1、第一章 随机事件与概率1.1 随机事件1.1.1 随机试验与样本空间概率论约定为研究随机现象所作的随机试验应具备以下三个特征：（1 ）在相同条件下试验是可重复的；（2 ）试验的全部可能结果不只一个，且都是事先可以知道的；（3 ）每一次试验都会出现上述可能结果中的某一个结果，至于是哪一个结果则事前无法预知。为简单计，今后凡是随机试验皆简称试验，并记之以英文字母 。称试验的每个可能E结果为样本点，并称全体样本点的集合为试验的样本空间，分别用希腊字母 和 表示样本点及样本空间。必须指出的是这个样本空间并不完全由试验所决定，它部分地取决于实验的目的。假设抛掷一枚硬币两次，出于某些目的，也许只需要考虑三
2、种可能的结果就足够了，两次都是正面，两次都是反面，一次是正面一次是反面。于是这三个结果就构成了样本空间 。但是，如果要知道硬币出现正反面的精确次序，那么样本空间 就必须由四个可能的结果组成，正面-正面、反面-反面、正面-反面、反面- 正面。如果还考虑硬币降落的精确位置，它们在空中旋转的次数等事项，则可以获得其它可能的样本空间。经常使用比绝对必要的样本空间较大的样本空间，因为它便于使用。比如，在前面的例子中，由四个可能结果组成的样本空间便于问题的讨论，因为对于一个“均匀”的硬币这四个结果是“等可能”的。尽管这在有 3 种结果的样本空间内是不对的。例 1.1.1 ：从最简单的试验开始，这些试验只有
3、两种结果。在抛掷硬币这一试验1E中出现“正面”或“反面”；在检查零件质量时，可能是“合格”或“不合格”；当用来模拟电子产品旋转的方向时，结果是“左边”或者“右边”；在这些情况下样本空间简化为： =正面,反面 。：更复杂一些，有的随机试验会产生多种可能的结果，比如掷一颗骰子，观察出现2的点数。样本空间为： 。1,2345,6: 掷两枚硬币（或者观察两个零件或两个电子产品），可以得到3E=（正面，正面）、（反面，反面）、（正面，反面）、（反面，正面) 读者可以将其推广到掷 n 个硬币，样本空间里有多少样本点呢？：再复杂一些，一名射手向某目标射击，直至命中目标为止，观察其命中目标所进4行的射击次数。
4、从理论上讲，只要不能击中目标,射手就必须一直射下去，故样本空间为，1,23,n 其中含无穷多个样本点。这也适用于商品销售，假设商场可以无限量地销售某种商品，每天销售的该商品数的样本空间为 。,0：在人类学研究中“随机抽取一个人”并测量他的身高和重量，电梯设计师能利用5E这些资料设计电梯的空间和载重，对于中国人，身高（单位：米）的样本空间取就足够了，体重（单位：公斤）的样本空间取.2,0,也许就足够了。在大部分实际的设计问题中，设计师有时会同时考虑电梯使用者的所有可能的身高和体重，更具体地说，设计者通常会对同时提供了可能使用者身高和体重的结果感兴趣。因此，样本空间是。 12(,)()0,2.5高
5、 度 ,重 量 ，1.1.2 随机事件随机试验的结果称为随机事件，简称事件，并以大写英文字母 记之。,ABCD1.1.3 事件与集合的对应以及它们的运算通常用希腊字母 表示样本空间, 表示样本点。称“ 是 的成员”或者“ 属于”，或者“ 是 的元素”，记为 .如果 不是试验的一个可能结果，那么 不是 的元素，则记为 .一个事件对应于样本空间的一个子集，因此某事件发生当且仅当它对应的子集中的某个元素（即样本点）在试验中出现。用 表示事件 是 的子集。事件的相互关系A与集合论中集合的包含、相等以及集合的运算等概念对应。以下就是这些对应关系与运算。为简化起见，以下均假设涉及的集合 等都是 的子集，而
6、不再每次申12, , nB 明。1. 事件的包含集合的包含集合 即“ 包含于 ”，意为 中元素都在 中，或说，如果 ，必有ABABA。对应于事件，表示 的样本点都在 中，即当 的样本点出现于试验结果 之 B中，即 发生时， 当然也就发生了，或说“ 的发生必导致 的发生”。图 1.1 的文氏图AB2. 事件的相等集合的相等称集合 A 和 B 相等，并记为 ，是说“ 且 ”。对应于事件，称 AA和 B 相等，记为 ，就是“如果 发生，则 必然发生，同样如果 发生，则 必 B然发生”。相等的事件含有相同的样本点。3. 事件的并（和）并集集合 A 和 B 的并集记为 ,它的元素或者属于 ，或者属于 （
