1、 事件的概率 1. 无放回类题目： P = 条件 1 总 条件 1 取 条件 2 总 条件 2 取 条件 总 条件 取 总 取2. 有放回类题目： K 种颜色的球，代号为 1 、 2 、 3 抽一次，出现的概率为 1 、 2 、 3 求摸出各种求的个数为 1 、 2 、 3 P = ( 1 + 2 + + )! 1 ! 2 ! ! 1 1 2 2 3. 需要画图的题目： 表现已知条件 表现待求概率条件 找出重合部分 P( ) = 4. 条件概率：P( | ) = ( ) ( )5. 全概率公式：A、B 等个体均可能发生某事，则 P 发生某事 = 出现 发生某事 + 出现 发生某事 6. 贝叶斯
2、公式：A、B 等个体均可能发生某事，则 P 已知有个体发生某事时，是 发生的 = 出现 发生某事 发生某事 一维随机变量 1. 已知 ( ) 与 ( ) 中的一项，求另一项： ( ) = ( ) ( ) = ( ) 2. 已知 ( ) 与 ( ) 中的一项，求P： P( ) = ( ) ( ) = ( ) a3. ( ) 或 ( ) 含未知数，求未知数： ( ) = 0 (+ ) = 1 上 分段点 = 下 分段点 ( ) + = 1 4. 已知X 分布列，求Y 分布列： 根据X 的所有取值，计算Y 的所有取值 将表格里X 那一列替换为Y 合并重复的Y 5. 已知 ( ) ，求 ( ) ： 写
3、出X=?Y 用?y 替换 ( ) 中的x，结果为 (? ) 判断?y 中是否有负号： 若无，则 ( ) = (? ) 若有，则 ( ) = 1 (? ) 6. 已知 ( ) ，求 ( ) ： 写出X=?Y 用?y 替换 ( ) 中的x，结果为 (? ) 令 = (? ) (? ) 判断?y 中是否有负号： 若无，则 ( ) = 若有，则 ( ) = 一维随机变量分布 1. 符合均匀分布 Ua,b ， 求概率：P = 满足要求长度 总长度2. 符合泊松分布，求概率：P( = ) = ! 3. 符合二项分布 Bn,p ， 求概率：P( = ) = (1 ) 4. 符合指数分布 E( ) ，求概率：
4、 ( ) = 0, 0 , 05. 符合正态分布 N( , 2 ) ，求概率： ( ) = 1 二维随机变量 1. 已知二维离散型分布律，判断独立性： 如果任意 、 均满足P( = , = ) = P( = ) P( = ) 那么 X 、Y 相互独立， 否则不相互独立 2. 已知 F(x,y)求 f(x,y)：f( , ) = 2 ( , ) = ( , ) 3. 已知 f(x,y)求 F(x,y)： 找出 f(x,y)不等于零时 x 的范围和 y 的范围 计算 1 ( ) ( , ) 1 ( )结果记为 1 ( ) 为 x 的左边界 1 ( ) 为将 y 的下边界中的 x 替换为 u 后的式
5、子 ( , ) 为将 ( , ) 中的 x 替换为 u 、y 替换为 v 后的式子 将 = 2 ( ) 、 = 2 ( ) 分别代入中，结果依次记为、 2 ( ) 为 x 的右边界 2 ( ) 为 y 的上边界 画出 ( , ) 不等于零的区域，记为区域 A A 右侧的区域记为 B A 上侧的区域记为 C A 右上侧的区域记为 D 则F(x, y) = 区域 区域 1 区域 区域 0 其他4. 已知 F(x,y)求 P ：P(X 0 , 0 ) = ( 0 , 0 ) 5. 已知 f(x,y)求 P ： 找出 f(x,y)不等于零时 x 的范围和 y 的范围 找出要求概率的范围，添到上一步的范
6、围里 （要保证至少有一个未知数的上下限都是纯数字） X 的范围：a x b Y 的范围：c y d 如果 x 的上下限都是纯数字则P = ( , ) 如果 y 的上下限都是纯数字则P = ( , ) 6. 求 F(x,y)或 f(x,y)中含有 的未知数： (+ , ) = 1 ( , ) = 0 ( , ) = 0 ( , ) = 0 ( , ) + + = 1 7. 求均匀分布的 f(x,y) 与 P ： f(x, y) = 1 ，当( , ) 为 区域 的面 积 0 ，其他P( , ) 1 = 1 ( 1 为区域 1 与 D 重合部 分的面 积) 二维随机变量分布 1. 求边缘分布函数：
7、 ( ) = ( , + ) ( ) = (+ , ) 2. 求边缘密度函数： 将 f(x,y)非零区域画在 坐标系上 表示出 左边界x = 1 ( ) 、右边界x = 2 ( ) 、上边界y = 1 ( ) 、下边 界y = 2 ( ) ( ) = ( , ) 1 ( ) 2 ( ) ( ) = ( , ) 2 ( ) 1 ( )3. 判断连续型二维变量的独立性： ( , ) = ( ) ( ) X、Y 相互独立 ( , ) ( ) ( ) X、Y 相互不独立 ( , ) = ( ) ( ) X、Y 相互独立 ( , ) ( ) ( ) X、Y 相互不独立 4. 已知 f(x,y)，Z=X+
