1、- 1 -AC BD排列、组合和二项式定理1.排列数 中 、组合数 中 .mnA1,nN、 mnC,10,nm、 N(1)排列数公式 ； 。如!()2()()n !()21nA（1）1！+2！+3！+n！（ ）的个位数字为 （答：3） ；（2）满足*4,的 （答：8）286xAx(2)组合数公式；规定 ， .如已知(1)(1)!()2mnnmnCm 01！ 0nC，求 n，m 的值（答：mn2）16n(3)排列数、组合数的性质： ； ； ；nC1nnC1kn； ； .121rnrr !(1)!()!()!2.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的
2、且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事） ，分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的） ，有序排列，无序组合 如（1）将 5 封信投入 3 个邮筒，不同的投法共有 种（答： ） ；（2）从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出533 台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种（答：70） ；（3）从集合 和 中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的1,2,456个数是_（答：23） ；（4）72 的正约数（包括 1 和 72）共有 个（答：12） ；（5）的一
3、边 AB 上有 4 个点，另一边 AC 上有 5 个点，连同 的顶点共 10 个点，以这些点AA为顶点，可以构成_个三角形（答：90） ；（6）用六种不同颜色把右图中 A、B、C、D 四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有 种不同涂法（答： 480） ；（7）同室 4 人各写 1 张贺年卡，然后每人从中拿 1 张别人送出的贺年卡，则 4 张贺年卡不同的分配方式有 种（答：9 ） ；（8）是集合 到集合 的映射，且f,Mabc,0N()，则不同的映射共有 个（答：7） ；（9）满足 的集合c 4,321AA、B 、C 共有 组（答： ）43.解排列组合问题的方法
4、有：（1）特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置） 。如（1）某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为 1 到 6 的 6 种不同花色的石材可选择，其中 1 号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有_种（答：300） ；（2）某银行储蓄卡的密码是一个4 位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位个位上的数字（如 2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选 0. 千位、百位上都能取 0. 这样设计出来的密码共
5、有_种（答：100） ；（3）用 0，1，2，3，4，5 这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数_个（答：156） ；（4）某班上午要上语、数、外和体育 4 门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为_（答：6） ；（5）四个不同的小球全部放入编号为 1、2、3、4 的四个盒中。恰有两个空盒的放法有_种；甲球只能放入第 2 或 3 号盒，而乙球不能放入第 4 号盒的不同放法有_种（答：- 2 -84；96） ；（6）设有编号为 1、2、3、4、5 的五个茶杯和编号为 1、2、3、4、5 的 5 个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖
6、法有_种（答：31）（2 ） 间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）)。如在平面直角坐标系中，由六个点(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(1, 2) ，(2, 1) 可以确定三角形的个数为_（答：15） 。（3 ） 相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素 “捆绑 ”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑” ，将特殊元素在这些位置上全排列） 。如（1）把 4名男生和 4 名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为_（答：2880 ） ；（2）某人射击枪，命中枪，枪命中中恰好有枪连在一起的情况的不同种数为_（答：20） ；（
7、3）把一同排 6 张座位编号为 1，2， 3，4，5，6 的电影票全部分给 4 个人，每人至少分 1 张，至多分 2 张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是_（答：144）（4 ） 不相邻(相间)问题插空法 （某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间） 。如（1）3 人坐在一排八个座位上 ,若每人的左右两边都有空位 ,则不同的坐法种数有_种（答：24） ；（2）某班新年联欢晚会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为_
8、（答：42） 。（5 ） 多排问题单排法。如若 2n 个学生排成一排的排法数为 x，这 2 n 个学生排成前后两排，每排各 n 个学生的排法数为 y，则 x,y 的大小关系为_（答：相等） ；（6 ） 多元问题分类法。如（ 1）某化工厂实验生产中需依次投入 2 种化工原料，现有 5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放. 那么不同的实验方案共有 _种（答：15 ） ；（ 2）某公司新招聘进 8 名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有_种（答： 36） ；（