7、当然有的可能同时属于 A 和 B），即 。对应事件的并 表示“ 或 至:AB或 AB少有一个发生”。图 1.2 的文氏图AB并的概念可以推广到 个事件和可数个事件, 的并n12, , nA表示“ 中至少有一个发生”；可数个事件12niA (1,2)in的并 表示“ 中至少有, , n iA1 (1,2,)i 一个发生”。4. 事件的交（积）交集两个集合 A 和 B 的交集记为 ，它是由既属于 A 又属于 B 的元素构成的集合，即B:且对应于事件的交 表示“A 和 B 同时发生”。 常简记作 。图 1.3 的文氏图AB类似地，交得概念也可以推广到 个事件的交, 表示“ 个事n12ni nA件 同
8、时发生”，可数个事件的交 表示“可 (1,2)iAn 1i 数个事件 同时发生”。,)i 5. 逆事件（对立事件）补集的子集 A 的补集记为 ，它是由属于 但不属于 A 的元素构成的集合，因为仅牵涉到属于 （样本空间）的点，集合 就是由那些不属于 A 元素组成的。记为AA:A且图 1.4 的文氏图A对应于事件， 发生当且仅当 不发生时发生，称作事件 的逆事件。利用上述事件AA的并和交的运算符号，有及 6. 事件的差差集集合 与 的差集 由 中那些不属于 的元素全体组成。对应地，事件的差BB表示“ 发生而 不发生”即 。AA图 1.5 的文氏图AB7. 互斥（或不相容）事件不交集在集合论中,若
9、,则表明 , 没有公共元素，它们互不相交。对应于事件,若AB，则表明 ， 不同时发生，称 与 互斥（或不相容）。图 1.6 的文氏图AB8. 必然事件和不可能事件样本空间和空集有两个特殊的集合需要特别讨论，一个是样本空间本身，从集合的定义容易推断出是它自身的子集，从包含关系 的左边取一个元素使它不在右边集合中，显然是不可能的，因此 。又假设存在集合 ，该集合不包含任何元素（空的集合）， 必定是每一个集合的子集，对任何子集 ，要从 中找到一个元素不在 中，显然是不可能AA的，因为 没有元素，因此， 成立。A对应于事件，称试验必然会出现的结果为必然事件。注意到以下等式总是成立的 ,.AAA 上述事
10、件间的关系与运算可由集合论中的文氏图予以展示。与集合运算一样，事件的运算亦有如下的运算律：1交换律： ， ；BB2结合律： ， ；()()AC()()ACB3分配律： ， ；() ()AC4对偶律： ， 。BB上述运算律亦可推广到任意有限个或可列个事件的情况。例如，对 个事件n有分配律(1,2)iBn，11nni iiABA11nni iiBA对偶律留给读者自行写出。1236B54B1A图 1.7 个事件的关系图n对可列个事件 的分配律也留给读者，此处给出有对偶律(1,2,)iA 1iiA及 1ii为帮助读者熟悉事件的运算。以三个集合为例，A、B 和 C 的并集，如图 1.8 的文氏图是有用的
11、。根据图 1.8，请读者检验这些等式： ,BCABA()()()()()()图 1.8 三个事件的关系图例 已知一批机器螺钉中含有许多次品，随机抽取三个并检验。令 分别表示其,ABC第一、二、三次所抽到的螺钉是次品的事件。试用 及其运算表示下列事件：,ABC（1）第三次抽到正品；（2）只有第三次抽到次品；（3）恰有一次抽到次品；（4）至少有一次抽到次品；（5）不止一次抽到次品（或至少抽到两个次品）；（6）没有抽到次品。解 （1） （2） （3）.C.ABC.AB（4） （5） （6） . AB.CBA1.2 概 率1.2.1 频率与概率定义 1.2.1 称在相同条件下所做的 次试验中事件 发生
