1、“三角线中线的应用”课例【摘要】：几何是大多数学生感到很难学的内容之一.而要提高几何的解题能力，除了多做题，积累解题的经验外，总结方法、找出规律也是很重要的一方面.学生在学习了三角形之后，充分利用三角形中特殊的线段比如中线、高、角平分线等，围绕这些条件来展开思考，作辅助线，掌握相关规律，提高解题能力.【关键词】：教材学情分析 目标 重难点 过程 反思【正文】：教材学情分析：学生在学习了三角形、平行四边形之后，掌握了全等三角形、平行四边形及特殊的平行四边形的相关性质和判定，可以证明简单的线段相等和角相等以及相关的方法.但对较复杂的几何证明题，大多数的学生还是显得力不从心.有些学生因此还产生困惑：
2、定义、性质、定理都会背，就是不会做题，一遇到稍复杂的几何题就无从下手.通过深入了解发现，有很多同学对于几何证明题中许多辅助线的作法及相关规律没有掌握，不能灵活应用.其实在几何中，一些特殊的线或线段，就能给我们提示思考方法和解题思路，掌握这些特殊线或线段的应用，对于我们提高解题能力、总结解题方法、解决实际问题都有很大帮助.“三角形中线的应用”就是巧妙利用三角形中线（有时候是中点）的性质和特点，归纳总结与三角形中线有关题型的解题方法.教学目标：知识与技能：理解三角形中线的定义、性质.过程与方法：让学生在解题过程中掌握三角形中线的应用规律，归纳几何解题的技巧.情感态度与价值观：学生在合作交流中，培养
3、有条理的思维方法，积累数学活动经验，体验用中线的相关性质解决问题后的成功感.教学重难点：重点：应用三角形中线相关性质解题.难点：结合不同条件，在具体题目中应用中线、中点的特点作辅助线.教学设计思想：三角形的中线，很可能大多数学生只知道中线把对边分成两条相等的线段，可能还有部分学生会想到中线分三角形为两个面积相等的三角形.本节课是想让学生通过具体的问题，归纳在特殊的三角形中的中线的特点及其应用.有些题目有些难度，在课前把学案发给学生，让他们通过预习探究先解决简单的问题，不能解决的问题在课堂上通过老师的点拨和几何画板的演示，让学生找出解决问题的思路和方法，最后进行总结归纳. 教学过程：复习引入：已
4、知ABC 中， AD 是中线，你能得到哪些结论？老师：根据图形说你能得到哪些结论，说得越多越好.学生：1、线段 BD=线段 CD2、ABD 与ACD 的面积相等.以上两条是学生最容易想到的，其实在特殊三角形中，DAB C图三角形的中线还有很多特殊的性质，看来还是要通过具体的问题，让学生在解决实际问题的过程中去归纳总结.应用精选：、一根长为 a 的木棍 AB 斜靠在墙上，设木棍的中点为 P，当木棍 A 端下滑时：（）点 P 到点 O 的距离是否变化，为什么？（）当木棍滑到什么位置时，ABC 的面积最大？先让学生独立思考，第一问难度不大，主要是想让学生归纳：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一
5、半.在特殊的三角形中，中线还有更特殊的性质.学生一：点 P 到点 O 的距离不变，根据是在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半.第二问有一定的难度，通过几何画板演示，当线段 AB 在滑动的过程中，AOB 的面积变化情况.同进提醒同学们注意，在线段 AB 滑动过程中，线段 AB 是不会变化的，把它当三角形的底边，观察 AB 边上高 OC 的变化情况.学生二：当 OC 与中线 OP 重合时，即 AB 与墙面成 450 时，三角形的面积最大.点评： 本题主要是想让学生注意在直角三角形中，斜边上的中线的特殊性.、在 RtABC 中，AB =AC，BAC=90，O 为 BC 的中点，M、N 是 AB、
6、AC 上的动点，且 AN=BM.判断OMN 的形状，并证明你的结论 .通过前一题应该有启发：有斜边上的中点，联想到斜边上的中线.所以辅助线问题应该是能够解决.学生一：OMN 是等腰三角形 .因为有斜边上的中点，连接 AO，就可以证明AON 与 BOM 全等，从而得到 OM=ON.学生二：还可以证明MON =900，从而证明OMN 是等腰直角三角形.点评：学生通过上题可能掌握了直角三角形中斜边上的中线性质，但在等腰直角三角形中，斜边上的中线还有“三线合一”的性质.、在 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于 O 点，且 BD=2AB，E 、 F 分别是 OA、BC 的中点.（）求证：EF= B
7、F（）如果 AC=BD，G 是 BD 上的一点，且 BD：GD=4 ：1，试判断四边形 EBFG 的形状，并说明理由.老师：本题要充分利用平行四边形的性质，再结合E、F 是中点这一条件，在相关三角形中就会有中线，再利用三角形中线的性质来解决问题.学生分析思路：学生一：平行四边形的对角线互相平分，所以 OB=OD，且 BD=2AB，得到 AB=OB，那么 BE 为等腰ABO 的底边上的中线，所以 BEAO，进一步CPBOAB图 2OMCA BN图 3FEOCBA D图 4得到BEC 为直角三角形，EF 为斜边 BC 上的中线，从而得到：EF=BF学生二：在平行四边形基础上，AC =BD，所以四边
