1、12012 年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 A=1，2，3，4，5，B=（x，y）|xA，y A，xyA，则 B 中所含元素的个数为（ ）A3 B6 C8 D102 （5 分）将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（ ）A12 种 B10 种 C9 种 D8 种3 （5 分）下面是关于复数 z= 的四个命题：其中的真命题为（ ） ，p1：|z|=2 ，p2：z
2、 2=2i，p3：z 的共轭复数为 1+i，p4：z 的虚部为1Ap 2，p 3 Bp 1，p 2 Cp 2，p 4 Dp 3，p 44 （5 分）设 F1、F 2 是椭圆 E： + =1（ab 0）的左、右焦点，P 为直线x= 上一点，F 2PF1 是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为（ ）A B C D5 （5 分）已知a n为等比数列， a4+a7=2，a 5a6=8，则 a1+a10=（ ）A7 B5 C5 D 76 （5 分）如果执行右边的程序框图，输入正整数 N（N2）和实数a1， a2， ，a n，输出 A，B，则（ ）2AA +B 为 a1，a 2，a n 的和B 为
3、 a1，a 2， ，a n 的算术平均数C A 和 B 分别是 a1，a 2，a n 中最大的数和最小的数DA 和 B 分别是 a1，a 2，a n 中最小的数和最大的数7 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）3A6 B9 C12 D188 （5 分）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y2=16x 的准线交于点 A 和点 B，|AB|=4 ，则 C 的实轴长为（ ）A B C4 D89 （5 分）已知 0，函数 f（x）=sin （x + ）在区间 ，上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）A B C D
4、 （0，210 （5 分）已知函数 f（ x）= ，则 y=f（x ）的图象大致为（ ）A B C D11 （5 分）已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的表面上，ABC 是边长为1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC=2，则此三棱锥的体积为（ ）A B C D12 （5 分）设点 P 在曲线 上，点 Q 在曲线 y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（ ）A1 ln2 B C1+ln2 D二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）已知向量 夹角为 45，且 ，则 = 14 （5 分）设 x，y 满足约束条件： ；则 z=x2y 的取值范围为 415 （5
5、分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布 N（1000，50 2） ，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 16 （5 分）数列a n满足 an+1+（1） nan=2n1，则a n的前 60 项和为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，c= asinCccosA（1）求 A；（2）若 a=2，ABC 的面积为 ，求 b，c18 （12 分
6、）某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理（1）若花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润 y（单位：元）关于当天需求量 n（单位：枝，nN）的函数解析式（2）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝） ，整理得如表：日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20频数 10 20 16 16 15 13 10以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率（i）若花店一天购进 16 枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元） ，求 X 的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进
7、 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？请说明理由19 （12 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AC=BC= AA1，D 是棱 AA1 的中点，DC1BD5（1）证明：DC 1BC；（2）求二面角 A1BDC1 的大小20 （12 分）设抛物线 C：x 2=2py（p 0）的焦点为 F，准线为 l，AC，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B，D 两点；（1）若BFD=90，ABD 的面积为 ，求 p 的值及圆 F 的方程；（2）若 A，B，F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到