12、的次数 为 发生的频数，nAAn并称比值 为事件 发生的频率，记作An().Anf定义 1.2.2 在相同条件下所做的 次试验中，当 时，事件 发生的频率nA稳定在某个常数 附近。称此常数 为事件 发生的概率，记作()nfApp().PAp1.2.2 概率的公理化定义定义 1.2.3 设试验 的样本空间为 。对于 中每一个事件 都赋予一个实数EA，它具有以下三条基本性质：()PA1. ；0()12. ；3. 如果 是 中任意一列两两互斥的事件 ，无论,321A(,)ijAij当有限或无限，如果 123BA表示事件“至少出现一个 ”，则i123()()PP iiA)(或表示为，11()iiiA则
13、称实数 为事件 的概率。()PA利用概率的三条基本性质可以推导出概率的其他性质。4. 。()1()证 因 ， ，故由基本性质 2 及 3 有A，()()PAPA移项即得。 5. 不可能事件的概率为 0，即 。()=证 因 ，由基本性质 3 有= ()()P再由性质 1 得 。 ()0P注 空集 的概率为 0，它被称之为不可能事件。但要注意的是这并不是意味着一个概率为 0 的事件 A 必须是“不可能”或者等于 。将在后面举例说明。6. 有限可加性：若事件 两两互斥，则12,nA 11()iiiPA证 因 ，故12=ni nAA ，121( )i n 再由性质 3 和 5 即得。 注 本性质从概率
14、的可数可加性导出了有限可加性。7. 若 ，则 且AB()()PABP。(证 由于 ，则 ，且 与 互斥，故由性质 6 有()A)即 。()PBA()PBPA再由性质 1， ，于是 。 0()8.（加法定理）如果 和 是任何事件，不必是互斥事件，则1A21212()()()PPA证 显然和1212()1212()()A对于每一个等式来说右端的并集中的两个事件都是互斥事件。根据性质 3 12112()()PAP2A第二个等式给出 ，把它代入第一个等式就得到了要121()()证明的结论。 可将性质 8 推广到 个事件的情形：如果 , , 是任何事件，不必是互斥事件，n1A2n则 121111()()
15、()()nn nii ij ijk niijnijknPAPPPA （1.2.3）右边的这些加和包括了单个事件、两个事件、三个事件等的所有可能的交集。证 遵循性质 8 的证明可以用归纳法证得，具体的细节省略，熟悉归纳法证明的读者应该没有困难的补充这些证明。 1.2.3 古典概型下面讨论一类在概率论发展初期讨论的最多的试验古典概型的概率计算。它适用于有限的离散概率空间的情形，并且每个样本点都以等可能出现。定义 1.2.4 设试验 的样本空间有有限多个样本点，即 ，且每E12,n个样本点出现的可能性相同。称此试验为古典概型。因为样本点是两两互斥的，根据概率的基本性质 2 和 3，在古典概型中，一方
16、面有，1()1niiP另一方面，所有 都相等，所以)(i，11()()nniiiiiP可见每一个样本点 出现的概率为i ni)(所以，若事件 由 个样本点构成，则其发生的概率AnAP)(这是古典概型计算事件概率的基本公式。1.3 独 立 性1.3.1 事件的独立性1.两个事件的独立性从字面意义上说，若事件 与事件 的发生互不影响，称 与 相互独立应是恰当ABAB的。那么概率论中该如何定义事件的独立性呢？定义 1.3.1 称两个事件 和 互相独立（或者统计意义下的独立），如果(1.3.1)()()P作为特殊情形，若 中有一个是必然事件或不可能事件，则（1.3.1）式显然成立。,AB这表明，任意事
17、件都与 （或 ）相互独立。定理 1.3.2 设事件 与事件 相互独立，则 与 ， 与 ， 与 亦相互独立。ABAB证 以下证明 与 相互独立，AB()()()PP()(P1.AB此即 和 的独立性。关于事件 和 独立，只要交换 和 角色即可。类似可证关于AB事件 和 的独立性。 初学者往往容易将事件 与 独立和事件 互斥相混淆，常误以为独立就是互斥。AB,或许是独立与互斥这两个汉语词汇的词义相近造成这样的误解。其实当 都具有正概率,AB时，由定义 1.3.1，若 独立，则 ，从而 相容而不是互斥；而当 互,()0P, ,斥时则因 ，但 ，所以 不独立。()0PAB()BA2.多个事件的独立性先
