1、1第一讲 不等式和绝对值不等式课题：第 01课时 不等式的基本性质教学目标：1理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础。2掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，反证法证明简单的不等式。教学重点：应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证法。教学难点：灵活应用不等式的基本性质。教学过程： 一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。 列子汤问中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大” 、 “近者热而远者凉” ，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面
2、为什么做成圆的，而不做成方的呢?” 、 “电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？” 、 “用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局
3、部的、相对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有 b 克糖(ab0)，若再加 m(m0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为 ，加入 m 克糖 后的糖水浓度为 ，只要证ab ma 即可。怎么证呢? mab二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数2轴上的表示可知： 0ba得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。2、不等式的基本性质：、如果 ab，那么 bb。(对称性)、如果 ab，且 bc，那么 ac，
4、即 ab，bc ac。、如果 ab，那么 a+cb+c，即 ab a+cb+c。推论：如果 ab，且 cd，那么 a+cb+d即 ab， cd a+cb+d、如果 ab，且 c0，那么 acbc；如果 ab，且 cb 0，那么 (n N，且 n1)nba、如果 ab 0，那么 (n N，且 n1)。三、典型例题：例 1、比较 和 的大小。)7(3x)6(4x分析：通过考察它们的差与 0 的大小关系，得出这两个多项式的大小关系。例 2、已知 ，求证： dcba, dbca例 3、已知 ab0，cd0，求证： 。四、课堂练习：1：已知 ，比较 与 的大小。xx13622：已知 ab0，c ，对一切
5、实数 都成立，求实数 的取值范围。3xaa四、课堂练习：解下列不等式：1、 2、 3、 . .12x014x 42x4、 . 5、 6、 .2 17、 8、 9、 .10、 .x五、课后作业：课本 20 第 6、7、8、9 题。六、教学后记：12第二讲 证明不等式的基本方法课题：第 01课时 不等式的证明方法之一：比较法教学目标：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。教学重、难点：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。教学过程：一、新课学习：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质： 0ba二、典型例题：例 1、设 都是正数，且 ，求证： 。ba, ba23ab
6、a例 2、若实数 ，求证：1x .)1()1(3242xx证明：采用差值比较法： 242)(3= 324xxx= 134= )()22= .4x,032(,0,12x且从 而 ,)1() .)(342xx讨论：若题设中去掉 这一限制条件，要求证的结论如何变换？13例 3、已知 求证,Rba.aba本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于 对称，不妨设ba, .0ba，从而原不等式得证。0)(0bababa2）商值比较法：设 ,故原不等式得证。,1.1ab例 4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度行走，另一半时间以
7、速度 行走；乙有一半路程以速度 行走，另一半路程mnm以速度 行走。如果 ，问甲、乙两人谁先到达指定地点。nm分析：设从出发地点至指定地点的路程是 ，甲、乙两人走完这段路程所用S的时间分别为 。要回答题目中的问题，只要比较 的大小就可以了。21,t 21,t解：设从出发地点至指定地点的路程是 ，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为 ，根据题意有 ， ，可得 ，21,t nt212tnmnmSt21，mnSt)(2从而 ，nSt)(21)(42S)(其中 都是正数，且 。于是 ，即 。, 01t21t从而知甲比乙首先到达指定地点。讨论：如果 ，甲、乙两人谁先到达指定地点？三、课堂练习：1比较下
8、面各题中两个代数式值的大小：（1） 与 ；（2） 与 .2x112x2)(2已知 求证：（1 ） （2）.a;a.1a3若 ，求证0cb.3cbcb四、课时小结：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商） 、变形、判断符号。 “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。五、课后作业：课本 23 页第 1、2、3、4 题。六、教学后记：14课题：第 02课时 不等式的证明方法之二：综合法与分析法教学目标：1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法。2、了解分析法和综合法的思考过
9、程。教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程。教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。教学过程：一、引入：综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是“由因及果” ，后一种是“执果索因” 。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直
10、至找到他，这是“综合法” ；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法” 。二、典型例题：例 1、已知 ，且不全相等。求证：0,cbaabcca6)()()( 222 分析：用综合法。15例 2、设 ，求证0,ba.23aba证法一 分析法要证 成立.23只需证 成立，又因 ，)()(b0ba只需证 成立，又需证 成立，aa22 2即需证 成立.而 显然成立. 由此命题得证。002证法二 综合法abbb 22222)(注意到 ，即 ，,aa由上式即得 ，从而 成立。)()(22 23议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？例 3、已知 a，b，m 都是正数，并且 求证： .
