1、1相遇和追及问题分析1.相遇和追及问题的实质:研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。2.画出物体运动的情景图，理清三大关系（1）时间关系： （2）位移关系：0ttBA（3）速度关系：两者速度相等。它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界0sBA条件，也是分析判断的切入点。3.两种典型追及问题 （1）速度大者（匀减速）追速度小者（匀速）v1a v2v1A B当 v1=v2时，A 末追上 B，则 A、B 永不相遇，此时两者间有最小距离；当 v1=v2时，A 恰好追上B，则 A、B 相遇一次，也是避免相撞刚好追上的临界条件；当 v1v2时，A 已追上 B，则 A、B 相遇
2、两次，且之后当两者速度相等时，两者间有最大距离。（2）同地出发，速度小者（初速度为零的匀加速）追速度大者（匀速） av2A Bv1=0当 v1=v2 时，A、B 距离最大；当两者位移相等时,有 v1=2v2且 A 追上 B。A 追上 B 所用的时间等于它们之间达到最大距离时间的两倍。4.相遇和追及问题的常用解题方法:画出两个物体运动示意图，分析两个物体的运动性质，找出临界状态，确定它们位移、时间、速度三大关系。 1)基本公式法根据运动学公式，把时间关系渗透到位移关系和速度关系中列式求解 2)图像法正确画出运动的 v-t 图像,根据图像的斜率、截距、面积的物理意义结合三大关系求解 3)相对运动法
3、巧妙选择参考系，简化运动过程、临界状态，根据运动学公式列式求解 4)数学方法根据运动学公式列出数学关系式（要有实际物理意义）利用二次函数的求根公式中 判别式求解。5.追及和相遇问题的求解步骤两个物体在同一直线上运动，往往涉及追及，相遇或避免碰撞等问题，解答此类问题的关键条件是：两物体能否同时达到空间某位置。基本思路是：分别对两物体进行研究；画出运动过程示意图；列出位移方程找出时间关系，速度关系 解出结果，必要时进行讨论。(1)追及问题：追和被追的两物体的速度相等（同向运动）是能否追上及两者距离有极值的临界条件。第一类：速度大者减速（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀减速直线运动） 当两者速度相
4、等时,追者位移追者位移仍小于被追者位移 ,则永远追不上,此时两者之间有最小距离。 若两者位移相等,且两者速度相等时,则恰能追上,也是两者避免碰撞的临界条件。 若两者位移相等时,追着速度仍大于被追者的速度,则被追者还有一次追上追者的机会,当速度相等时2两者之间距离有一个最大值。在具体求解时,可以利用速度相等这一条件求解, 也可以利用二次函数的知识求解，还可以利用图象等求解。第二类：速度小者加速（如初速度为零的匀加速直线运动）追速度大者（匀速直线运动） 。 当两者速度相等时有最大距离当两者位移相等时，则追上具体的求解方法与第一类相似，即利用速度相等进行分析还可利用二次函数图象和图象图象。(2)相遇
5、问题 同向运动的两物体追及即相遇相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时相遇6.分析追及，相遇问题时要注意(1)分析问题是，一个条件，两个关系。一个条件是：两物体速度相等时满足的临界条件，如两物体的距离是最大还是最小及是否恰好追上等。两个关系是：时间关系和位移关系。时间关系是指两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后等；而位移关系是指两物体同地运动还是一前一后等，其中通过画运动示意图找到两物体间的位移关系是解题的突破口，因此在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，对帮助我们理解题意，启迪思维大有好处。(2)若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意，追