18、考虑 3 个事件，称事件 两两独立，如果321,A121332()(),.PPA（1.3.2）进一步称 互相独立，如果(1.3.2)成立，并且321,A(1.3.3)123123()()(.PAP也成立。显然互相独立要强于两两独立。读者也许会问，三个事件的独立性可否只用公式（1.3.3）来定义？回答是否定的。由于（1.3.3）式成立不能保证（1.3.2）式成立，若只用（1.3.3）来规定三个事件的独立性就可能出现下面的令人难以接受的结果：当 满足 ，,ABC()()(PAPBC中可能有两个事件不相互独立。请看下面的例子：,ABC例 1.3.3 假设投掷两枚均匀的硬币，设 是事件“第一次出现正面
19、”，设 是事件“第二次出现正面”，设 是事件“两个硬币匹配”（两个正面或两个反面）。易知事件C和事件 是独立事件，而事件 和 也是独立事件，同样 和 是独立事件（为什么？）。所以事件 ， 和 是两两独立，但是观测 ，然而1()4PABC1()()28PAB从而事件 ， 和 是不独立的，尽管他们是两两独立。 C另一种情况，仅有(1.3.3)，也不能保证 1.3.2)成立，见下例。例 1.3.4 掷一颗骰子，观察其点数。令 ，1,234A， ，则有4,56B3,45，2()3PA1().2BPC于是 1()()()6而()().PABPB例 1.3.3 和 1.3.4 表明，等式（1.3.2）和（
20、1.3.3）不能互相自然导出。可见由（1.3.2）及（1.3.3）来定义三个事件的相互独立性是完全必要的。以下把它推广到 个n事件。定义 1.3.3 称事件 两两相互独立的，如果12,k(1.3.4)()()ijijPAPA对任何 成立.ji若 个事件 满足以下 个等式n12,n 21n()()ijijPAPA ()ijn()ijkijk k 1212()()(nnPAPA 则称 个事件 相互独立。,n由此定义看出，在规定 个事件 的相互独立性时应能保证其中的任意n12,nA个事件 亦相互独立。惟有如此才是合理的。因此也可把上述定义重述为：称k(1)k一列事件 是相互独立的，如果其中任意有限多
21、个事件相互独立。2,nA 对于 个相互独立的事件亦有类似于定理 1.3.2 的重要结论，这里不再赘述。1.3.2 伯努利概型像掷硬币试验那样只有两个可能结果 与 的试验称之为伯努利（Bernoulli）试验。A又如，射手向某目标射击，只考虑两个结果：击中与未击中；掷一颗骰子考察结果是出现6 点还是未出现 6 点；从一批产品中任意取出一件产品，看其是合格品还是不合格品；买彩票中奖或不中奖；这些都是伯努利试验。为方便计，有时将 称作“成功”，而将 称AA作“失败”。与掷硬币试验一样，人们可在相同条件下将伯努利试验重复进行 次。显然， 次试n验的结果应是相互独立的，且每次试验中事件 发生的概率都一样
22、。称这样的试验为独立重复试验。定义 1.3.4 称独立重复进行的 次伯努利试验为 重伯努利试验。称独立重复进行n的可数次伯努利试验为一个伯努利独立试验序列。例 1.3.6 （例 1.2.5 续）设一个口袋里有 6 个红球和 4 个白球，每次从中取出一个球，再放回，连续取 3 次。求恰有 2 个红球的概率。解 这是一个 3 重伯努利试验。由题设可知每次取到红球的概率为 0.6，若以 表示iA第 次“取到红球”的事件，则试验的样本空间为i123123123123123123123123, , , , , , , .AAAA由独立性，容易算出每个样本点出现的概率。例如 ，而6.0)(P。4.06)(
23、2321P由于事件 =“恰有 2 个红球”= ，其中样本点是两两互斥B123123123, , AA的，所以 123123123()()()PAP 1254.062C1.4 条件概率1.4.1 条件概率定义 1.4.1 设 为两个事件，若 ，则定义“事件 发生条件下事件,AB()0PBB发生的条件概率”为A(1.4.2)()(|)PAB定义 1.4.1 适用于任何随机试验（而非只适用于古典概型）的条件概率定义，它同时提供了用无条件概率计算条件概率的方法。因为条件概率也是概率，因此它也应具有类似无条件概率的三条基本性质：1. ；0(|)1PAB2. ；|3. 对两两互斥的事件列 ，有12,nA
