112xe两边取对数得 ，)ln(l12128令 即 ， ,1,2xy 12212lnlnyy要证 ，即证 10 分,42121x即 证 ,l)(1221令 构造函数,ln),12 ttty（即 证 )(ln)(tth由 , 单调递增,则 ,01(1)2()( 2 ttth )(ty0)1(ht故不等式成立,综上 即原不等式成立. .12 分
