1、一、引进定积分概念的两个例子,第五章 定 积 分,第一节 定积分的概念与性质,二、定积分的定义,三、定积分的几何意义,四、定积分的性质,一、引进定积分概念的两个例子,1.曲边梯形的面积,曲边梯形：在直角坐标系下，,由闭区间a, b上的连续曲线 y = f (x) 0，,直线 x = a，x = b 与 x 轴围成的平面图形 AabB.,基于这种想法，,可以用一组平行于 y 轴的直线,把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，,只要分割得较细，,每个小曲边梯形很窄，,则其高 f (x) 的变化就很小.,这样，可以在每个小曲边梯形上作一个与它同底，,底上某点函数值为高的矩形，,曲线 y = f (x) 是
2、连续的，,所以，当点 x 在区间 a, b 上某处变化很小时，,则相应的高 f (x) 也就变化不大.,显然，分割越细，,近似程度就越高，,当无限细分时，,则所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值.,用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，,进而用所有小矩形面积之和近似代替整个曲边梯形面积.,(1) 分割,在区间a, b内任意插入 n 1 个分点：,a = x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn = b，,把区间a, b分成 n 个小区间：,x0, x1，x1, x2， ，xi-1, xi ， ，xn-1, xn.,这些小区间的长度分别记为,xi = xi xi -1 (i
3、 = 1, 2, , n).,过每一分点作平行于 y 轴的直线，,它们把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形.,根据以上分析，可按下面四步计算曲边梯形面积.,a = x0,x1,xi-1,xn= b,xi,(2) 近似代替,在每个小区间 xi-1, xi(i = 1, 2, , n)上取一点 xi (xi-1 xi xi),以 f(xi)为高，xi 为底作小矩形，,用小矩形面积 f (xi)xi 近似代替相应的小曲边梯形面积 Ai ，,即,Ai f (xi) xi (i = 1, 2, , n) .,x1,x2,xi,xn,(4) 取极限,当分点个数 n 无限增加，,即,(3) 求和,把 n 个小矩
4、形面积加起来，,它就是曲边梯形面积的近似值，,即,且小区间长度的最大值 (即 = maxxi)趋近于 0 时，,上述和式的极限就是曲边梯形面积的精确值，,2.变速直线运动的路程,设一物体作直线运动，,已知速度 v = v(t) 是时间 t 的连续函数，,求在时间间隔T1,T2上物体所经过的路程 s .,(1) 分割,在时间间隔 T1,T2内任意插入 n - 1 个分点：,T1 = t0 t1 t2 ti-1 ti tn-1 tn = T2 ，,把T1,T2分成 n 个小区间：,t0, t1，t1, t2， ，ti-1, ti ， ，tn-1, tn.,这些小区间的长度分别为：,ti = ti
5、ti 1 (i = 1, 2, , n) .,相应的路程 s 被分为 n 段小路程：si (i = 1, 2, , n) .,(2) 近似代替,在每个小区间上任意取一点 xi (ti-1 xi ti),用 xi 点的速度 v (xi),近似代替物体在小区间上的速度，,用乘积 v (xi) ti,近似代替物体在小区间 ti-1 , ti 上所经过的路程 si ，,即,si v(xi) ti (i =1, 2, , n) .,(3) 求和,(4) 取极限,二、定积分的定义,定义 设函数 f (x) 在区间 a, b 上有定义,任意取分点,a = x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn =
6、 b,把区间a, b分成 n个小区间 xi-1, xi，,称为子区间，其长度记为,xi xi xi - 1 (i = 1, 2, , n),在每个子区间 xi-1, xi上, 任取一点 xi (xi-1 xi xi )，,得相应的函数值 f (xi )，,作乘积,f (xi ) xi (i = 1, 2, , n)，,把所有乘积加起来，得和式,当 n 无限增大，,且子区间的最大长度 l (即 l = maxxi ) 趋于零时，,如果上述和式的极限存在，,则称函数 f (x) 在区间a, b上可积，,并将此极限值称为函数 f (x) 在 a,b 上的定积分，,记作,即,f (x) ：被积函数；,