6、上前该物体是否已停止运动。仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖出题目中的隐含条件，如“刚好” ， “恰巧” ，最多“， ”至少“等。往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。7.追及问题的六种常见情形(1)匀加速直线运动的物体追匀速直线运动的物体：这种情况定能追上，且只能相遇一次；两者之间在追上前有最大距离，其条件是 V 加 = V 匀(2)匀减速直线运动追匀速直线运动物体：当 V 减 = V 匀 时两者仍没到达同一位置，则不能追上；当 V 减 = V 匀 时两者正在同一位置，则恰能追上，也是两者避免相撞的临界条件；当两者到达同一位置且 V 减 V匀 时，则有两次相遇的机会。(3)匀速直
7、线运动追匀加速直线运动物体：当两者到达同一位置前，就有 V 加 = V 匀 ，则不能追上；当两者到大同位置时 V 加 = V 匀 ，则只能相遇一次；当两者到大同一位置时 V 加 V 匀 则有两次相遇的机会。(4)匀速直线运动物体追匀减速直线运动物体：此种情况一定能追上。(5)匀加速直线运动的物体追匀减速直线运动的物体：此种情况一定能追上。(6)匀减速直线运动物体追匀加速直线运动物体：当两者在到达同一位置前 V 减 = V 加 ，则不能追上；当V 减 = V 加 时两者恰到达同一位置，则只能相遇一次；当地一次相遇时 V 减 V 加 ，则有两次相遇机会。 （当然，追及问题还有其他形式，如匀加速追匀
8、加速，匀减速追匀减速等，请同学们独立思考） 。8.典型例题3例 1.A 火车以 v1=20m/s 速度匀速行驶,司机发现前方同轨道上相距 100m 处有另一列火车 B 正以v2=10m/s 速度匀速行驶，A 车立即做加速度大小为 a 的匀减速直线运动。要使两车不相撞,a 应满足什么条件？解 1：（公式法）两车恰好不相撞的条件是两车速度相同时相遇。由 A、B 速度关系： 由21vatA、B 位移关系： 021xtvatv 22021 /5.0/1)()( smsxva/5.0s解 2：（图像法）在同一个 v-t 图中画出 A 车和 B 车的速度时间图像图线，根据图像面积的物理意义，两车位移之差等
9、于图中梯形的面积与矩形面积的差，当 t=t0时梯形与矩形的面积之差最大,为图中阴影部分三角形的面积.根据题意,阴影部分三角形的面积不能超过 100.10)2(1tst25.21tan2/5.sma解 3：（相对运动法）以 B 车为参照物， A 车的初速度为 v0=10m/s，以加速度大小 a 减速，行驶x=100m 后“停下”，末速度为 vt=0。02xvt 2202 /5./1smsxat 备注：以 B 为参照物,公式中的各个量都应是相对于 B 的物理量.注意物理量的正负号。/5.sma解 4：（二次函数极值法）若两车不相撞，其位移关系应为 代入数据得：021xtvat其图像(抛物线)的顶点
10、纵坐标必为正值,故有 把012ta 4)(2/5.sma物理问题转化为根据二次函数的极值求解的数学问题。 例 2.一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以 3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以 6m/s 的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？ 解 1：（公式法）当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。设经时间 t 两车之间的距离最大。则自汽 vatvsavt236自 mmtxxm 62311 自汽自物体的 v-t 图像的斜率表示加速度,面积表示位移。 （由于不涉及时间，所以选用速度位移
11、公式。 ）4解 2：（图像法）在同一个 v-t 图中画出自行车和汽车的速度时间图像，根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当 t=t0时矩形与三角形的面积之差最大。 v-t 图像的斜率表示物体的加速度 3tan60st2当 t=2s 时两车的距离最大为图中阴影三角形的面积 动态分析随着时间的推mxm61移,矩形面积（自行车的位移）与三角形面积（汽车的位移）的差的变化规律.解 3：（相对运动法）选自行车为参照物，以汽车相对地面的运动方向为正方向，汽车相对自行车沿反方向做匀减速运动 v0=-6m/s，a=3m/s 2，两车相距最远时 vt=0 对汽车由公式 （由于不