24、11|(|)i iiPABP（1.4.3）注 条件概率既然是概率，它也应有概率的其他性质，如加法定理：如果 和 是任何1A2事件，不必是互斥事件，则 121212(|)(|)(|)(|)PABPAB读者可以把无条件概率的其他性质推广到条件概率。可以把条件概率进一步推广到多个事件的情形，如果 是 n 个事件，,3,i给定 出现，那么 的条件概率由下面的公式给出： 121,n n1211231()(|,)nnnPAAPA （1.4.4）1.4.2 乘法公式利用定义 1.4.1 立即可得下面的概率乘法定理。定理 1.4.2 设 为两个事件，则当 时，,AB()0PB()|APB（1.4.5）称上面的
25、公式为乘法公式。有一个重要的特殊情形，当 与 相互独立时，事件 的发生不会改变 发生的概ABA率，即 时，这时乘法公式变为(|)(PAB()()PAB（1.4.6）反之，当 时，若 相互独立，则有独立性定义和公式（1.4.3）有()0PB,A于是得到下面的定理。(|).A定理 1.4.3 设 ，则事件 相互独立的充要条件是(),B(|)(PAB（1.4.7）下面给出乘法定理的推广形式。定理 1.4.4 设有 个事件 满足 ，则有n12,nA 121()0n12 3121()(|)|(|)nPPAPA （1.4.8）证 注意到 ，并 次使用定理 1.4.2112121()()0n 即得。 1.4
26、.2 全概率公式与贝叶斯公式定义 1.4.4 假设 是为某试验的样本空间 的一组互不相容的事件，nB,321 也就是满足 ，如果还满足 ，则称事件组(,)ijBij 1niB为 的一个分割。即任两个 不可能同时出现，而且其中一个必须出现。n,21 i定理 1.4.5 设 为 的一个分割，且有 ，则对nB,21 ()01,2)iPn 任意事件 有Ani iiBAP1)(|)(（1.4.10 ）证 由定理假设， 是任何事件，如果 发生，那么它必然与 中一个同时发生Ai（见图 1.9）。即 123BA因 两两互斥，故 亦两两互斥，由概率地定义 1.2.3 的性质 3nB,21 n,可得 )()()(
27、)21 nABPP再利用公式(1.4.5)就得)(|()(|()|() 21 nBPABPABPAPni ii1|全概率公式可以推广到可数的子集构成的分割的情形。即假设 是可数多123,个互不相容事件，且满足 ，和 ，则如果有(,1,2)ijBij 1iB，则对任意事件 有(0)1,2)iPB A1)(|()(i iiPBP（1.4.11 ）下面来探讨另一个问题。如果观测到事件 实际发生，要计算条件概率 。A)|(ABPj通过使用(1.4.4)和(1.4.11) ，发现(1.4.12)()(|)(|)j jjj iiiPBBPA公式(1.4.12)称为贝叶斯(Bayes)公式，有许多的应用。定
28、理 1.4.6(贝叶斯定理) 事件组 为 的一个分割, 且有n,21 ，则对任意事件 有()01,2iPBn A)(|()|(iiijjj BPBP证 由条件概率公式(1.4.2) (|)()jj A分子使用乘法公式（1.4.5）、分母用全概公式(1.4.10)即得。 通常称上述公式为贝叶斯公式或逆概公式。第一章一、选择题。1、设 为随机事件，且 ，则必有（ ）,AB()0,(|)1PBA（A） （B）()P()(PAB（C） （D）( 2、将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： =掷第一次出现正面， =掷第二次出现1 2正面 =正、反面各出现一次， =正面出现两次，则事件有（ ）3A4A（A）