8、Y，求 ( ) ： ( ) = ( , ) + 5. 已知 f(x,y) ，Z= ，求 ( ) ： ( ) = ( , ) | | + 6. 已知 f(x,y) ，且 X 、Y 相互独立，Z=max(X,Y) ，求 ( ) ： ( ) = ( ) ( ) 7. 已知 f(x,y)，且 X 、Y 相互独立，Z=min(X,Y) ，求 ( ) ： ( ) = 1 1 ( ) 1 ( ) 期望方差 1. 求离散型的期望：E( ) = 2. 求连续型的期望：E( ) = ( ) + 3. 已知 Y=g(x) ，求 E(Y) ： 离散型 E( ) = ( ) 连续型 E( ) = ( ) ( ) + 4
9、. 求离散型的方差：D( ) = ( ) 2 5. 求连续型( 离散型也能用) 的方差：D( ) = ( 2 ) 2 ( ) 6. 期望方差的性质： E D 性 质 E(C)=C D(C)=0 E(CX)=CE(X) D(CX)= 2 D(X) E(XY)=E(X)E(Y) D(XY)=D(X)+D(Y) (X,Y 相互独立时) E(XY)=E(X)E(Y) (X,Y 相互独立时) D( ) = ( 2 ) 2 ( ) 7. 期望方差与分布： X 服从的分布 E(X) D(X) P 二项分布 B(n,p) np np(1-p) P(X = d) = (1 ) 泊松分布 P( ) P(X = d
10、) = ! 均匀分布 Ua,b + 2( ) 2 12P( ) = 指数分布 E( ) 1 1 2P( ) = 1 1 d 正态分布 N(,) 2P( ) = 协方差 Cov 协 方 差 Cov(X, Y) = E(XY) E(X) E(Y) Cov(X, X) = D(X) Cov(X, Y) = 0 (X,Y 相互独立时) Cov(X, Y) = ( ) ( ) Cov( + , cY + d) = acCov(X, Y) Cov( 1 2 , Y) = Cov( 1 , ) ( 2 , ) Cov( , 1 2 ) = Cov(X, 1 ) (X, 2 ) 相 关 系 数 = ( , )
11、 ( ) ( ) = 0 (X,Y 相 互独立 时) D 方 差 D(X Y) = D(X) + D(Y) 2Cov(X, Y) 切比雪夫不等式：P| ( )| ( ) 2( 为任意实 数) 多项独立同分布，求总和怎样的概率： 设共有 n 项，总和为 Y ，单项的期望为 E(X) ，方差为 D(X) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) 参数估计 1. 求某一未知参数的矩估计： 写出 E(X)与待求未知数的关系 将的结果整理成未知数？（）的形式 根据给出的样本，算出实际的（） 求出未知数 注意最后结果未知数要写成： 2. 求两个
12、未知参数的矩估计： 写出（）与 ( 2 ) = D( ) 2 ( ) 同待求未知数的关系 将的结果整理成未知数？ ？（ ）的形式 根据给出的样本，算出实际的（）与（ ） 求出未知数 3. 求出某离散型参数的最大似然估计量： 写出P = 1 、P = 2 、 、P = 依次对结果取 ln 依次对结果求导 令中结果之和为 0 ，求出未知数 4. 求出某连续型参数的最大似然估计量： 写出 f( 1 ),f( 2 ),f( ) 依次对结果取 ln 依次对结果求导 令中结果之和为 0 ，求出未知数 5. 区间估计： 2 = ( 1 ) 2 + ( 2 ) 2 + + ( ) 2 1求 还是 置信水平 求
13、什么 答案 已知 1 置信区间 ( 2 , + 2 ) 单侧置信下限 单侧置信上限 + 未知 置信区间 2 ( 1), + 2 ( 1) 单侧置信下限 ( 1) 单侧置信上限 + ( 1) 未知 置信区间 1 2 2 ( 1) , 1 1 2 2 ( 1) 单侧置信下限 1 2 ( 1)单侧置信上限 1 1 2 ( 1) 假设检验 单个正态总体参 数的假设检验 假设情况 已知条件 何时拒绝 0 0 ; = 0 1 ; 0( 均值) 0 2 0 2 ( 1) 0 ; = 0 1 ; 0( 方差，标准差，波动性) ( 1) 2 0 2 2 2 ( 1) 或 ( 1) 2 0 2 1 2 2 ( 1
14、) 0 ; 0 1 ; 0( 均值) 0 0 ( 1) 0 ; 0 1 ; 0( 方差，标准差，波动性) ( 1) 2 0 2 2 ( 1) 0 ; 0 1 ; 0( 均值) 0 0 ( 1) 0 ; 0 1 ; 0( 方差，标准差，波动性) ( 1) 2 0 2 1 2 ( 1) S = ( 1 1) 1 2 + ( 2 1) 2 2 1 + 2 2 两个正态总体参 数的假设检验 假设情况 已知条件 何时拒绝 0 1 2 = 1 , 2 1 2 1 2 1 + 2 2 2 2 1 2 1 1 + 1 2 2 ( 1 + 2 2) 1 2 = 2 2 1 2 2 2 2 ( 1 1, 2 1) 或 1 2 2 2 1 2 ( 1 1, 2 1) 1 2 1 , 2 1 2 1 2 1 + 2 2 2 1 2 1 1 + 1 2 ( 1 + 2 2) 1 2 2 2 1 2 2 2 ( 1 1, 2 1) 1 2 1 , 2 1 2 1 2 1 + 2 2 2 1 2 1 1 + 1 2 ( 1 + 2 2) 1 2 2 2 1 2 2 2 1 ( 1 1, 2 1)