11、b.bam（1）证法一 要证（1） ，只需证 （2）)()(am要证（2） ，只需证 （3）要证（3） ，只需证 （4）b已知（4）成立，所以（1）成立。上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。证法二 因为 是正数，所以 mab,am两边同时加上 得 两边同时除以正数)()(bb得（ 1） 。)(mb例 4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为 ，则周长为 的圆的半径为 ，截面积为 ；周长为L2L2L的正方形为 ，截面积为 。所以本题只需
12、证明 。L424L4证明：设截面的周长为 ，则截面是圆的水管的截面面积为 ，截面2是正方形的水管的截面面积为 。只需证明： 。2 2为了证明上式成立，只需证明 。162两边同乘以正数 ，得： 。因此，只需证明 。2L44上式显然成立，所以 。22L这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。例 5、证明： 。cabcba2216证法一： 因为 （2）ab22（3）c（4）c2所以三式相加得 )()(22 cab（5）两边同时除以 2 即得（1） 。证法二： ,0)(21)()()( 2222 acbacbacba所以（1）
13、成立。例 6、证明： （1）.222d证明 （1） （2）0)()( cc（3）0)2222 dbacbaba（4）d（5）0)(2c（5）显然成立。因此（1）成立。例 7、已知 都是正数，求证 并指出等号在什么时候ba, .33abca成立？分析：本题可以考虑利用因式分解公式着手。)(3223 caccbc 证明： aba= )(22 a= .()(12cc由于 都是正数，所以 而, .0b，0)()( 222aba可知 33c即 （等号在 时成立）c探究：如果将不等式 中的 分别用 来代替，ab33,cba,并在两边同除以 3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：，其中 是互不
14、相等的正数，且27)1)()(1( cba c,.abc三、课堂小结：解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法，也17是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。四、课堂练习：1、已知 求证：,0x.21x2、已知 求证,y.4yx3、已知 求证,baba4、已知 求证：.（1） （2） .4)(1 .8)()(332ba5、已知 都是正数。求证：dc,（1） （2）;2cdabba .44cdcba6、已知 都是互不相等的正数，求证,
15、 .9)(五、课后作业：课本 25 页第 1、2、3、4 题。六、教学后记：课题：第 03课时 不等式的证明方法之三：反证法教学目标：通过实例，体会反证法的含义、过程与方法，了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。教学重点：体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题。教学难点：会用反证法证明简单的命题。教学过程:一、引入：前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，
16、或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若 p 则 q”，而是先肯定命题的条件 p，并否定命题的结论 q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：18第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。二、典型例题：例 1、已知 ，
17、求证： （ 且 ）0banbaN1n例 1、设 ，求证23.2证明：假设 ，则有 ，从而.2)1(68126,833bba因为 ，所以 ，这与题设条件 矛盾，所)(23a23ba以，原不等式 成立。例 2、设二次函数 ，求证： 中至少有一个不小qpxf2)( )(,2)1(ff于 .1证明：假设 都小于 ，则)3(,2)(ff 2（1）.1另一方面，由绝对值不等式的性质，有（2）)39()24()1(2132qpqpqpfffff（1） 、 （2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。议一议
18、：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？例 3、设 0 , (1 b)c , (1 c)a ,414141则三式相乘：ab 0，ab + bc + ca 0，abc 0，求证：a, b, c 0 证：设 a 0, bc 0, 则 b + c = a 0ab + bc + ca = a(b + c ) + bc 0 矛盾，必有 a 0同理可证：b 0, c 0三、课堂练习：1、利用反证法证明：若已知 a，b，m 都是正数，并且 ，则
19、ba.bam2、设 0 0，且 x + y 2，则 和 中至少有一个小于 2。xy1提示：反设 2， 2 x, y 0，可得 x + y 2 与 x + y 2 矛盾。1四、课时小结：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。五、课后作业：课本 29 页第 1、4 题。六、教学后记：20课题：第 04课时 不等式的证明方法之四：放缩法教学目标：1感受在什么情况下，需要用放缩法证明