29、相互独立 （B） 相互独立123, 234,A（C） 两两独立 （D） 两两独立3、对于任意二事件 和 ，则（ ）B（A）若 ，则 一定独立 （B）若 ，则 有可能独立B,AAB,（C）若 ，则 一定独立 （D）若 ，则 一定不独立4、 ， 是两随机事件，当 ， 发生时事件 发生，则以下正确的是（ ）CA）、 B）、)(CPB )()(ABPCAPC）、 D）、5、 ， ， 是三个随机事件，其中 ，且已知1)(,)(0，则以下正确的是（ ）)|()|()|( CBPABPA）、 B）、)|(|)()()(CC）、 D）、BPAP)|()|()( C6、 ， ， 是三个随机事件，设以下条件概率均
30、有意义，则以下不正确的是（ ）ABA）、 B）、)|(1)|(AP 1)|()|(CAPC）、 | CD）、 )|()|)|()|)|( B7、 ， 是两个随机事件，其中 ，则以下正确的是（ ）AB0,PAA）、 ， ， 一定独立 B）、 ， ， 不一定独立AC）、 ， ， 一定独立 D）、 ， ， 不一定独立B8、甲袋中有 2 个白球 3 个黑球，乙袋中全是白球，今从甲袋中任取 2 球，从乙袋中任取 1球混合后，从中任取 1 球为白球的概率A15B25C35D459、10 台洗衣机中有 3 台二等品，现已售出 1 台，在余下的 9 台中任取 2 台发现均为一等品，则原先售出 1 台为二等品的
31、概率为A310B28C210D3810、若 A,B 为任意两个随机事件，则 ( )(A) (B) PPAB(C) (D) 2AB211、某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为 01p,则此人第 4次射击恰好第 2 次命中目标的概率为 （ ）(A)3(1)p(B) 26()(C) 2 (D) 1p12、设 ,AB是两个随机事件,且 0()1,()0,(|)(|),PABPAB则必有（ ）(A) (|)(|)P(B) |(C) (D) ()()二、填空题1、 ， 是两随机事件， ， ，则 。AB5.0)(AP7.0)(B)(ABP2、 ， 是两随机事件， ， ，则 。353、 ， 是
32、两随机事件， ， ，则 。)()(pAP()(4、一袋中有 10 件产品，其中 3 件次品，7 件正品，从中不放回地取 3 次，则“至少有两件次品的概率”为 。5、从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，则此 4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率为 。6、设有 个人，每个人都等可能的被分配到 个房间中的任意一间去住 ，求（1）、nNNn指定的 个房间各有一个人住的概率为 。（2）、恰有 个房间各有一个人住的概率为 。7、从 中任取两个数 和 ，则满足条件的 的概率为 。)1,0(xy31xy8、随机地向半圆 （其中 ，是常数）内掷一点，则原点和2(,)0xyax0a该点的连线与 轴的夹角小于
33、的概率为_。49、从长度为 的线段内任取两个点，将其分成三段，求它们可以构成一个三角形的概率为 a。10、试证对任意两个事件 与 ，如果 ，则有AB()0PA）(|)1()11、 设 P(A)0， P(B)0，证明(1)若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B 不互斥(2)若 A 与 B互斥，则 A 与 B 不独立12、设两两相互独立的三事件 A， B， C，满足： ABC ， P(A) P(B) P(C) ,并且21，求事件 A 的概率169)(CP13、一袋中有 5 件产品，其中 2 件次品，3 件正品，从中不放回地取 2 次，设 =第一次A取得正品， =第二次取得正品，则 。B)|(BP
