1、0立体几何之外接球问题练习（一）一选择题（共 13 小题）1 （2014广西）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为（ ）AB16 C9 D2 （2014湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A1 B2 C3 D43 （2013辽宁）已知三棱柱 ABCA1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB=3，AC=4，ABAC，AA 1=12，则球 O 的半径为（ ）ABCD4 （2012黑龙江）已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 1 的正三
2、角形，SC 为球 O的直径，且 SC=2，则此棱锥的体积为（ ）ABCD5 （2011重庆）高为 的四棱锥 SABCD 的底面是边长为 1 的正方形，点 S，A ，B ，C，D 均在半径为 1 的同一球面上，则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为（ ）ABCD6 （2010宁夏）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）Aa2 BCD5a27 （2008湖南） （文）长方体 ABCDA1B1C1D1 的 8 个顶点在同一个球面上，且 AB=2，AD= ，AA 1=1，则顶点A、B 间的球面距离是（ ）1ABCD28 （2007海南）已知三棱
3、锥 SABC 的各顶点都在一个半径为 r 的球面上，球心 O 在 AB 上，SO底面 ABC，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）A B2 C3 D49 （2007安徽）半径为 1 的球面上的四点 A，B，C ，D 是正四面体的顶点，则 A 与 B 两点间的球面距离为（ ）A arccos（ ）B arccos（ ）Carccos（ ） Darccos（ ）10 （2006山东）正方体的内切球与其外接球的体积之比为（ ）A1： B1：3 C1：3 D1：911 （2006山东）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB=2DC=2，DAB=60 ，E 为 AB 的中点，将 ADE 与 BEC 分别沿
4、ED、EC 向上折起，使 A、B 重合于点 P，则 PDCE 三棱锥的外接球的体积为（ ）ABCD12 （2006江西）如图，在四面体 ABCD 中，截面 AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心 O，且与 BC，DC 分别截于 E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥 ABEFD 与三棱锥 AEFC 的表面积分别是 S1，S 2，则必有（ ）2A S1S 2 B S1S 2C S1=S2 D S1，S 2 的大小关系不能确定13 （2004黑龙江）已知球 O 的半径为 1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为 ，则球心 O到平面 ABC 的距离为
5、（ ）ABCD二填空题（共 6 小题）14 （2014乌鲁木齐二模）直三棱柱 ABCA1B1C1 的各顶点都在同一球面上，若 AB=AC=AA1=2， BAC=120，则此球的表面积等于 _ 15 （2012辽宁）已知正三棱锥 PABC，点 P，A ，B ，C 都在半径为 的球面上，若 PA，PB，PC 两两垂直，则球心到截面 ABC 的距离为 _ 16 （2009湖南）在半径为 13 的球面上有 A，B，C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面 ABC 的距离为 _ ；（2）过 A，B 两点的大圆面与平面 ABC 所成二面角为（锐角）的正切值为 _ 17 （2008安徽）
6、已知 A，B，C ，D 在同一个球面上，AB平面 BCD，BCCD，若 AB=6， ，AD=8，则 B，C 两点间的球面距离是 _ 318 （2006辽宁）如图，半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 PABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是 _ 19如图，半径为 4 的球 O 中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 _ 4立体几何之外接球问题练习（一）参考答案与试题解析一选择题（共 13 小题）1 （2014广西）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为（ ）AB16 C9 D考点： 球内接多面体；球的体积和表面积菁优网版权
7、所有专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 正四棱锥 PABCD 的外接球的球心在它的高 PO1 上，记为 O，求出 PO1，OO 1，解出球的半径，求出球的表面积解答： 解：设球的半径为 R，则棱锥的高为 4，底面边长为 2，R2=（4R） 2+（ ） 2，R= ，球的表面积为 4（ ） 2= 故选：A点评： 本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题52 （2014湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A1 B2 C3 D4考点： 球内接多面体；由三视图求面积、体积；球的体积和表面积菁优网版权所有专题