20、不等式。2探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧。教学重、难点：1掌握证明不等式的两种放缩技巧。2体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”。教学过程：一、引入：所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小） ，使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。二、典型例题：例 1、若 是自然数，求证n .21321n证明： ,4,)1(2 kknn )(32 = )1(32)1(= .2注意：实际上，我们在证明 的过程中，已经得到3
21、n21一个更强的结论 ，这恰恰在一定程度上体现了放缩n12312法的基本思想。例 2、求证： .3n证明：由 （ 是大于 2 的自然数）,2111kk得 332.11 nnn例 3、若 a, b, c, dR+，求证：21 adcbd证：记 m = a, b, c, dR+ db 1ca1 2 时，求证： 1)(log)1(lnn证： n 2 0,0logn22)1(log2)()1(log nln n 2 时, 1)(ln三、课堂练习：1、设 为大于 1 的自然数，求证 .2132nnn2、设 为自然数，求证 !)()5(3)2( 四、课时小结：常用的两种放缩技巧：对于分子分母均取正值的分式
22、，（）如果分子不变，分母缩小（分母仍为正数），则分式的值放大；（）如果分子不变，分母放大，则分式的值缩小。五、课后作业：课本 29 页第 2、3 题。第三讲 柯西不等式与排序不等式课题：第 1课时 二维形式的柯西不等式（一）22教学目标：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式. 教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.教学难点：理解几何意义.教学过程：一、复习准备：1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？ 答案：及几种变式.(0,)2abab2. 练习：已知 a、 b、 c、 d 为实数，求证 222()()abcdacb证法：（比较法） =
23、.=22()cd2()0二、讲授新课：1. 柯西不等式： 提出定理 1：若 a、 b、 c、 d 为实数，则 .222()()abcdacb 即二维形式的柯西不等式 什么时候取等号？ 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：（综合法） 22222()abcdacdbcd. （要点：展开配方）()()证法三：（向量法）设向量 ， ，则 ，,m,n2|mab.2|ncd ，且 ，则 . mab|cos,n|n证法四：（函数法）设 ，则222()()fxabxacbdx0 恒成立.22()(fxcd 0，即24)(abcd 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？变式： 或 22|cdabA
24、22|abcdabA或 .ab 提出定理 2：设 是两个向量，则 .,|即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） 讨论：上面时候等号成立？（ 是零向量，或者 共线）, 练习：已知 a、 b、 c、 d 为实数，求证 .2222()()abcdacbd证法：（分析法）平方 应用柯西不等式 讨论：其几何意义？（构造三角形）2. 教学三角不等式： 出示定理 3：设 ，则 .12,xyR22221 11()()xyxyxy23分析其几何意义 如何利用柯西不等式证明 变式：若 ，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角123,xyxyR不等式？ 三、应用举例：例 1：已知 a,b 为实数，求证 2324)(
25、)(baba说明：在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算。所以，经典不等式是数学研究的有力工具。例题 2：求函数 的最大值。xxy2105分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和，若能化为 ac+bd的形式就能用柯西不等式求其最大值。 （ ）22| dcbadc解：函数的定义域为【1，5】 ，且 y036427)5()1()(51222xxxy当且仅当 时，等号成立，即 时，函数取最大值2 736课堂练习：1. 证明: (x 2+y4)(a4+b2)(a 2x+by2)22.求函数 的最
26、大值.xxy5例 3.设 a,b 是正实数，a+b=1，求证 1ba分析：注意到 ，有了 就可以用柯西不等式了。)1(1ba)(四、巩固练习：1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式 2. 已知 x+2y=1, 求 x2+y2的最小值. 五、课堂小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）六、布置作业：P37 页，4，5， 7，8，9七、教学后记：课题：第 02课时二维形式的柯西不等式（二）24教学目标：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系.教