12、涉及位移，所以选用速度公式）att savtt 23)6(0对汽车由公式 ： （由于不涉及“时间”，所以选用速度位移公式。 ）svt20表示汽车相对于自行车是向后运动的,其相对于自行车的位mavst 63)(20移为向后 6m.解 4：（二次函数极值法）设经过时间 t 汽车和自行车之间的距离 x，则，2261tattvx自 时当 s2)3(6mxm6)23(4思考：汽车经过多少时间能追上摩托车?此时汽车的速度是多大?汽车运动的位移又是多大？0236txsT4saTv/1汽 aT1汽例 3.一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的 AB 边重合，如图。已知盘与桌布间的动
13、摩擦因数为 1，盘与桌面间的动摩擦因数为 2。现突然以恒定加速度 a 将桌布抽离桌面，加速度方向是水平的且垂直于 AB 边。若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度 a 满足的条件是什么？(以 g 表示重力加速度) 解：设圆盘的质量为 m，桌长为 l，在桌布从圆盘上抽出的过程中，盘的加速度为 a1，有 桌布抽出后，盘在桌面上作匀减速运动，以 a2表示加速度的大小，有 设盘刚离11am 22mg开桌布时的速度为 v1，移动的距离为 x1，离开桌布后在桌面上再运动距离 x2后便停下，有 盘没有从桌面上掉下的条件是 12xv22a1l设桌布从盘下抽出所经历时间为 t，在这段时间内桌布移动的距离为 x，有 而
14、 由以上各式解得 ：2atx21t 12xlxga121例 4.一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以 a3 m/s2 的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以 v06 m/s 的速度匀速驶来，从后边超过汽车，试问：(1) 汽车从路口开动后，在追上自行车之前5经过多长时间两车相距最远？最远距离是多大？(2)当汽车与自行车距离最近时汽车的速度是多大？解析： 法一：用临界条件求解(1)当汽车的速度为 v6 m/s 时,二者相距最远，所用时间为 t 2 s,最va远距离为 s v0t at26 m.12(2)两车距离最近时有 v0t at2 解得 t4 s 汽车的速度为 vat 12 m/s.1
15、2法二:用图象法求解(1)汽车和自行车的 vt 图象如图所示，由图象可得 t2 s 时，二者相距最远最远距离等于图中阴影部分的面积，即 s 62 m6 m.12(2)两车距离最近时，即两个 vt 图线下方面积相等时，由图象得此时汽车的速度为 v12 m/s.法三:用数学方法求解(1)由题意知自行车与汽车的位移之差为 sv 0t at2 因二次项系数小于零，当 t 2 s12 v02( 12a)时有最大值，最大值 smv 0t at262 m 322 m6 m.12 12(2)当 sv 0t at20 时相遇得 t4 s，汽车的速度为 vat12 m/s.12分析追及、相遇问题的常用方法 1)物
16、理分析法：抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景 2)相对运动法：巧妙地选取参考系,然后找两物体的运动关系 3)极值法：设相遇时间为 t,根据条件列方程，得到关于 t 的一元二次方程，用判别式进行讨论,若 0，即有两个解，说明可以相遇两次；若 0，说明刚好追上或相遇；若 0,说明追不上或不能相碰 4)图象法：将两者的速度时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解. 一道“追及和相遇问题”试题的思考和引申A、B 两列火车在同一轨道上同向行驶，A 在前，速度为 vA10m/s，B 在后，速度为 vB30m/s ，因大雾能见