8、： 计算题；空间位置关系与距离分析： 由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径 r解答： 解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径 r，则8r+6r= ，r=2故选：B点评： 本题考查三视图，考查几何体的内切圆，考查学生的计算能力，属于基础题3 （2013辽宁）已知三棱柱 ABCA1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB=3，AC=4，ABAC，AA 1=12，则球 O 的半径为（ ）6ABCD考点： 球内接多面体；点、线、面间的距离计算菁优网版权所有专题： 空间位置关系与距离分析： 通过球的内接体，说明几何体
9、的侧面对角线是球的直径，求出球的半径解答： 解：因为三棱柱 ABCA1B1C1 的 6 个顶点都在球O 的球面上，若AB=3，AC=4，AB AC，AA 1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面 B1BCC1，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，因为AB=3，AC=4，BC=5，BC 1= ，所以球的半径为： 故选 C点评： 本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力4 （2012黑龙江）已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O的直径，且 SC=2，则此棱锥的体积为（ ）7ABCD考点： 球内接
10、多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 先确定点 S 到面 ABC 的距离，再求棱锥的体积即可解答： 解：ABC 是边长为 1 的正三角形，ABC 的外接圆的半径点 O 到面 ABC 的距离 ，SC 为球 O 的直径点 S 到面 ABC 的距离为棱锥的体积为故选 A8点评： 本题考查棱锥的体积，考查球内角多面体，解题的关键是确定点 S 到面 ABC 的距离5 （2011重庆）高为 的四棱锥 SABCD 的底面是边长为 1 的正方形，点 S，A ，B ，C，D 均在半径为 1 的同一球面上，则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为（ ）ABCD考点： 球内接多面
11、体；点、线、面间的距离计算菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： 由题意可知 ABCD 是小圆，对角线长为 ，四棱锥的高为 ，推出高就是四棱锥的一条侧棱，最长的侧棱就是球的直径，然后利用勾股定理求出底面ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离9解答： 解：由题意可知 ABCD 是小圆，对角线长为 ，四棱锥的高为 ，点 S，A，B ，C，D 均在半径为1 的同一球面上，球的直径为 2，所以四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径，所以底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为：=故选 A点评： 本题是基础题，考查球的内接多面体的知识，能够正确推出四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个
12、顶点，最长的侧棱就是直径是本题的关键，考查逻辑推理能力，计算能力6 （2010宁夏）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）Aa2 BCD5a2考点： 球内接多面体菁优网版权所有专题： 计算题分析： 由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积10解答： 解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为 a 的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积为 ，故选 B点评： 本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力7 （2008湖南） （文）长方体 ABCDA1
13、B1C1D1 的 8 个顶点在同一个球面上，且 AB=2，AD= ，AA 1=1，则顶点A、B 间的球面距离是（ ）ABCD2考点： 球内接多面体菁优网版权所有专题： 计算题；综合题；压轴题11分析： 先求长方体的对角线，就是球的直径，再求 AB 的球心角，然后求 A、B 间的球面距离解答： 解： ， ，设 BD1AC1=O，则 ， ，故选 B点评： 本题考查球的内接体问题，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题8 （2007海南）已知三棱锥 SABC 的各顶点都在一个半径为 r 的球面上，球心 O 在 AB 上，SO底面 ABC，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）A B2 C3 D4考