8、形 ABCD 是距形.又因为 BD： GD=4：1，可以得到 G点为 OD 的中点，那么 EG 为AOD 的中位线，结合第一问的结论，可以得到四边形 EBFG 是菱形.点评： 本题是想充分利用等腰三角形底边上的中线的性质，得到垂直.同时也提醒学生注意，当在一个三角形中有两边的中点时，就要想到三角形的中位线性质.、已知 AD 为ABC 的中线，求证： AB+AC2AD.老师：通过此题的辅助线的作法，归纳思路.就是利用中线的特点构造全等三角形.学生：延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 CE，得到ABD 全等于ECD，把 AB 转化到ACE 中来，再利用三角形三边之间的关系可以得到：AB+AC
9、 2AD老师：题中的辅助线也可以通过过 C 点作 AB 的平行线与 AD 的延长线相交得到 .探究：菱形 ABCD 中，A=110，E 、 F 分别是 AB、 BC 的中点，EHCD，求FHC 的度数 .本题有一定的难度，根据学生探究情况，适当提示，连接 EF 并延长，与 DC 的延长线相交于 G 点.再观察有没有全等三角形.学生： 连接 EF 并延长，与 DC 的延长线相交于点G，即可证明 EF=GF，而 EHCD，所以在 RtEHG中，HF 为斜边上的中线，FH=FG，从而把FHC 转化到G 上来.再利用菱形的相关性质，得到 B=70 0， BEF=BFE=55 0 ，所以 G=550 ，
10、FHC=55 0老师：本题作辅助线的基本思想是把中线延长一倍，寻找全等三角形.但在实际操作过程中，可能是通过延长来达到这个目的.所以要灵活掌握，活学活用.以上几个例题都是充分利用三角形的中线的性质，特别是等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形中线的特点，掌握相关作辅助线的作法，达到化难为易的目的.、已知 AD 是ABC 的中线，BE 是ABD 的中线.ABC 的面积等于 20，BD=，求 点到 BC 的距离.（本题难度不大，学生应该能够解决 .）学生：因为 AD 是ABC 的中线，所以ABD 的面积等于 10，又 BE 是ABD 的中线，BDE 的面积等于 5，且 BD=5，所以图中 BD 边
11、上的高 h=2.而 E 点到 BC 的距离即为 h 的长度.点评： 本题即是利用三角形的中线把三角形的分成两个面积相等的三角形，原理是等底等高.FE OCBA D图 5EDAB C图 6HGFEA DCB图 7hEDAB C图 8、已知 O 点是ABC 的重心.AOCO，且 AO=3，CO=4，求 BO 的长.老师：根据重心的定义及性质来思考.学生： 因三角形的重心是三角形三条中线的交点，所以延长 BO 与 AC 边的交点 D 就是 AC 边的中点.且AOCO，OD 就是直角三角形斜边上的中线，所以OD= AC= .根据重心的性质，OB=2OD，所以125BO=5.点评： 本题利用重心的定义及
12、性质，结合直角三角形斜边上的中线的特点来解题.难度并不大.主要是培养学生逆向思维的方法，学生都知道三角形三条中线相交一点，这点叫重心，如果先知道重心，那么延长 BO 与 AC 边的交点就应当是 AC 边的中点，培养学生逆向思维的方法.（延长 BO 与AC 的交点就是 AC 边的中点）归纳小结：复习引入时的提问，学生当时归纳三角形中线的特点肯定有不完整的地方，现在通过解决以上的题目，基本上能完整归纳出三角形中线的特点.特别是等腰三角形底边上的中线、直角三角形斜边上的中线以及等腰直角三角形斜边上中线的性质，在以上题目中有较多的应用.具体为：1、线段 BD=线段 CD2、ABD 与ACD 的面积相等
13、.3、等腰三角形中底边的中线垂直于底边（三线合一）.4、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半.5、等腰直角三角形斜边上的中线分原直角三角形为两个等腰直角三角形.6、重心的应用.课后反思：本节课是想通精选例题，集中了三角形中线的应用，让学生掌握中线在解题中的一些技巧.在复习引入时让学生回答由三角形中线得到哪些结论时，一般学生都只能得到中线平分某一边，或是中线分三角形得到两个面积相等的三角形.这时老师不必先补充还有哪些性质，可通过解决精选例题逐步来回答这些问题.本节课精选的例题要想在一节课内完成有一定的困难，必须让学生在课前通过小组合作学习分析前三题的解题思路，在课堂上再通过学生发言、老师点拨，进一步完善前三题的解题过程.第 4 题后的探究题有一定的难度，通过对比第 4 题的辅助线的作法，实际上课时也还学生提出另外的辅助线的作法，即延长 HF 与 EB 的延长线相交于点G，如右图. 并让一名学生上台展示完整的解题过程 .通过本节课学生对三角形中线应用的探究，能够形成一定的技能，提高了解题的能力，加深了对三角形中线的认识，达到了教学目标.宜都市西湖中学 黄 勇O DAB C图 9DAB C图GHFEDAB C图 10