8、m，n 距离的比值21 （12 分）已知函数 f（ x）满足 f（x）=f （1）e x1f（0）x + x2；（1）求 f（x）的解析式及单调区间；（2）若 ，求（a+1）b 的最大值四、请考生在第 22，23，24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号22 （10 分）如图，D ，E 分别为ABC 边 AB，AC 的中点，直线 DE 交ABC 的外接圆于 F，G 两点，若 CFAB，证明：（1）CD=BC；（2）BCDGBD623选修 44；坐标系与参数方程已知曲线 C1 的参数方程是 （ 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 C
9、2 的坐标系方程是 =2，正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上，且 A，B ，C，D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为（2， ） （1）求点 A，B，C ，D 的直角坐标；（2）设 P 为 C1 上任意一点，求 |PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围24已知函数 f（x ）=|x+ a|+|x2|（1）当 a=3 时，求不等式 f（x ）3 的解集；（2）若 f（x）|x4|的解集包含 1，2，求 a 的取值范围72012 年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是
10、符合题目要求的1 （5 分） （2012新课标）已知集合 A=1，2，3，4，5，B=（x，y）|xA，yA，xyA，则 B 中所含元素的个数为（ ）A3 B6 C8 D10【分析】由题意，根据集合 B 中的元素属性对 x，y 进行赋值得出 B 中所有元素，即可得出 B 中所含有的元素个数，得出正确选项【解答】解：由题意，x=5 时，y=1，2，3，4，x=4 时，y=1 ，2，3，x=3 时，y=1 ，2，x=2 时，y=1综上知，B 中的元素个数为 10 个故选 D2 （5 分） （2012新课标）将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由
11、 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（ ）A12 种 B10 种 C9 种 D8 种【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有 =2 种选法；第二步，为甲地选两个学生，有 =6 种选法；第三步，为乙地选 1 名教师和 2 名学生，有 1 种选法故不同的安排方案共有 261=12 种8故选 A3 （5 分） （2012新课标）下面是关于复数 z= 的四个命题：其中的真命题为（ ） ，p1：|z|=2 ，p2：z 2=2i，p3：z 的共轭复数为 1+i，p4：z 的虚部为1Ap
12、2，p 3 Bp 1，p 2 Cp 2，p 4 Dp 3，p 4【分析】由 z= = =1i，知 ， p3：z 的共轭复数为1+i ，p 4：z 的虚部为 1，由此能求出结果【解答】解：z= = =1i， ，p3：z 的共轭复数为1+i，p4：z 的虚部为1，故选 C4 （5 分） （2012新课标）设 F1、F 2 是椭圆 E： + =1（a b0）的左、右焦点，P 为直线 x= 上一点，F 2PF1 是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为（ ）A B C D【分析】利用F 2PF1 是底角为 30的等腰三角形，可得 |PF2|=|F2F1|，根据 P 为直线 x= 上一点，可建立方
13、程，由此可求椭圆的离心率9【解答】解：F 2PF1 是底角为 30的等腰三角形，|PF 2|=|F2F1|P 为直线 x= 上一点故选 C5 （5 分） （2012新课标）已知a n为等比数列， a4+a7=2，a 5a6=8，则a1+a10=（ ）A7 B5 C5 D 7【分析】由 a4+a7=2，及 a5a6=a4a7=8 可求 a4，a 7，进而可求公比 q，代入等比数列的通项可求 a1，a 10，即可【解答】解：a 4+a7=2，由等比数列的性质可得，a 5a6=a4a7=8a 4=4，a 7=2 或 a4=2，a 7=4当 a4=4，a 7=2 时， ，a 1=8，a 10=1，a
14、1+a10=710当 a4=2，a 7=4 时，q 3=2，则 a10=8，a 1=1a 1+a10=7综上可得，a 1+a10=7故选 D6 （5 分） （2012新课标）如果执行右边的程序框图，输入正整数 N（N2）和实数 a1，a 2， ，a n，输出 A，B，则（ ）AA +B 为 a1，a 2，a n 的和B 为 a1，a 2， ，a n 的算术平均数C A 和 B 分别是 a1，a 2，a n 中最大的数和最小的数DA 和 B 分别是 a1，a 2，a n 中最小的数和最大的数11【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出 a1， a2
15、，a n 中最大的数和最小的数【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出 a1，a 2，a n 中最大的数和最小的数其中 A 为 a1，a 2，a n 中最大的数，B 为 a1，a 2，a n 中最小的数故选：C7 （5 分） （2012新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A6 B9 C12 D18【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为 3；底面三角形斜边长为 6，高为 3 的等腰直角三角形，
16、此几何体的体积为 V= 633=9故选 B8 （5 分） （2012新课标）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y2=16x 的准线交于点 A 和点 B，|AB |=4 ，则 C 的实轴长为（ ）A B C4 D8【分析】设等轴双曲线 C：x 2y2=a2（a0） ，y 2=16x 的准线 l：x= 4，由 C 与抛物12线 y2=16x 的准线交于 A，B 两点， ，能求出 C 的实轴长【解答】解：设等轴双曲线 C：x 2y2=a2（a0） ，y2=16x 的准线 l：x= 4，C 与抛物线 y2=16x 的准线 l：x=4 交于 A，B 两点，A（4 ，2 ） ，