14、点： 球内接多面体菁优网版权所有专题： 作图题；综合题；压轴题分析： 求出三棱锥的体积，再求出球的体积即可12解答： 解：如图，AB=2r， ACB=90，BC= ，V 三棱锥 =，V 球 =，V 球 ： V 三棱锥 = 点评： 本题考查球的内接体的体积和球的体积的计算问题，是基础题9 （2007安徽）半径为 1 的球面上的四点 A，B，C ，D 是正四面体的顶点，则 A 与 B 两点间的球面距离为（ ）A arccos（ ）B arccos（ ）Carccos（ ） Darccos（ ）考点： 球内接多面体；弧长公式菁优网版权所有专题： 计算题分析： 由题意求出正四面体的棱长，利用余弦定理求
15、出AOB，然后求出 A 与 B 两点间的球面距离解答： 解：半径为 1 的球面上的四点 A，B，C，D 是正四面体的顶点，所以正四面体扩展为正方体的外接球与圆柱球相同，正方体的对角线就是外接球的直径，所以正四面体的棱长为：；13A 与 B 两点间的球面距离为：1arccos（ ）=arccos（ ）故选 C点评： 本题是基础题，考查正四面体的外接球的知识，考查空间想象能力，计算能力，球面距离的求法，是常考题型10 （2006山东）正方体的内切球与其外接球的体积之比为（ ）A1： B1：3 C1：3 D1：9考点： 球内接多面体；球的体积和表面积菁优网版权所有专题： 计算题分析： 设出正方体的棱
16、长，分别求出正方体的内切球与其外接球的半径，然后求出体积比解答： 解：设正方体的棱长为 a，则它的内切球的半径为，它的外接球的半径为 ，故所求的比为 1：3 ，选 C点评： 本题考查正方体的内切球和外接球的体积，是基础题11 （2006山东）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB=2DC=2，DAB=60 ，E 为 AB 的中点，将 ADE 与 BEC 分别沿 ED、EC 向上折起，使 A、B 重合于点 P，则 PDCE 三棱锥的外接球的体积为（ ）14ABCD考点： 球内接多面体；球的体积和表面积菁优网版权所有专题： 计算题；综合题；压轴题分析： 判定三棱锥的形状，然后求出它的外接球的半径，再
17、求体积解答： 解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为 ，外接球的体积为，故选 C点评： 本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题12 （2006江西）如图，在四面体 ABCD 中，截面 AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心 O，且与 BC，DC 分别截于 E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥 ABEFD 与三棱锥 AEFC 的表面积分别是 S1，S 2，则必有（ ）15AS1S 2 BS1S 2CS1=S2 DS1，S 2 的大小关系不能确定考点： 球内接多面体菁优网版权所有专题： 计算题；综合题；压轴题分析： 比
18、较表面积的大小，可以通过体积进行转化比较；也可以先求表面积，然后比较解答： 解：连 OA、OB、OC、OD，则 VABEFD=VOABD+VOABE+VOBEFD+VOAFDVAEFC=VOAFC+VOAEC+VOEFC又 VABEFD=VAEFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，又面AEF 公共，故 SABD+SABE+SBEFD+SADF=SAFC+SAEC+SEFC故选 C点评： 本题考查球的内接体的表面积问题，找出表面积的共有特征是解题简化的关键，是中档题13 （2004黑龙江）已知球 O 的半径为 1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为 ，则球心 O到
19、平面 ABC 的距离为（ ）ABCD考点： 球内接多面体；点、线、面间的距离计算菁优网版权所有专题： 计算题；作图题；综合题16分析： 先确定内接体的形状，确定球心与平面 ABC 的关系，然后求解距离解答： 解：显然 OA、OB、OC 两两垂直，如图，设 O1 为 ABC 所在平面截球所得圆的圆心，OA=OB=OC=1，且 OAOBOC，AB=BC=CA= O1 为ABC 的中心O 1A= 由 OO12+O1A2=OA2，可得 OO1= 故选 B点评： 本题考查球的内接体问题，球心与平面的距离关系，考查空间想象能力，是中档题二填空题（共 6 小题）14 （2014乌鲁木齐二模）直三棱柱 ABC
20、A1B1C1 的各顶点都在同一球面上，若 AB=AC=AA1=2， BAC=120，则此球的表面积等于 20 考点： 球内接多面体菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： 通过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O，球心为 O，在 RTOBO中，求出球的半径，然后求出球的表面积17解答： 解：在ABC 中 AB=AC=2， BAC=120，可得 ，由正弦定理，可得ABC 外接圆半径 r=2，设此圆圆心为 O，球心为 O，在 RTOBO中，易得球半径 ，故此球的表面积为 4R2=20故答案为：20点评： 本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是