7、x：积分变量；,a 与 b：积分下限与上限 .,符号,读作函数 f (x) 从 a 到 b 的定积分.,f (x)dx：被积表达式或称被积分式；,其中：,a, b ：积分区间；,关于定积分定义的几点说明：,(1) 所谓和式极限,(即函数 f (x) 可积)，,是指无论对区间 a, b 怎样分法，,也不论对点 xi (i = 1, 2 , , n) 怎样取法，,极限都存在且有相同的极限值.,(2) 可以证明，闭区间上连续函数,(3) 因为定积分是和式极限，,它是由函数 f (x) 与区间a, b所确定的，,因此，它与积分变量的记号无关，,即,或只有有限个第一类间断点的函数是可积的.,(4) 该定
8、义是在积分下限 a 小于积分上限 b 的情况下给出的，,此时，只要把插入分点的顺序反过来写,a = x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn = b,由于 xi-1 xi ， xi = xi - xi-1 0，,于是有,特殊地，当 a = b 时，,如果 a b ，同样可给出定积分,即可，,根据定积分的定义，上面两个例子都可以表示为定积分：,(1) 曲边梯形面积 A 是曲边函数 f (x) 在区间a, b上的定积分，,即,(2) 变速直线运动的路程 s 是速度函数 v (x) 在时间间隔 T1,T2 上的定积分，,即,例 1 用定义计算,解 被积函数 f (x) = e-x，,在区间
9、0, 1 上连续，,所以 e-x 在 0, 1 上可积 .,为了计算方便起见，,把区间 0, 1 等分成 n 份，,分点为,每个子区间的长度都是,在每个子区间,上都取左端点为 xi ，,于是和式为,当 l = maxxi0 + 时，即 n + 有,于是有,三、定积分的几何意义,当 f (x) 0 时，,定积分在几何上表示,曲边 y = f (x)在区间 a, b 上方的曲边梯形面积，,如果 f (x) 0 ，,曲边梯形在 x 轴下方，,此时该定积分为负值，,它在几何上表示 x 轴下方的曲边梯形面积是负值，,当 f (x) 在 a, b 上有正有负时，,x 轴上方的曲边梯形面积减去 x 轴下方的
10、曲边梯形面积,定积分,四、定积分的性质,下面各性质中的函数都假设是可积的.,性质 1 (1) 两个函数和的定积分等于它们定积分的和，,即,(2) 被积函数的常数因子可以提到积分外面，,即,证 只证性质 1 .,根据定积分的定义，,有,性质 1 (1) 可推广到有限多个函数代数和的情况，即,性质 2 如果在区间 a, b 上 f (x) 1 ，,那么,性质 3 (积分对区间可加性) 如果积分区间 a, b 被点 c 分成两个区间 a, c 和 c, b，那么,当点 c 不介于 a 与 b 之间，,即 c a b 或 a b c 时，,结论仍正确.,性质 4 如果在区间 a, b 上有 f (x)
11、 g (x)，,那么,证 由性质 1 与定积分的定义，知,由题设得知 f (xi) g (xi)，即 f (xi) - g (xi) 0，且 xi 0 (i = 1, 2, , n)，,移项，得,推论 由性质 4 可得,所以上式右端的极限值非正，,从而有,性质 5 (估值定理) 如果存在两个数 M，m，,使函数 f (x) 在闭区间 a, b有 m f (x) M，,那么,该性质的几何解释是：,曲线 y = f (x) 在 a, b 上的曲边梯形面积,介于与区间a, b 长度为底，,分别以 m 和 M 为高的两个矩形面积之间.,性质 6 (积分中值定理) 如果函数 f (x) 在区间 a, b
12、上连续，,= f (x) (b - a),那么在区间 a, b 上至少存在一点 x ，,使下面等式成立：,证 因为 b a 0，由估值定理得,由闭区间上连续函数的介值定理知道,在 a, b 上至少存在一个点 x ，,于是得,当 b a 时，,上式仍成立 .,使,该性质的几何解释是：,一条连续曲线 y = f (x) 在 a, b 上的曲边梯形面积,f (x),x,等于区间 a, b 长度为底，a, b 中一点 x 的函数值为高的矩形面积 .,例 2 比较下列各对积分值的大小：,解 (1) 根据幂函数的性质，在 0, 1 上，有,由性质 4 ，得,(2) 令 f (x) = x - ln(1 + x)，,f (x),函数 f (x) 在区间 0, 1 上单调增加，,所以，,f (x) f (0) = x - ln(1 + x)|x = 0 = 0，,从而有 x ln(1 + x)，,由性质 4 ，得,知,由,在区间 0, 1 上,解,令 f (x) = 0，,得驻点 x = 0.,比较驻点 x = 0，区间端点 x = 1 的函数值，,f (0) = e0 = 1，,其次，根据估值定理得,例 3 估计定积分,最大值 M = 1，,
