1、第 1 页绝密启封并使用完毕前试题类型：2016 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试题卷共 5 页，24 题（含选考题）。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4、选考题
2、的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷（1）选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合 ， ，则（A）1,3 （B）3,5（C）5,7（D ）1,7【答案】B考点：集合运算第 2 页(2) 设 的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则 a=（A）3（B） 2（C）2（D ）3【答案】A【解析】试题分析： ，由已知，得 ，解得，选 A.考点：复数的概念（3）为美化环境，从红
3、、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A） （B） （C） （ D）【答案】C考点：古典概型（4）ABC 的内角 A、B 、C 的对边分别为 a、b、c.已知 ， ，则 b=（A） （B） （C）2（ D）3【答案】D【解析】试题分析：由余弦定理得 ，解得 （ 舍去），选D.考点：余弦定理（5）直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的Error!，则该椭圆的离心率为第 3 页（A）Error! （ B）Error!（C ）Error!（D）Error!【答案】B【解
4、析】试题分析：如图，在椭圆中，在 中， ，且 ，代入解得，所以椭圆的离心率为： ，故选 B.考点：椭圆的几何性质（6）将函数 y=2sin (2x+Error!)的图像向右平移Error!个周期后，所得图像对应的函数为（A）y=2sin(2x+ Error!) （B）y =2sin(2x+Error!) （C）y=2sin(2xError!) （D ）y=2sin(2xError!)【答案】D考点：三角函数图像的平移（7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是Error!，则它的表面积是第 4 页（A）17 （B）18 （C） 20 （D ）2
5、8 【答案】A【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是 个球，设球的半径为 ，则，解得 ，所以它的表面积是 ，故选 A考点：三视图及球的表面积与体积（8）若 ab0，0cb【答案】B考点：指数函数与对数函数的性质（9）函数 y=2x2e|x|在2,2的图像大致为第 5 页（A） （B）（C） （D）【答案】D【解析】试题分析：函数 f(x)=2x2e|x|在 2,2上是偶函数，其图象关于 轴对称，因为，所以排除 选项；当 时， 有一零点，设为 ，当 时， 为减函数，当 时， 为增函数故选 D.（10）执行右面的程序框图，如果输入的 n=1,则输出 的值满足（A）（B）（C）（D）【答案】C【解
6、析】试题分析：第一次循环： ，第二次循环： ，第三次循环： 此时满足条件 ，循环结束，输出第 6 页，满足 故选 C.考点：程序框图与算法案例（11）平面 过正方体 ABCDA1B1C1D1 的顶点 A， ,， ，则 m，n 所成角的正弦值为（A） （B） （C） （D）【答案】A考点：平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角.（12）若函数 在 单调递增，则 a 的取值范围是（A） （B） （C） （D）【答案】C第 7 页考点：三角变换及导数的应用第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题第(21) 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题第 (24)题为选
7、考题，考生根据要求作答 .二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分（13）设向量 a=(x，x +1)，b=(1，2)，且 a b，则 x= .【答案】【解析】试题分析：由题意， 考点：向量的数量积及坐标运算（14）已知 是第四象限角，且 sin(+ )= ，则 tan( )= .【答案】【解析】试题分析：由题意，第 8 页解得所以 ，考点：三角变换（15）设直线 y=x+2a 与圆 C：x 2+y2-2ay-2=0 相交于 A，B 两点，若，则圆 C 的面积为 .【答案】考点：直线与圆（16）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A需要甲材料 1.