17、B（4， 2 ） ，将 A 点坐标代入双曲线方程得 =4，a=2，2a=4故选 C9 （5 分） （2012新课标）已知 0，函数 f（x）=sin （x+ ）在区间 ， 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）A B C D （0，2【分析】法一：通过特殊值 =2、=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果法二：可以通过角的范围，直接推导 的范围即可【解答】解：法一：令： 不合题意 排除（D）合题意 排除（B） （C ）法二： ，得： 故选 A10 （5 分） （2012新课标）已知函数 f（x）= ，则 y=f（x ）的图象大致为（ ）13A B C D【分析】考虑函数 f（x）的分母
18、的函数值恒小于零，即可排除 A，C，由 f（x）的定义域能排除 D，这一性质可利用导数加以证明【解答】解：设则 g（x）=g （x）在（1，0）上为增函数，在（ 0，+）上为减函数g （x）g （0）=0f（ x）= 0得：x0 或1x0 均有 f（x）0 排除 A，C ，又 f（x）= 中， ，能排除 D故选 B11 （5 分） （2012新课标）已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的表面上，ABC 是边长为 1 的正三角形， SC 为球 O 的直径，且 SC=2，则此三棱锥的体积为（ ）A B C D【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出 OO1，进而求出底面ABC 上
19、的高 SD，即可计算出三棱锥的体积【解答】解：根据题意作出图形：设球心为 O，过 ABC 三点的小圆的圆心为 O1，则 OO1平面 ABC，延长 CO1 交球于点 D，则 SD平面 ABCCO 1= = ，14OO 1= = ，高 SD=2OO1= ，ABC 是边长为 1 的正三角形，S ABC = ，V 三棱锥 SABC= = 故选：C12 （5 分） （2012新课标）设点 P 在曲线 上，点 Q 在曲线 y=ln（2x ）上，则|PQ|最小值为（ ）A1 ln2 B C1+ln2 D【分析】由于函数 与函数 y=ln（2x）互为反函数，图象关于 y=x 对称，要求|PQ|的最小值，只要求
20、出函数 上的点 到直线 y=x 的距离为 的最小值，设 g（ x）= ，利用导数可求函数 g（x）的单调性，进而可求 g（x）的最小值，即可求【解答】解：函数 与函数 y=ln（2x）互为反函数，图象关于 y=x 对称，15函数 上的点 到直线 y=x 的距离为 ，设 g（ x）= （x0） ，则 ，由 0 可得 xln2，由 0 可得 0x ln2，函数 g（x ）在（0，ln2 ）单调递减，在ln2，+ ）单调递增，当 x=ln2 时，函数 g（x） min=1ln2，由图象关于 y=x 对称得： |PQ|最小值为 故选 B二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分） （2
21、012新课标）已知向量 夹角为 45，且，则 = 3 【分析】由已知可得， = ，代入|2 |= = = 可求【解答】解： ， =1 =|2 |= = = =解得故答案为：314 （5 分） （2012新课标）设 x，y 满足约束条件： ；则 z=x2y 的16取值范围为 【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由 z=x2y 可得，y= ，则表示直线 x2yz=0 在 y 轴上的截距，截距越大， z 越小，结合函数的图形可求 z 的最大与最小值，从而可求 z 的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由 z=x2y 可得，y= ，则 表示直线 x2yz=0 在 y 轴上的截距，截距越大，z
22、越小结合函数的图形可知，当直线 x2yz=0 平移到 B 时，截距最大，z 最小；当直线x2yz=0 平移到 A 时，截距最小，z 最大由 可得 B（1， 2） ，由 可得 A（3，0）Z max=3，Z min=3则 z=x2y3，3故答案为：3，315 （5 分） （2012新课标）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 117或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布 N（1000，50 2） ，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元
23、件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 ，而所求事件“ 该部件的使用寿命超过 1000 小时”当且仅当“超过 1000小时时，元件 1、元件 2 至少有一个正常”和“超过 1000 小时时，元件 3 正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 N（1000，50 2）得：三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为设 A=超过 1000 小时时，元件 1、元件 2 至少有一个正常，B=超过 1000 小时时，元件 3 正常C=该部件的使用寿命超过 1000 小时则 P（ A）= ，P （B ）=P（C）=P（AB ）=P
24、（A）P （B ）= =故答案为16 （5 分） （2012新课标）数列a n满足 an+1+（1） nan=2n1，则a n的前 60项和为 1830 【分析】由题意可得 a2a1=1，a 3+a2=3，a 4a3=5，a 5+a4=7，a 6a5=9，a 7+a6=11，a 50a49=97，变形可得 a3+a1=2，a 4+a2=8，a 7+a5=2，a 8+a6=24，a 9+a7=2，a 12+a10=40，a 13+a15=2，a 16+a14=56， 利用数列的结构特征，求出a n的前 60 项和18【解答】解：a n+1+（1 ） n an=2n1，有 a2a1=1，a 3+a
