1、第5章 杆件的应力与强度计算,5-4 圆轴扭转时的应力与强度计算,5-1 应力的概念,一、应力的概念,构件截面上的内力分布集度，称为应力。,若想求受力构件某一截面m-m上的M点处的应力，可在M点周围取微小面积A,A上分布内力的合力为F ，于是在A上内力的平均应力为：,总应力 p,法向分量,正应力s,背离截面的正应力为正，指向截面的正应力为负。,切向分量,切应力t,对截面内的一点产生顺时针方向力矩的切应力为正，反之为负。,应力量纲：ML-1T-2 应力单位：Pa(1 Pa = 1 N/m2，1 MPa = 106 Pa)。,该截面上M点处分布内力的集度为 ，其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相
2、切，称为总应力。,5-2 材料的力学性能,一、材料在拉伸时的力学性能,常温: 室内温度,静载: 以缓慢平稳的方式加载,标准试件：采用国家标准统一规定的试件, 试验条件,试验设备及工具,万能材料试验机,游标卡尺,低碳钢在拉伸时的力学性能,低碳钢拉伸时的应力-应变曲线图:,Ob 段:弹性阶段,当外力撤消以后产生的变形能够完全恢复。,比例极限,弹性极限,Oa 段:比例阶段,应力应变完全成正比,满 足胡克定律。,bc 段:屈服阶段,载荷在小范围内波动,基本不变,而变形明显增加材料暂时失去了抵抗变形的能力,开始产生塑性变形。,光滑试件表面出现与轴线大致成450的条纹线。,c点:上屈服点,d点:下屈服点,
3、de 段:强化阶段,试件恢复了抵抗变形的能力,产生的变形绝大多数为塑性变形。,强度极限,ef 段:局部变形,试件某一局部突然向里收缩,出现颈缩现象。,延伸率:,截面收缩率:,5,5,塑性,脆性,低碳钢是典型的塑性材料,冷作硬化,退火可以消除,卸载定律：在卸载过程中，应力和应变按直线变化。,2.其他塑性材料拉伸时的力学性能,对于在拉伸过程中没有明显屈服阶段的材料，通常规定以产生0.2的塑性应变所对应的应力作为屈服极限，并称为名义屈服极限，用0.2来表示。,3.铸铁在拉伸时的力学性能,在较小的力作用下就被突然拉断,产生的变形很小可以忽略。,没有屈服和颈缩现象,只能测出,铸铁是典型的脆性材料,二、材
4、料在压缩时的力学性能, 试验试件,短圆柱,低碳钢压缩时的-曲线,低碳钢压缩时的弹性模量E屈服极限s都与拉伸时大致相同。屈服阶段后，试件越压越扁，横截面面积不断增大，试件不可能被压断，因此得不到压缩时的强度极限。,铸铁压缩时的-曲线,铸铁压缩时破坏端面与横截面大致成450 550倾角，表明这类试件主要因剪切而破坏。铸铁的抗压强度极限是抗拉强度极限的45倍。,5-3 轴向拉伸与压缩时杆件的应力强度条件,一、拉（压）杆横截面上的应力,1、变形现象,(1) 横向线ab和cd仍为直线，且仍然垂直于轴线;即 通常所说的平面假设。,(2) ab和cd分别平行移至ab和cd , 且伸长量相等.,结论：每条纵向
5、纤维的力学性能相同，其受力也应相 同，因此横截面上的正应力是均匀分布的 .,2、等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式,式中， FN 为轴力，A 为杆的横截面面积, 的符号与轴力FN 的符号相同.,当轴力为正号时（拉伸），正应力也为正号，称为拉应力 ;,当轴力为负号时（压缩），正应力也为负号，称为压应力 .,例7.1 已知一等截面直杆，横截面A=500mm2，所受轴向力作用如图所示，F=10KN， F=20KN ， F=20KN 。试求直杆各段的正应力。,解：(1) 作轴力图,(2) 应力计算：,式中，负号表示为压应力；正号表示为为拉应力。,二、拉（压）杆斜截面上的应力,1、斜截面上的应力,