21、三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力15 （2012辽宁）已知正三棱锥 PABC，点 P，A ，B ，C 都在半径为 的球面上，若 PA，PB，PC 两两垂直，则球心到截面 ABC 的距离为 考点： 球内接多面体菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： 先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算18解答： 解： 正三棱锥 PABC，PA， PB，PC 两两垂直，此正三棱锥的外接球即以 PA，PB，PC 为三边的正方体的外接圆 O，圆 O 的半径为 ，正方体的边长为 2，即
22、PA=PB=PC=2球心到截面 ABC 的距离即正方体中心到截面 ABC的距离设 P 到截面 ABC 的距离为 h，则正三棱锥 PABC的体积 V= SABCh= SPABPC= 222=2ABC 为边长为 2 的正三角形，S ABC= h= =正方体中心 O 到截面 ABC 的距离为 =故答案为 点评： 本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题16 （2009湖南）在半径为 13 的球面上有 A，B，C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面 ABC 的距离为 12 ；（2）过
23、A，B 两点的大圆面与平面 ABC 所成二面角为（锐角）的正切值为 3 考点： 球内接多面体菁优网版权所有19专题： 计算题；压轴题分析： （1）由题意说明ABC 是直角三角形，平面 ABC是小圆，圆心在 AC 的中点，利用勾股定理直接求出球心到平面 ABC 的距离（2）如图作出过 A，B 两点的大圆面与平面 ABC所成二面角，直接求出它的正切值即可解答： 解：（1）AB=6 ，BC=8 ，CA=10，ABC 是直角三角形，平面 ABC 是小圆，圆心在 AC 的中点D，AO=13， AD=5，球心到圆心的距离就是球心到平面 ABC 的距离，即：OD=12（2）过 D 作 DE 垂直 AB 于
24、E，连接 OE 则 OED就是过 A，B 两点的大圆面与平面 ABC 所成二面角易得 DE=4所以 tanOED= =3故答案为：（1）12；（2）3点评： 本题是基础题，考查球的截面问题，二面角的求法，考查空间想象能力，计算能力，能够正确作出图形是解好本题个前提，也是空间想象能力的具体体现17 （2008安徽）已知 A，B，C ，D 在同一个球面上，AB平面 BCD，BCCD，若 AB=6， ，AD=8，则 B，C 两点间的球面距离是 考点： 球内接多面体菁优网版权所有专题： 计算题；作图题；压轴题20分析： 先求 BC 的距离，求出 BOC 的值，然后求出B，C 两点间的球面距离解答： 解
25、：如图，易得 ， ，则此球内接长方体三条棱长为AB、BC 、CD（CD 的对边与 CD 等长） ，从而球外接圆的直径为，R=4则 BC 与球心构成的大圆如图，因为 OBC 为正三角形，则 B，C 两点间的球面距离是 故答案为： 点评： 本题考查球的内接体问题，考查空间想象能力，是基础题18 （2006辽宁）如图，半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 PABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是 21考点： 球内接多面体菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： 正六棱锥 PABCDEF 的底面的外接圆是球的一个大圆，求出正六边形的边长，求出侧面斜高，即可求出侧面积解答： 解：显然正六棱锥 PABCD
26、EF 的底面的外接圆是球的一个大圆，于是可求得底面边长为 2，又正六棱锥 PABCDEF 的高依题意可得为2，OM= ，斜高为：PM= 依此可求得正六棱锥的侧面积：S= =6故答案为 点评： 本题是基础题，考查空间想象能力，计算能力，能够得到底面是大圆，求出斜高，本题即可解决，强化几何体的研究，是解好立体几何问题的关键19如图，半径为 4 的球 O 中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 32 22考点： 球内接多面体菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： 设出圆柱的上底面半径为 r，球的半径与上底面夹角为 ，求出圆柱的侧面积表达式，求出最大值，计算球的表面积，即可得到两者的差值解答： 解：设圆柱的上底面半径为 r，球的半径与上底面夹角为 ，则 r=4cos，圆柱的高为 8sin，圆柱的侧面积为：32sin2，当且仅当 = 时，sin2=1，圆柱的侧面积最大，圆柱的侧面积为：32，球的表面积为：64，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是：32故答案为：32点评： 本题是基础题，考查球的内接圆柱的知识，球的表面积，圆柱的侧面积的最大值的求法，考查计算能力，常考题型
