1、1 2利用基本不等式求最值的类型及方法一、几个重要的基本不等式： 当且仅当 a = b 时，“=”号成立；，、 )(222 Rbaabba 当且仅当 a = b 时，“=”号成立；，、 )( 当且仅当 a = b = c 时,“=”号成立；，、 )(333 Rcbaabccba ,当且仅当 a = b = c 时,“=” 号成立.)(3 、注： 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“ 等”； 熟悉一个重要的不等式链： 。ba122ab2二、函数 图象及性质()(0)bfxa、(1)函数 图象如图：f、(2)函数 性质：0)(baxf、值域： ；),2,单调递增区间： ， ；
2、单调递减区间： ， .(,ba, (0,ba,0)三、用均值不等式求最值的常见类型类型：求几个正数和的最小值。例 1、求函数 的最小值。21()yxx解析： 21()yxx21()()x211()2()xx，32(1)x35当且仅当 即 时，“= ”号成立，故此函数最小值是 。2()2x52评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。类型：求几个正数积的最大值。例 2、求下列函数的最大值： 23(3)0)2yxx2sinco(0)2yx解析： ，, ，2()(32)yxxx3()1x当且仅当 即 时，
3、“ =”号成立，故此函数最大值是 1。31 ，则 ，欲求 y 的最大值，可先求 的最大0,sin0,cos 0y2y值。,242sincoyx2sisx221(insco)xx 2231sincos4()7x 当且仅当 ，即 时 “=”号成立，22ico0)tatar故此函数最大值是 。39评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。类型：用均值不等式求最值等号不成立。例 3、若 x、y ，求 的最小值。R4()fx)10(x解法一：（单调性法）由函数 图象及性质知，当 时，函数ba、 (
4、0,1x是减函数。证明：任取 且 ，则4()fx1,(,x120xxab2aboy3 4，1212124()()()fxfxx2112()4x 124()x ， ，则 ，12012120,1212()0()()ffff即 在 上是减函数。故当 时， 在 上有最小值4()fx(,x4fx,5。解法二：（配方法）因 ，则有 ，01x4()fx2()易知当 时， 且单调递减，则 在 上也是减函数，01x2x2()4fx(0,1即 在 上是减函数，当 时， 在 上有最小值 5。4()f(0,1xf,解法三：（拆分法） ，)fx)(3(12x5当且仅当 时“=”号成立，故此函数最小值是 5。1评析：求解
5、此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。类型：条件最值问题。例 4、已知正数 x、y 满足 ，求 的最小值。81y2xy解法一：（利用均值不等式） ,816()0xyxy16028xy当且仅当 即 时“=” 号成立，故此函数最小值是 18。816xy2,3解法二：（消元法）由 得 ，由 ，则81xy8x0088xyx又。2xy2(8)16162(8)0xxx162(8)08x当且仅当 即 时“= ”号成立，故此函数最小值是 18。,3y此 时解法三：（三角换元法）令 则有28sin1coxy28sin1coxy则： 28sincoxyx22
6、2222se8(t)(ta)108cotanxxxx，易求得 时“=”号成立，故最小值是 18。210(t)(a)181,3y此 时评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法：。原因就是等号成立的条件不一致。82()28xyxyx类型：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。例 5、已知正数 满足 ，试求 、 的范围。、 3yx解法一：由 ，则 ，0,xyx2y即 解得 ，2()013yx(舍 )或当且仅当 即 时取“=” 号，故 的取值范围是 。3xy且 xy9,)又 ，23()2()4()0y2()6xxy舍 或当且仅当 即 时取“=” 号，故 的取值
7、范围是 。xy且 xy,)解法二：由 ， 知 ，0,3(1)3yyx1则： ，由 ，31yx0x则： ，22()5()4(1)51x 42(1)59x当且仅当 ，并求得 时取 “=”号，故 的取值范围是 。41(0)3xx即 3yy,)5 6，314441()2(1)26xyxxx当且仅当 ，并求得 时取 “=”号，故 的取值范围是 。41(0)即 3yy9,)评析：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧。四、均值不等式易错例析：例 1. 求函数 的最值。yx9错解： xx413623612365xx当且仅当 即 时取等号。所以当 时，y 的最小值为 25，此函数没