25、2=3，a 4a3=5，a 5+a4=7，a 6a5=9，a 7+a6=11，a 50a49=97从而可得a3+a1=2，a 4+a2=8，a 7+a5=2，a 8+a6=24，a 9+a11=2，a 12+a10=40，a 13+a11=2，a 16+a14=56，从第一项开始，依次取 2 个相邻奇数项的和都等于 2，从第二项开始，依次取2 个相邻偶数项的和构成以 8 为首项，以 16 为公差的等差数列a n的前 60 项和为 152+（158+ ）=1830，故答案为：1830三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分） （2012新课标）已知 a，b ，c 分别为
26、ABC 三个内角 A，B，C 的对边，c= asinCccosA（1）求 A；（2）若 a=2，ABC 的面积为 ，求 b，c【分析】 （1）由正弦定理有： sinAsinCsinCcosAsinC=0，可以求出 A；（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出 b、c【解答】解：（1）c= asinCccosA，由正弦定理有：sinAsinCsinCcosAsinC=0，即 sinC（ sinAcosA1）=0 ，又，sinC0 ，所以 sinAcosA1=0，即 2sin（A ）=1，所以 A= ；（2）S ABC = bcsinA= ，所以 bc=4，a=2，由余弦定理得：a 2=b2+c2
27、2bccosA，即 4=b2+c2bc，即有 ，19解得 b=c=218 （12 分） （2012新课标）某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理（1）若花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润 y（单位：元）关于当天需求量 n（单位：枝，nN）的函数解析式（2）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝） ，整理得如表：日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20频数 10 20 16 16 15 13 10以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率（i）若花店一天购进 16
28、枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元） ，求 X 的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？请说明理由【分析】 （1）根据卖出一枝可得利润 5 元，卖不出一枝可得赔本 5 元，即可建立分段函数；（2） （i ）X 可取 60，70，80，计算相应的概率，即可得到 X 的分布列，数学期望及方差；（ii）求出进 17 枝时当天的利润，与购进 16 枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论【解答】解：（1）当 n16 时，y=16（105）=80；当 n15 时，y=5n5（16n ）=10n 80，得：（2） （i ）X
29、 可取 60，70，80，当日需求量 n=14 时，X=60，n=15 时，X=70，其他情况 X=80，P（X=60）= = =0.1，P （X=70 ）= 0.2，P（X=80）=10.1 0.2=0.7，X 的分布列为20X 60 70 80P 0.1 0.2 0.7EX=600.1+700.2+800.7=76DX=1620.1+620.2+420.7=44（ii）购进 17 枝时，当天的利润的期望为 y=（14 535）0.1+（15 525）0.2+（16515）0.16+1750.54=76.476.476 ， 应购进 17 枝19 （12 分） （2012新课标）如图，直三棱柱
30、 ABCA1B1C1 中，AC=BC= AA1，D是棱 AA1 的中点，DC 1BD（1）证明：DC 1BC；（2）求二面角 A1BDC1 的大小【分析】 （1）证明 DC1BC，只需证明 DC1面 BCD，即证明DC1DC，DC 1BD ；（2）证明 BC面 ACC1A1，可得 BCAC 取 A1B1 的中点 O，过点 O 作 OHBD于点 H，连接 C1O，C 1H，可得点 H 与点 D 重合且 C 1DO 是二面角 A1BDC1 的平面角，由此可求二面角 A1BDC1 的大小【解答】 （1）证明：在 RtDAC 中，AD=AC，ADC=45同理：A 1DC1=45，CDC 1=9021D
31、C 1DC ， DC1BDDCBD=DDC 1面 BCDBC 面 BCDDC 1BC（2）解：DC 1BC，CC 1BC，DC 1CC 1=C1，BC面 ACC1A1，AC面 ACC1A1，BCAC取 A1B1 的中点 O，过点 O 作 OHBD 于点 H，连接 C1O，OHA 1C1=B1C1，C 1OA 1B1，面 A1B1C1 面 A1BD，面 A1B1C1面 A1BD=A1B1，C 1O 面 A1BD而 BD面 A1BDBDC 1O，OHBD，C 1OOH=O ，BD面 C1OHC 1HBD，点 H 与点 D 重合且C 1DO 是二面角 A1BDC1 的平面角设 AC=a，则 ， ，s
32、in C 1DO=C 1DO=30即二面角 A1BDC1 的大小为 302220 （12 分） （2012新课标）设抛物线 C：x 2=2py（p0）的焦点为 F，准线为l，A C，已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B，D 两点；（1）若BFD=90，ABD 的面积为 ，求 p 的值及圆 F 的方程；（2）若 A，B，F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m，n 距离的比值【分析】 （1）由对称性知：BFD 是等腰直角，斜边 |BD|=2p 点 A 到准线 l的距离 ，由ABD 的面积 SABD = ，知 =，由此