27、学重点：利用二维柯西不等式解决问题.教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.教学过程：一、复习引入：1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？答案： ；222()()abcdacb21 121xyxyxy2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3. 如何利用二维柯西不等式求函数 的最大值?2xx要点：利用变式 .22|acbdcd二、讲授新课：1. 最大（小）值： 出示例 1：求函数 的最大值？3102yxx分析：如何变形？ 构造柯西不等式的形式 板演 变式： 3102yxx 推广： ,(,)abcdefabcdefR 练习：已知 ，求 的最小值
28、.22y解答要点：（凑配法） .222111()3()3xxxy讨论：其它方法 （数形结合法）2. 不等式的证明： 出示例 2：若 ， ，求证： .,xyR2xy12xy分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 构造）要点： 2211()()()讨论：其它证法（利用基本不等式） 练习：已知 、 ，求证： .abR14ab三、应用举例：例 1 已知 a1,a2,an都是实数，求证： 221221)( nnaan分析：用 n 乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。25例 2 已知 a，b，c，d 是不全相等的实数，证明：a 2 + b2 + c2 + d2 ab + bc +
29、 cd + da分析：上式两边都是由 a,b,c,d 这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明。 的 最 小 值 . 求1,32、 已 知 22zyxzyx3分析：由 形式，联系柯西不等式，可以通过构的以 及造（ 12+22+32）作为一个因式而解决问题。四、巩固练习：1. 练习：教材 P37 8、9 题 练习：1设 x，y，z 为正实数，且 x+y+z=1，求 的最小值。zyx9412已知 a+b+c+d=1，求 a2+b2+c2+d2的最小值。3已知 a，b，c 为正实数，且 a+2b+3c=9，求 的最大值。cba23选做：4已知 a，b，c 为
30、正实数，且 a2+2b2+3c2=6，求 a+b+c 的最小值。 （08广一模）5已知 a，b，c 为正实数，且 a+2b+c=1，求 的最小值。 （08cba1东莞二模）6已知 x+y+z= ，则 m=x2+2y2+z2的最小值是_.(08 惠州52调研)五、布置作业：教材 P37 1、6、7 题 已知 ，且 ，则 的最小值 .,xyabRabxyxy要点： . 其它证法() 若 ，且 ，求 的最小值. （要点：利用三维柯,z1z22z西不等式）变式：若 ，且 ，求 的最大值.,xyRxyxy六、课堂小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧.七、教学后记：课题：第
31、03课时 一般形式的柯西不等式教学目标：1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；262.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法教学重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。教学难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式。教学过程：一、复习引入：定理 1：（柯西不等式的代数形式）设 均为实数，则dcba,，其中等号当且仅当 时成立。222)()(bdaccba 定理 2：（柯西不等式的向量形式）设 ， 为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共|线）时成立。定理 3：（三角形不等式）设 为任意实数，则：321,
32、yxyx231231322121 )()()()()()( yxyx 二、讲授新课：类似的，从空间向量的几何背景业能得到|.| | .将空间向量的坐标代入，可得到 成 立 .1,23)时 ， 等 号(b使 得 a， 或 存 在 一 个 实 数 k，0即 共 线 时 ， ，当 且 仅 当a)b)(a( 212321321 iik这就是三维形式的柯西不等式.对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？定理 4：（一般形式的柯西不等式）：设 为大于 1 的自然数，n（ 1，2， ）为任意实数，则：iba,n221 12()()()n nababab 即，其中等号当且仅当 时
33、成立（当2112iiini na21时，约定 ， 1，2， ） 。0a0证明：构造二次函数： 221 )()()() bxbxaxf 即构造了一个二次函数： niniini 121由于对任意实数 ， 恒成立，则其 ，xf 0即： ，)(4)(1221niinii bab即： ，iia等号当且仅当 ，21nbxax即等号当且仅当 时成立（当 时，约定 ，na2 0i 0i1，2， ） 。in27如果 （ ）全为 0，结论显然成立。ian1三、应用举例：例 3 已知 a1,a2,an都是实数，求证： 221221)( nnaaan分析：用 n 乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式
