1、,第二章,第二章 极限与连续,2.1 数列的极限,二 、数列极限的定义,一、数列的定义,一、数列的定义,称为数列，,记为,其中 称为数列的通项或一般项；,正整数n称为 的下标。,定义2.1:无穷多个按一定顺序排列的一列数：,第二章,1)我们所研究的数列均为无穷数列.,2)对于给定的数列,由于其各项的取值由其下标所唯一确定,故数列可以看作是定义在正整数集上的函数,称为下标函数或整标函数,记作,说明：,一、数列的定义,称为数列，,记为,其中 称为数列的通项或一般项；,正整数n称为 的下标。,例如：,定义2.1:无穷多个按一定顺序排列的一列数：,第二章,（圆的面积）,正六边形的面积,正十二边形的面积
2、,正 边形的面积, , ,当 n 无限增大时,无限逼近 S (刘徽割圆术) .,(1)、割圆术：,数列极限概念的引入,第二章,(2)、截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”, ,这是极限思想在几何学中的运用。这样的极限方法为微积分学中的一种基本方法。, ,第二章,二、数列极限定义,若数列,及常数 a 有下列关系 :,则称a为数列 的极限，,或称数列 收敛于a .,或,记作,如果数列 有极限，,则称 是收敛的，,否则称,是发散的。,例如:,第二章,因此，对于简单情形，数列的极限可通过观察得出。,有时对 适当的变形，就可观察出数列的极限。,解:,(根式有理化法),数列极限四则运算法则：,第二章,注意：2, 3可推广到有限项!,例2,求下列数列极限：,解,第二章,(3) 由于,因此,(4) 由于,因此,分析：式中每一项的极限都是0，但由于项数随n的增 大而不断增加，故不是有限项，不能直接应用四则运 算法则。,（5）,第二章,性质2.1,性质2.2,性质2.3,第二章,两边夹准则,第二章,解:,第二章,常用收敛数列:,第二章,作业：P90，3,