33、能求出圆 F 的方程（2）由对称性设 ，则 点 A，B 关于点 F 对称得：，得： ，由此能求出坐标原点到 m，n 距离的比值【解答】解：（1）由对称性知：BFD 是等腰直角 ，斜边|BD |=2p点 A 到准线 l 的距离 ，ABD 的面积 SABD = ， = ，解得 p=2，所以 F 坐标为（0，1） ，圆 F 的方程为 x2+（y1） 2=823（2）由题设 ，则 ，A，B，F 三点在同一直线 m 上，又 AB 为圆 F 的直径，故 A，B 关于点 F 对称由点 A，B 关于点 F 对称得：得： ，直线 ，切点直线坐标原点到 m，n 距离的比值为 21 （12 分） （2012新课标）
34、已知函数 f（x）满足 f（x ）=f（1）e x1f（0）x+ x2；（1）求 f（x）的解析式及单调区间；（2）若 ，求（a+1）b 的最大值【分析】 （1）对函数 f（x ）求导，再令自变量为 1，求出 f（1 ）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2）由题意 ，借助导数求出新函数的最小值，令其大于 0 即可得到参数 a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b 的最大值【解答】解：（1）令 x=1 得：f（0）=1 令 x=0，得 f（0）=f（1）e 1=1 解得 f（1）=e故函数的解析式为24令 g（ x）=f（x）=e x1+xg（x）=e x+10，由此知 y=
35、g（x）在 xR 上单调递增当 x0 时，f（x ）f（ 0）=0；当 x0 时，有f（x ）f（0）=0 得：函数 的单调递增区间为（0，+ ） ，单调递减区间为（，0）（2） 得 h（x ）=e x（a+1）当 a+10 时，h （x）0 y=h（x ）在 xR 上单调递增，x时，h（x）与 h（x）0 矛盾当 a+10 时，h （x）0xln（a+1 ） ，h（x）0xln （a+1）得：当 x=ln（ a+1）时，h （x ） min=（a+1） （a+1） ln（a+1）b0，即（a +1）（a +1）ln（a+1）b（a +1）b （a+1 ） 2（a+1） 2ln（a+1） ，
36、（a+10）令 F（x）=x 2x2lnx（x0） ，则 F（x）=x（12lnx）当 时，即当 时， （a+1）b 的最大值为四、请考生在第 22，23，24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号22 （10 分） （2012新课标）如图，D ，E 分别为ABC 边 AB，AC 的中点，直线 DE 交ABC 的外接圆于 F，G 两点，若 CFAB，证明：（1）CD=BC；（2）BCDGBD25【分析】 （1）根据 D，E 分别为ABC 边 AB，AC 的中点，可得 DEBC ，证明四边形 ADCF 是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得B
37、CDGBD【解答】证明：（1）D，E 分别为ABC 边 AB，AC 的中点DFBC，AD=DBABCF， 四边形 BDFC 是平行四边形CF BD，CF=BDCF AD，CF=AD四边形 ADCF 是平行四边形AF=CD ，BC=AF，CD=BC （2）由（1）知 ，所以 所以BGD=DBC因为 GFBC，所以BDG= ADF= DBC= BDC所以BCDGBD23 （2012新课标）选修 44；坐标系与参数方程26已知曲线 C1 的参数方程是 （ 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 C2 的坐标系方程是 =2，正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上，且 A，B
38、 ，C，D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为（2， ） （1）求点 A，B，C ，D 的直角坐标；（2）设 P 为 C1 上任意一点，求 |PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围【分析】 （1）确定点 A，B ，C，D 的极坐标，即可得点 A，B，C ，D 的直角坐标；（2）利用参数方程设出 P 的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围【解答】解：（1）点 A，B ，C，D 的极坐标为点 A，B，C，D 的直角坐标为（2）设 P（x 0，y 0） ，则 为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4
39、y2+16=32+20sin2sin 20，1t 32，5224 （2012新课标）已知函数 f（x）= |x+a|+|x2|（1）当 a=3 时，求不等式 f（x ）3 的解集；（2）若 f（x）|x4|的解集包含 1，2，求 a 的取值范围【分析】 （1）不等式等价于 ，或 ，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求27（2）原命题等价于2x a2 x 在1，2上恒成立，由此求得求 a 的取值范围【解答】解：（1）当 a=3 时，f（x ）3 即|x 3|+|x2|3，即，或 ，或 解可得 x1，解可得 x，解可得 x4把、的解集取并集可得不等式的解集为 x|x1 或 x4（2）原命题即 f（x）| x4|在1，2上恒成立，等价于|x+a|+2x4x 在1，2上恒成立，等价于|x+a|2，等价于 2x +a2， 2xa2x 在1，2上恒成立故当 1x2 时，2x 的最大值为2 1=3，2x 的最小值为 0，故 a 的取值范围为3，0