34、14、若在区间 (0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于 65”的概率为_.15、在区间 ,中随机地取两个数,则这两个数之 差的绝对值小于 12的概率1()2A为_.16、设两个相互独立的事件 A和 B都不发生的概率为 9, 发生 B不发生的概率与 B发生A不发生的概率相等,则 ()P=_.17、一批产品共有 10 个正品和 2 个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为_.18、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为 0.6 和 0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为_.第二章 一维随机变量及其分布2.1 随机变量 随机试验有各种不
35、同的可能结果，有些情况下，这些可能的结果都可以用数量表示。【例】 在含有 3 件次品的 20 件产品中，任意抽取 2 件观察出现的次品数。如果用表示出现的次品数，则 可能取的值有 0、1 、2，取不同的值代表不同事件的发生。XX“ ”表示事件“没有次品”“ ”表示事件“有一件次品”“ ”表示事件“有两件次品”。有些试验结果并不直接表现为数量，但可以使其数量化。【例】 抛掷一枚硬币，观察出现正面还是反面。我们规定：变量 取值如下X“ ”表示事件“出现反面”0X“ ”表示事件“出现正面”1这样便把试验结果数量化了。无论哪一种情形，都体现出这样的共同点：对随机试验的每一个可能结果，有唯一一个实数与它
36、对应。这种对应关系实际上定义了样板空间 上的函数，通常记作 ，)(X。定义 设随机试验的样板空间为 ， 是定义在样板空间 上的实单)(X值函数，称 为一维随机变量，通常用大写字母 等表示。)(X,YZ随机变量的取值随试验的结果而定，在试验前不能预知它取什么值，即随机变量的取值是随机的，具有偶然性；但随机变量取某一值或某一范围内值的概率是确定的，具有必然性。如，例 1 中 “有一件次品 ” ；例 2 中(P 68.0/1)2173CXP(“出现正面”) 。这显示了随机变量与普通函数有着本质的差异。P2/1X引入随机变量，可以将对随机事件的研究转化为对随机变量的研究，进一步有可能用数学分析的方法对
37、随机试验的结果进行深入的研究。根据随机变量取值情况的不同，最常见的随机变量有离散型随机变量和连续型随机变量两种。2.2 离散型随机变量 定义 如果随机变量的全部可能取值是有限个或可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。例如，“掷骰子出现的点数”， “某班数学的及格人数”只能取有限个值，“命中目标前的射击次数”可取可列无穷多个值，它们都是离散型随机变量。一、离散型随机变量的概率分布对于离散型随机变量，除了要知道它可能取哪些值外，更重要的是要知道它取这些值的概率。定义 设离散型随机变量 所有可能取的值为X， ， ，1x2kx取这些值的概率依次为 ，则称X12,kp ， ( ) pxXP1,
38、为离散型随机变量 的概率分布或分布律。概率分布也可以用如下表格的形式表示：X1x2 kxPp p由概率的定义，概率分布具有以下两个性质：（1 ） ， （2 ） 。0kp1, 1kp【例】 若离散型随机变量 的概率分布为XkaP)/(3(1,2)求常数 的值。a解 由概率分布的性质，有 11/3(/2)(/2)312kkkaa所以 。/二、三种常见离散型随机变量的分布1 分布（或两点分布）(0)定义 设随机变量 只可能取 0、1 两个值，它的概率分布为X， （ ） pPpXP101即 ，,)(kk )(或0 1P1pp则称 服从参数为 的 分布或两点分布。Xp(0)只有两种可能结果的随机试验的概
39、率分布都可用两点分布表求，如产品的“合格”与“不合格”；新生儿的“男”、“女”性别；射击目标“命中 ”与“没命中”；以及掷硬币的“出现正面”与“出现反面”等等。2二项分布定义 设随机试验 只有两种可能的结果： 或 ，在相同条件下将 重复进行 次，EAEn各次试验结果互不影响，则称该 次试验为 重独立试验，又称为 重贝努利试验。nn若试验 中，事件 发生的概率 ，（ ），可以证明在 重贝努利A()Pp01试验中，事件 恰好发生 次的概率为 。AkknknpPC)1(定义 若随机变量 的概率分布为X，（ ）knknP)()( 0,1n其中 ，则称 服从参数为 的二项分布，记为 。可以证明其满足01