8、5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg，乙材料 0.3 kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为900 元。该企业现有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元.【答案】第 9 页将 变形，得 ，作直线： 并平移，当直线经过点 时， 取得最大值.解方程组 ，得 的坐标为 .所以当 ， 时， .故生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元.考点：线性规划的应用三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
9、（17）（本小题满分 12 分）已知 是公差为 3 的等差数列，数列 满足第 10 页.（I）求 的通项公式；（II）求 的前 n 项和.【答案】（I） ； （II ）考点：等差数列与等比数列（18）（本小题满分 12 分）如图，已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D， D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连结 PE并延长交 AB 于点 G.（I）证明：G 是 AB 的中点；（II）在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F（说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积第 11 页【答案】（I）见解析；（II ）作图见解析
10、，体积为.【解析】试题分析：证明 由 可得 是 的中点. （II ）在平面 内，过点 作 的平行线交 于点 ， 即为 在平面 内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且 ，可得 在等腰直角三角形 中，可得 四面体 的体积（II）在平面 内，过点 作 的平行线交 于点 ， 即为 在平面内的正投影.理由如下：由已知可得 ， ，又 ,所以,因此 平面 ，即点 为 在平面 内的正投影.连结 ，因为 在平面 内的正投影为 ， 所以 是正三角形 的中心.由（I）知， 是 的中点，所以 在 上，故第 12 页由题设可得 平面 ， 平面 ，所以 ， 因此由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 ，可得 在等腰直
11、角三角形 中，可得所以四面体 的体积考点：线面位置关系及几何体体积的结束（19）（本小题满分 12 分）某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）， 表示购机的同时购买的易损零件数.（I）若 =19，求 y
12、与 x 的函数解析式；（II）若要求“需更换的易损零件数不大于 ”的频率不小于 0.5，求 的最小值；（III）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20个易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？第 13 页【答案】（I）；（II ）19；（III ）19.【解析】（）由柱状图知，需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46，不大于 19 的频率为 0.7，故的最小值为 19.（）若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件，则这 100 台机
13、器中有 70 台在购买易损零件上的费用为 3800，20 台的费用为 4300，10 台的费用为 4800，因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为.若每台机器在购机同时都购买 20 个易损零件，则这 100 台机器中有 90 台在购买易损零件上的费用为 4000，10 台的费用为 4500，因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 .比较两个平均数可知，购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件.考点：函数解析式、概率与统计（20）（本小题满分 12 分）在直角坐标系 中，直线 l:y=t(t0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C： 于点 P，M 关于点 P
14、 的对称点为 N，连结 ON 并延长交 C 于点 H.（I）求 ；（II）除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由 .【答案】（I）2；（II ）没有 .【解答】第 14 页（）直线 与 除 以外没有其它公共点.理由如下：直线 的方程为 ，即 .代入 得，解得 ，即直线 与 只有一个公共点，所以除 以外直线 与 没有其它公共点.考点：直线与抛物线（21）（本小题满分 12 分）已知函数.(I)讨论 的单调性；(II)若 有两个零点，求 的取值范围.【答案】(I) 见解析； (II) .第 15 页考点：函数单调性，导数应用请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多
15、做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，OAB 是等腰三角形，AOB=120. 以 O 为圆心， OA 为半径作圆.第 16 页(I)证明：直线 AB 与 O 相切；(II)点 C,D 在O 上，且 A,B,C,D 四点共圆，证明：ABCD. 【答案】(I) 见解析； (II)见解析.【解析】试题分析：(I) 设 是 的中点，证明 ；(II) 设 是 四点所在圆的圆心，作直线 ，证明 ， ，由此可证明 试题解析：（）设 是 的中点，连结 ，因为 ，所以 ， 在 中， ，即 到直线 的距离等于O 半径，所以直线与 相切（）因为 ，
16、所以 不是 四点所在圆的圆心，设 是四点所在圆的圆心，作直线 由已知得 在线段 的垂直平分线上，又 在线段 的垂直平分线上，所以同理可证， ，所以 考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明（23）（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程第 17 页在直角坐标系 x y 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数，a0）在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：=.（I）说明 C1 是哪一种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程；（II）直线 C3 的极坐标方程为 ，其中 满足 tan =2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a【答案】（I）圆， ； （II ）1.【解析】考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用（24）（本小题满分 10 分），选修 45：不等式选讲已知函数 .第 18 页（I）画出 的图像；（II）求不等式 的解集【答案】（I）见解析；（II ）.第 19 页考点：分段函数的图像，绝对值不等式的解法