9、3）9 名翻译中，6 个懂英语，4 个懂日语，从中选拨 5 人参加外事活动，要求其中 3 人担任英语翻译，选拨的方法有_ 种（答：90 ） ；（7 ） 有序问题组合法。如（ 1）书架上有 3 本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不便，再放上 2 本不同的书，有 种不同的放法（答：20） ；（2）百米决赛有 6 名运动A、 B、C、D 、E、F 参赛，每个运动员的速度都不同，则运动员 A 比运动员 F 先到终点的比赛结果共有_ 种（答：360） ；（3）学号为 1，2 ，3，4 的四名学生的考试成绩且满足 ，则这四位同学考试成绩的所有89,01,(,24)ixixx可能情况有_ 种（答：15）
10、；（4）设集合 ，对任意 ，有,5,678AxA，则映射 的个数是_（答： ） ；（5）如果一个三位()2)ff:f3C正整数形如“ ”满足 ，则称这样的三位数为凸数（如31a2321a且120、363、374 等） ，那么所有凸数个数为 _（答：240 ） ；（6）离心率等于 (其中qplog且 )的不同形状的的双曲线的个数为 _（答：26） 。9,1qp*,Np（8 ） 选取问题先选后排法。 如某种产品有 4 只次品和 6 只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到 4 只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是_（答：576） 。（9 ）
11、至多至少问题间接法。 如从 7 名男同学和 5 名女同学中选出 5 人，至少有 2 名女同学当选的选法有_种（答：596）（10 ）相同元素分组可采用隔板法。如（1）10 个相同的球各分给 3 个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？（答：36；15） ；（2）某运输公司有 7 个车队，每个车队的车都多于 4 辆且型号相同，要从这 7 个车队中抽出 10 辆车组成一运输车队，每个车队至少抽 1 辆车，则不同的抽法有多少种？（答： 84）4、分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成 n 组问题别忘除以- 3 -n！。如 4 名医生和 6 名护士组成一个医疗小组，若把他们分
12、配到 4 所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有_种（答：37440） ；5.二项式定理： ，其中组合数01()nnrnrnabCabCab 叫做第 r+1 项的二项式系数；展开式共有 n+1 项，其中第 r+l 项rnC1,12nT称为二项展开式的通项，二项展开式通项的主要用途是求指定的项.特别提醒：（1）,)项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为 1 时，系数就是二项式系数。如在 的展开式中，第项的二项式系数为 ，第项的系()naxb rnC数为 ；而 的展开式中的系数就是二项式系数；（2）当 n 的数值不大时往rnC1往借助杨辉
13、三角直接写出各项的二项式系数；（3）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？如（1） 的展开式中常数项是_（答：14） ；371(2)x（2） 的展开式中的 的系数为_ （答：330） ；3410()(1)()x（3）数 的末尾连续出现零的个数是_（答：3） ；(4) 展开后所得的0 403(2)x的多项式中，系数为有理数的项共有_项（答：7） ；(5)若的值能被 5 整除，则 的可取值的个2456165(21)xxN且数有_个（答：5） ；(6)若 二项式 按 降幂展开后，其第二项,0yy且 9(y不大于第三项，则 的取值范围是 （答： ） ；(7)函数(1,)的最大
14、值是_（答：1024）.101()sin)(si)fx6、二项式系数的性质：（1 ） 对称性：与首末两端“ 等距离”的两个二项式系数相等，即 ；mnC（2 ） 增减性与最大值：当 时，二项式系数 C 的值逐渐增大，当 时,C2nrrn 12r的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当 n 为偶数时，中间一项（第 1 项）的二项式rn系数 取得最大值。当 n 为奇数时，中间两项（第 和 1 项）的二项式系数2C2相等并同时取最大值。如（1）在二项式 的展开式中，系数最小的项的1n ()x系数为_（答：426 ） ； （2）在 的展开式中，第十项是二项式系数最大的项，(1)n则 _（答：17,18 或
15、19） 。（3 ） 二项式系数的和： ；0rnnC 2nC 0213nnC。如（1）如果 ，则 2n12187 1（答：128） ；（2）化简 （答： ）03()nnn ()7、赋值法：应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和为 、 “奇数 (偶次) 项”f系数和为 ，以及“偶数 (奇次) 项”系数和为 。如（1）已)(f 2知 ，则 等于_（答：92901(13)xaxax 019|aa） ；（2） ，则 944220401() x 0102()()_（答：2004） ；（3）设04- 4 -,则 _（答： ） 。nn xaxax22102)1( na220 213n8、系数最大项的求法：设第 项的系数 最大，由不等式组 确定 。如求rrA1rAr的展开式中，系数的绝对值最大的项和系数最大的项。 （答：系数绝对值最310()2x大的项为 ，系数最大的项为 ）9513058x9、二项式定理的应用：二项式定理的主要应用有近似计算、证明整除性问题或求余数、应用其首尾几项进行放缩证明不等式。如（1）(0.998) 5 精确到 0.001 近似值为_ （答：0.990） ；（2） 被 4 除所得的余数为_ （答：0） ；（3）今天是星期一，923110045 天后是星期 _（答：二） ；（4）求证： 能被 64 整除；（5）2*389()nN求证： ),()(3*1nNn且