17、度低，B 车在距 A 车 500m 时，才发现前方有 A 车，这时 B 车立即刹车，但要经过 1800mB 车才能停下，问：(1) 车若要仍按原速前进，两车是否相撞？试说明理由。 (2)B 在刹车的同时发出信号，A 车司机在收到信号 1.5s 后加速前进，A 车加速度为多大时，才能避免事故发生？（不计信号从 A 传到 B 的时间）第一问的解法如下：解：先求 B 车从刹车到停下来所需时间 tB 由 sB = vBtB 得 t B= =2 s=120s21vs23018再求在相同的时间内 A 车通过的位移 sA, sA=vAtB=10120m=1200m最后比较 sA+s0 和 sB 的大小关系即
18、可判断结果 .由于 sA+s0=(1200+500)m=1700m 故 sA+s0s B 由位置关ls0 sAsB6系图可知两车会相撞。提问 1：通过上面的计算我们知道两车能相撞，试问它们何时相撞？解：设 B 车刹车后经过时间 t 两车相遇，依题意有 sA+s0=sB 而 sA=vAt，s B=vBt+ at2（其中 a 为 B1车刹车过程中的加速度，根据已知条件很易求出 a-0.25m/s 2） ，将 sA、s B 的表达式代入上式解得 t1=31s， t2=129s提问 2：为什么有两个解？t 2 是否有意义？答：A、B 两车相撞两次，第一次是 B 车追上 A 车，第二次是 A 车追上 B
19、 车。两车只能相撞一次，故 t2 没有意义。提问 3：B 车追上 A 车时，哪车的速度大？答：B 车的速度大， 因为 B 车从减速到和 A 车的速度相等所需的时间为：t= = s=80s，因avBA25031.为 t t1，故 B 车的速度大。提问 4：若 A、B 两车相遇但不会相撞，A 车又追上 B 车时，B 车的速度是多大？从 B 车开始减速到两车第二次相遇共需多少时间？答：由于 B 车刹车后经过 120s 后就停下来，故 129s 时它的速度仍为零。由于 B 车停止后不能往后倒，故第二次相遇所需时间为：t2= = s=130s。这是一个实际问题，要注意解的合理性。vAs01508提问 5
20、：若开始两车相距 700m，试问两车是否会相撞？答：由于 sA+s0=1200+700m=1900m，而 sB=1800m，即 sA+s0s B，故两车不会相撞。提问 6：若用第二种方法，即设 B 刹车后经过时间 t 两车相撞，方程是否有解呢？答：由 sA+s0=sB 得 vAt+ s0=vBt+ at2 即 10t+700=30t-0.125t2 移项并整理得 t2-160t+5600=0 该方程1的判别式为=160 2-45600=32000，故该方程有解，即相撞，并且有相遇两次的可能。原来先是 B 超过 A，后来 A 又超过 B，我们不能认为开始时 A 在 B 的前面，后来 A 仍在 B
21、 的前面，就得出两车不相撞的结论。由此可见用简单的位移关系是得不出正确结果的。提问 7：试问：若要使两车不相撞，开始时两车间的距离 s0 至少为多少？解：设两车经过时间 t 后相撞，由位置关系易得出： vAt+ s0=vBt + at2 即 10t+s0=30t-0.125t2 移项并1整理得 t2-160t+8s0=0 要使两车不相撞，即要使该方程无解，即即 160 2-48s00 故 s0800m，即开始时两车间的距离至少为 800m。提问 8：若两车刚好能相撞，相撞时两车的速度有何关系？答：应该刚好相等，刚开始时 B 车的速度比 A 车的速度大，两车之间的距离减小，当两车的速度达到相等时
22、，距离最小，之后两车之间的距离将变大，若速度相等时还没有相遇，则两车不会再相遇。若s0=800m 时，解得 t=80s，此时 B 车的速度为 v B =v B +at=30+(-025)80m/s=10m/s=v A。7规律总结：求追及、相遇或相撞问题时，若问两物体能否相撞，一般是设经过时间 t 后两物体相撞，根据位移关系列出方程，它一般是关于 t 的二次方程，然后根据判别式的正、负或零来判断，若，则二者能相撞，若，则不能相撞；若问二者何时相撞，解法同上，但要注意解是否合理，是否是实际问题；若问能相遇几次，解出相遇所需的时间，有几个解，就能相遇几次，同样要注意解是否合理；若求两者之间的最大或最