40、p,p)(pbX分布律的两个条件。特别地，当 时，二项分布化为n1,0)1(kkXP即为 分布或两点分布。(01)注意到 恰是 二项展开式中的第 项，二项分布由此得()knknCp()npk名。满足二项分布的随机变量 的取值就是事件 在 重贝努利试验中发生的次数。XA3泊松分布定义 设随机变量 所有可能取的值为 ，而取各个值的概率为,210，（ ）!)(keXP,其中 是常数，则称 服从参数为 的泊松分布，记为 。可以证明其满足0 )(X分布律的两个条件。一般地，泊松分布可以作为描述大量重复试验中稀有事件出现的频数的概率分布情况的数学模型，即当 很大 ， 很小 ，而乘积 大小适中时，二n)20
41、(p)05.(np项分布 可以用泊松分布作近似),(pb，（ ）npkknknepPC!)()1( ,2102.3 随机变量的分布函数 一般情况下，人们只对某个区间内的概率感兴趣，即研究下列四种可能的区间的概率 12121212 PxXPxXPxXPxX 不只要利用一维坐标轴就分容易得出下列结论当 012211221 PxXPxXxPxxx 所以，我们只须定义一个 形式就可以了，其他区间形式都可以用它表示出PX来。于是定义： 为 的分布函数 。它就是 落在任意区间 上的概FxxX,x率，本质上是一个累积函数，对于离散点，采用叠加，对于连续点，使用一元积分。定义 设 是随机变量， 是任意实数，函
42、数Xx)(xXPF称为 的分布函数。分布函数是一个普通的函数，其定义域是整个实数轴在几何上，它表示随机变量 X的取值落在实数 x 左边的概率分布函数具有性质：1. ；1)(0F2. 是 的不减函数；x3. ， ；0)(lim)(xx 1)(lim)(xFx4. ，即 是右连续的。0F0122121122121000000 0 lim11xPXPXxFxxxPPXxFxF 上述全部可能的表示中，只有 ，但 ，因为假如 xx，那么，当离散型在 点的概率不为零时，等式11Fxx1就会出现矛盾，故 不可能左连续。其中，1212PxXPxXFx是计算离散型分布函数的重要公0000limxFF式。又，上式
43、中根本不可能出现 的形式， 对上述 5 种关系没有任x何影响，即 右连续 。当然，由于Fx0000; 且xFxF 连续型在一点的概率恒为零，所以，连续型分布函数左连续和右连续同时成立。正是要求右连续，才使 成为分布函数的普适定义。评 注 分布函数可以描述任何类型的随机变量，不仅可以描述连续型，还可以描述离散型及其其他非连续型，但不同的随机变量可以有相同的分布函数。对连续型任一点的概率等于零，而对非连续型任一点的概率不一定等于零。我们要重点掌握离散和连续两类随机变量的分布规律。注意，存在既非离散型又非连续型的分布函数，如等类型。0, 112, xFx例 设 为两个分布函数，其相应的概率密度 是连
44、续函数，则12x 12,fx必为概率密度的是（ ）（A） （B）12f 21fF（C） （D）xF21xfx【例】 设 都是分布函数，常数 ，证明12, 0,ab也是分布函数，并举例说明分布函数不只是离散与连续Fxabx两种。证明：分布函数的三个基本条件：（1） 212xFx（2） lim0, li1xx（3） 121121222121212, limli 00xxFFxababxFxFabFabx所以， 也是分布函数。x取： ，并令2b11120, 0, , 1, , 01xxFFxx由于 是不连续的分段函数，故即不是离散型，又不是连续型。Fx例 设 的分布函数为 ，求 的概率分布。X0, 1.48, 3xxPXxX解：由于 要求右连续，故等号必须加在 号上。又由于每一区间的Fx为常数，故 具有离散型特征。 在 处有第一类跳跃间断XFx1, 3点，即 在这些点的概率不为零，即正概率点存在。计算如下110.40.833.2PFX