34、。例 4 已知 a，b，c，d 是不全相等的实数，证明：a 2 + b2 + c2 + d2 ab + bc + cd + da分析：上式两边都是由 a,b,c,d 这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明。 的 最 小 值 . 求1,32例 5、 已 知 22zyxzyx分析：由 形式，联系柯西不等式，可以通过的以 及构造（1 2+22+32）作为一个因式而解决问题。四、巩固练习：练习：1设 x，y，z 为正实数，且 x+y+z=1，求 的最小值。zyx9412已知 a+b+c+d=1，求 a2+b2+c2+d2的最小值。3已知 a，b，c 为正实数
35、，且 a+2b+3c=9，求 的最大值。cba23选做：4已知 a，b，c 为正实数，且 a2+2b2+3c2=6，求 a+b+c 的最小值。 （08广一模）5已知 a，b，c 为正实数，且 a+2b+c=1，求 的最小值。 （08cba1东莞二模）6已知 x+y+z= ，则 m=x2+2y2+z2的最小值是_.(08 惠州52调研)五、课堂小结：重点掌握三维柯西不等式的运用。六、布置作业：P41 习题 3.2 2，3，4，5七、教学后课题：第 04课时 排序不等式28教学目标：1. 了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题;2. 体会运用经典不等式的一般思想方法 奎 屯
36、王 新 敞新 疆教学重点：应用排序不等式证明不等式教学难点：排序不等式的证明思路教学过程一、复习准备：1. 提问： 前面所学习的一些经典不等式？ （柯西不等式、三角不等式）2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例.二、讲授新课：1. 教学排序不等式： 看书：P 41P44.如 如图， 设 AOB，自点 沿 OA边依次取 n个点 12,nA ，边依次取取 n个点 12,n ，在 边取某个点 i与 OB边某个点 j连接，得到 ij，这样一一搭配，一共可得到n个三角形。显然，不同的搭配方法，得到的 ij不同，问： A边上的点与 B边上的点如何搭配，才能使 n个三角形的面积和最大（或最小）？ 设 ,(
37、,12,)ijOAaBbijn ，由已知条件，得3123,nnaabb 因为 ij的面积是 ，而 是常数，于是，上面的几何问题就可以归结为代数问题： 1212, ,nnc 设 是 数 组 的 任 何 一 个 排 列 则 12nSacc何时取最大（或最小）值？我们把 12nSaac 叫做数组 12(,)na 与 12(,)nb 的乱序和.其中, 132nnbb 称为 序和.212 称为 序和.这样的三个和大小关系如29何?设有两个有序实数组: ; ， 是 ， 的任12ana12bnb12,cnc12,b,nb一排列,则有+ (同序和) + (乱序和)12bn12ana+ (反序和)1na1ab当
38、且仅当 = 或 = 时，反序和等于同序和.2n12bnb（要点：理解其思想，记住其形式）三、应用举例：例 1：设 是 n 个互不相同的正整数，求证：12,a.32123na分析：如何构造有序排列？ 如何运用套用排序不等式？证明过程：设 是 的一个排列，且 ，则 .12,nb12,na 12nb12,nb又 ，由排序不等式，得3322112nnba小结：分析目标，构造有序排列.四、巩固练习：1. 练习：教材 P45 1 题2.已知 为正数，求证： .,abc332222()()()()abcbacb解答要点：由对称性，假设 ，则 ，于是 ， ， 222c222两式相加即得.五、课堂小结：排序不等
39、式的基本形式.六、布置作业：教材 P45 3、4 题七、教学后记：30第四讲 数学归纳法证明不等式课题：第 01课时 数学归纳法（一）教学目标：1.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题；2. 进一步发展猜想归纳能力和创新能力，经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。教学重点：数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握。教学难点：数学归纳法中递推思想的理解。教学过程：一、创设情境，引出课题（1）不完全归纳法：今天早上，我曾疑惑，怎么一中（永昌一中）只招男生吗？因为清晨我在学校门口看到第一个进校园的是男同学，第二个进校园的也是男同学，第三个进校园的
40、还是男同学。于是得出结论：学校里全部都是男同学，同学们说我的结论对吗？（这显然是一个错误的结论，说明不完全归纳的结论是不可靠的，进而引出第二个问题）（2）完全归纳法：一个火柴盒，里面共有五根火柴，抽出一根是红色的，抽出第二根也是红色的，请问怎样验证五根火柴都是红色的呢？（将火柴盒打开，取出剩下的火柴，逐一进行验证。 ）注：对于以上二例的结果是非常明显的，教学中主要用以上二题引出数学归纳法。结论：不完全归纳法结论不可靠；完全归纳法结论可靠。问题：以上问题都是与正整数有关的问题，从上例可以看出，要想正确的解决一个与此有关的问题，就可靠性而言，应该选用第几种方法？（完全归纳法）情境一：（播放多米诺骨牌视频）问：怎样才能让多米诺骨牌全部倒下？二、讲授新课：探究一：让所有的多米诺骨牌全部倒下，必须具备什么条件？条件一：第一张骨牌倒下；