23、小距离，通常求出两物体速度达到相等时各自的位移，两位移之差即为两物体之间的最大或最小距离；也可设经过时间 t 后两者相距S，根据位置关系写出 S 的表达式，然后根据二次函数求极值的方法可以求出（一般用配方的方法来求） 。这样，该题第二问的解法很易得出：设 B 车刹车后经过 ts 两车刚好相撞，则应有：s B= s A+s0即 v Bt+ a B t2=v A t0+ v A(t-t0)+ a A (t-t0)2+s0 ，30t- t2=15+10(t-1.5)+ a A (t-1.5)2+500 刚好相撞，1 218121则=0 ，解得 a A =0.16m/s29.总结一.物理模型：同一直线
24、，同向（反向）运动。二.时间关系 1.同时出发，在俩者运动中追及， 。 2.同时ABt出发，在一个运动中，一个静止追及， 。 3.根据物体运动的特点，核对其运动的时间：确定有tt无运动的多过程问题。三.出发地点关系1.同地追及，同一地点出发，最后追及相遇 2.异地追及，不在同一地点，最后追及相遇ABxABx四.位移关系：A 为汽车 B 为自行车，俩物体的相距 ，追上时 A 走过的位移 ， B 走过的位移 ，AxBx。B五.追及过程的距离极值问题： 在追及过程中，当 ，A，B 俩物体之间达到距离的极值，可能为最v大或最小，具体问题具体分析。六.追及过程中的恰好不相碰问题1.追上的瞬间位移关系：
25、2.追上的瞬间速度关系：ABxABv七.追上的瞬间比较加速度，分析二次追及问题1.追上的瞬间位移关系： 2.追上的瞬间速度关系： ，ABAB3.追上时的加速度关系： ,ABa不 会 发 生 二 次 追 击会 发 生 二 次 追 击8八.讨论有无二次追及的可能: 已知 A，B 俩物体相距 ，A 追及 B，讨论追及可能发生的相关问题。0x1.当 A 的瞬时速度 与 B 的瞬时速度 相等时，即 = ，A 的位移为 ，B 的位移为 ，则1Av1v1vAxBxBx2.讨论 与 的关系，000,ABABaxxa不 会 发 生 追 击 问 题 。会 发 生 追 击 问 题 ,且 一 次 。， 会 发 生 追
26、 击 问 题 ,且 一 次 。发 生 二 次 追 击 问 题 。会 发 生 追 击 问 题 ,且 一 次 。九.会使用图像法解决追及相遇问题1.找到 = 相等的时刻 2.比较面积发现 的关系 3.根据斜率比较加速度 的关系 4.确定解题AvB ABx与 ABa与方法十.追及问题的解题步骤1.分析两物体运动过程及规律，画出两物体运动的示意图 2.核实运动的时间关系，以及出发的地点关系 3.要注意两点，一是速度相等两者的位置关系,二是位置相同（即相遇）时两者的速度关系,及加速度关系 4.由运动示意图找出两物体位移间关系的方程，或画出运动图像，这是关键 5.联立方程求解，并对结果进行简单分析关于图象
27、问题1.直线运动的 s-t 图象(1)意义：反映了直线运动的物体位移随时间变化的规律(2)图线上某点切线的斜率的意义斜率大小：表示物体速度的大小斜率的正负：表示物体速度的方向(3)两种特殊的 s-t 图象若 s-t 图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状态(如图甲所示)若 s-t 图象是一条倾斜的直线，说明物体在做匀速直线运动(如图乙所示)2.直线运动的 v-t 图象(1)意义：反映了直线运动的物体速度随 时间变化的规律(2)图线上某点切线的斜率的意义斜率的大小：表示物 体加速度的大小斜率的正负：表示物体加速度的方向(3)两种特殊的 v- t 图象匀速直线运动的 v-t 图象是与横轴
28、平行的直线(如图甲所示)匀 变速直线运动的 v-t 图象是一条倾斜的直线(如图乙所示)(4)图线与坐 标轴围成的“面积”的意义图线与坐标轴围成的“面积”表示相应时间内的位移若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负温馨提示：(1)s-t 图象、v-t 图象都不是物体运动的轨迹，图象中各点的坐标值是 s、v 与 t 一一对应(2)s-t 图象、v-t 图象的形状由 s 与 t、v 与 t 的函数关系决定(3)无论是 s-t 图象还是 v-t 图象，所描述的运动情况都是直线运动93.运动学图象“五看”一看“线”Error!二看“斜率”Error!三看“面积”Error!四看“纵截距”Error!五 Error!看 “特 殊 点 ”
