1、第十一章 柱函数,三类柱函数：,在圆心附近的邻近行为：奇偶性：,第十一章 柱函数,第十一章 柱函数,贝塞尔方程的本征值问题：在数理方程中，齐次的边界条件将导致贝塞尔函数的x取一 系列分立值，即a=x/0取一系列分立的本征值。本征值的具 体数值往往需要数值计算。第一类边界条件：x取在贝塞尔函数的零点。 第二类边界条件：x取在贝塞尔函数导数的零点。 ,第十一章 柱函数,贝塞尔函数的广义傅里叶级数（积分）：带量纲的贝塞尔方程满足施图姆-刘维尔本征值条件，因此不同本征值(a)的贝塞尔函数 在0,0上带权重 正交：,第十一章 柱函数,贝塞尔函数的模：依齐次边界条件的不同而不同,第十一章 柱函数,完整的正
2、交归一关系：如果系统尺寸趋于无穷，则趋于连续函数的正交关系：,第十一章 柱函数,不同本征值（特征长度）的贝塞尔函数构成了一套正交完备 基，定义在0,0上的函数f()可以用其展开：,第十一章 柱函数,当圆柱的半径0趋于无穷，本征值 将趋于连 续，广义傅里叶级数成为广义傅里叶积分：,第十一章 柱函数,例2：在0,0上，以J0(an)为基，将f()=u展开为傅里叶-贝 塞尔级数。（ J0(an0)=0）解：依据傅里叶-贝塞尔级数展开式，其中,第十一章 柱函数,例3：将圆域函数展开为0阶傅里叶-贝塞尔积分。解：其中,第十一章 柱函数,例4：均质圆柱，侧面绝热，上下底面温度分别为f1()和f2()， 求
3、圆柱内的稳定温度分布。解：在轴对称的柱坐标系下求解该问题。因为其侧面是齐次 边界条件，因此属于实宗量贝塞尔方程。首先，如果a=0，z方向上的解为 ，而径向为 。其他情况下在方向为 ，径向为0阶贝塞尔函数或者诺 依曼函数。,第十一章 柱函数,再考虑到在圆心处应收敛，因此一般解应为其中 为0阶贝塞尔函数的第n个导数为0的点。然后将一般解代入边界条件，求出诸系数即可。,第十一章 柱函数,例6：圆柱体侧面和下底面温度为0，上底面绝热，初始温 度为 ，求圆柱体内温度变化情况。输运方程为解：这是柱坐标下的亥姆霍兹方程，其边界全部为齐次。通 解的形式为根据上下底面的边界条件，,第十一章 柱函数,因此，解的一般形式为将 展开为傅里叶-贝塞尔级数和傅里叶级数的形 式，可求得系数值。,第十一章 柱函数,贝塞尔函数的生成函数：贝塞尔函数是生成函数洛朗展开的系数。再令 ，有贝塞尔函数是左式傅里叶展开的系数。,第十一章 柱函数,其逆变换为：取其实部：,第十一章 柱函数,贝塞尔函数的积分：1）带幂函数的积分：直接积分，要求 分部积分：,第十一章 柱函数,迭代进行，如果 ，即 为奇数时不 定积分可积。迭代进行，如果 ，即 为奇数时不 定积分可积。,第十一章 柱函数,2)带指数函数的积分,第十一章 柱函数,令 ，,第十一章 柱函数,例1：求解解：,第十一章 柱函数,习题：7,10(p346),