8、有最大值。36分析：上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等式求最值时的条件导致错误。因为函数 的定义域为 ，所以须对 的正负加以分类讨论。yx49， ，0x正解：1）当 时，x025361361xxy当且仅当 即 时取等号。所以当 时， ymin252）当 时， ， x0x360， xx3636112)(13y当且仅当 ，即 时取等号，所以当 时， .x6xx6ymax132例 2. 当 时，求 的最小值。0y492错解：因为 xxx622，所以当且仅当 即 时， 。49243yxmin2183分析：用均值不等式求“和” 或“ 积”的最值时，必须分别满足“ 积为定值”或“和为定值
9、”，而上述解法中 与 的积不是定值，导致错误。4x92正解：因为 yxxx04929329362，当且仅当 ，即 时等号成立，所以当 时， 。236ymin3例 3. 求 的最小值。yxR254()错解：因为 ，所以xxx222224141ymin2分析：忽视了取最小值时须 成立的条件，而此式化解得 ，无解，22 x23所以原函数 取不到最小值 。y正解：令 ，则txt24yt1()又因为 时， 是递增的。所以当 ，即 时， 。1tt2x0ymin52例 4.已知 且 ，求 的最小值.Ryx,yxyxu错解： , , 的最小值为 .44182xyu8分析：解题时两次运用均值不等式，但取等号条件
10、分别为 和 ，而这两个式子不能同yx41时成立，故取不到最小值 .8正解： 9455)41( xyyxu当且仅当 即 时等号成立. 的最小值为 .6,3u9综上所述，应用均值不等式求最值要注意：一要正：各项或各因式必须为正数；7 8二可定：必须满足“和为定值”或“ 积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值 ”的条件用这个定理，求最值就会出错；三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。技巧一：凑项例 1：已知 ，求函数 的最大值。54x1425yx解：因 ，所以首先要“调整”符号，又 不是常数，所以对 要进0 1(42)5xA42x行拆、
11、凑项， ， ，,50xx3yx1当且仅当 ，即 时，上式等号成立，故当 时， 。1541maxy技巧二：凑系数例 2. 当 时，求 的最大值。(82)yx解析：由 知， ，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，注意到 为定值，故只需将 凑上一个系数即可。2(8)x()yx当 ，即 x2 时取等号 当 x2 时， 的最大值为 8。(82)x技巧三： 分离例 3. 求 的值域。710()y解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。当 ,即 时, （当且仅当 x1 时取“”号）。421)59yx（技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，
12、令 t=x1，化简原式在分离求最值。22(1)7(+054=5ttty t）当 ,即 t= 时, （当 t=2 即 x1 时取“”号）。9yt技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数 的单调性。()afx例：求函数 的值域。254xy解：令 ，则24()xt254xy221(2)4tx因 ，但 解得 不在区间 ，故等号不成立，考虑单调性。10,ttt1t,因为 在区间 单调递增，所以在其子区间 为单调递增函数，故 。y,2,52y所以，所求函数的值域为 。5,2技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知 ，且 ，求 的
13、最小值。0,xy19xyxy解： ，,19106yx当且仅当 时，上式等号成立，又 ，可得 时， 。9yxxy4,2min16xy巩固练习：1、已知： 且 ，则 的最大值为( )bnma22,anm(A) (B) (C) (D)b2b2ba2、若 ，且 恒成立，则 a 的最小值是( )Ryxa, yxx(A) (B) (C)2 (D)123、已知下列不等式： ； ；)(3R,(3235 Rbab .其中正确的个数是( )1(2b(A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个4、设 ，则下列不等式中不成立的是( )Rba,(A) (B) (C) (D)4)( ab2221abab5、设 且 的最大值是( ), 24,1Sb(A) (B) (C) (D)12226、若实数 满足 ，则 的最小值是( )a, ba3(A)18 (B)6 (C) (D)2439 107、若正数 满足 ，则 的取值范围是 .ba,3baa8、若 ,且 ，则 的最小值为 .Ryx12yxyx