6、以 p表示斜截面 k - k上的应力，于是有:,沿截面法线方向的正应力 ,沿截面切线方向的剪应力 ,将应力 p分解为两个分量：,2、符号的规定,从x轴逆时针转到a截面的外法线n时,a为正值，反之为负值。,(1)当 = 00 时，,(2) = 450 时，,讨 论,三、强度计算,拉压杆正常工作时的强度条件可表示为：,其中：smax拉(压)杆的最大工作应力，s材料拉伸(压缩)时的许用应力。,根据强度条件可以解决工程中的三类强度问题, 强度校核, 设计截面, 确定许可载荷,解：杆件横截面上的正应力为:,因为,所以满足强度校核。,解： （1）分析受力，受力图如图所示。,解得：,（2）计算各杆的许可载荷
7、。,对BC杆，根据强度条件,解得：,所以，该结构的两杆都要满足强度条件的许可载荷应取：,对AC杆，根据强度条件,解得：,应力集中的概念,由于构件形状尺寸的突变，引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。,K是应力的比值，与材料无关，它反映了杆件在静载荷下 应力集中的程度，是一个大于1的因数。,5-4 圆轴扭转时的应力强度条件,一、切应力互等定理,1、变形现象,2、平面假设,圆轴扭转前为平面的横截面，变形后仍保持为平面， 就象刚性圆盘一样绕轴线作相对转动，形状和大小不变， 半径仍保持为直线，此假设称为平面假设。,3、推论,（1）因两任意圆周线间的距离不变，故圆轴横截面上没有正应力存在；,（2）因
8、垂直于半径的小方格发生了相对错动，故圆轴横截面上必然存在切应力，且其方向垂直于半径。,4、切应力互等定理,假设在圆轴的表面处用横截面、 径向截面以及与表面平行的面截取 一微小的正六面体,根据平衡条件，有,由此得：,单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无 正应力的这种状态，称为纯剪切应力状态。,单元体两个相互垂直平面上的 切应力同时存在，且大小相等，都 指相（或背离）该两平面的交线。,二、剪切胡克定律,对于纯剪切应力状态的单元体， 在切应力 的作用下，单元体的直 角要发生微小改变，这个直角的 改变量 称为切应变。,大量的试验结果表明：若应力不超过一定的限度， 对于只承受纯剪切的单元体，切应
9、力与切应变之间 存在正比关系:,G为材料的切变(剪切)模量，单位为帕（Pa） 。,三、圆轴扭转时横截面上的应力,1、变形几何关系,可以求得距圆心为处的切应变为：,2、物理关系,由剪切胡克定律,同一圆周上各点剪应力 均相同 ， 且其值与 成正比， 与半径垂直。,3、静力学关系,令：,IP 为横截面对形心的 极惯性矩,则：,或：,从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处切应力计算公式:,横截面周边上各点处( = R)的最大切应力为:,引入:,式中Wp称为扭转截面系数，其单位为m3。,4、圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp,实心圆截面：,空心圆截面：,四、强度条件,此处t为材料的许用
10、切应力。对于等直圆轴亦即：,同拉伸和压缩类似，利用强度条件可以进行三类强度计算。,例题7.4 图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120 mm，BC段直径d2=100 mm。扭转力偶矩MA =22 kNm，MB =36 kNm，MC =14 kNm，材料的许用切应力t =80 MPa。试校核该轴的强度。,BC段内,AB段内,解：1. 绘扭矩图,2. 求每段轴的横截面上的最大切应力,3. 校核强度,需要指出的是，阶梯状圆轴在两段的连接处仍有应力集中现象，在以上计算中对此并未考核。,t2,max t1,max，但有t2,maxt = 80MPa，故该轴满足强度条件。,5-5 梁的弯曲应力强度条件,一、
11、纯弯曲,在AC和DB段，梁的横截面既有弯矩，又有剪力，这种情况称 为横力弯曲（剪切弯曲） 。,在CD段内，梁的横截面上 剪力为零，而弯矩为常量，这 种情况称为纯弯曲。,梁在纯弯曲变形时，横截面 上只有与弯矩有关的正应力。,二、梁在纯弯曲时的正应力,1、变形几何关系,作如下假设：梁的横截面变形后仍保持为平面，且垂直于变形后的轴线，即弯曲变形的平面假设。 (2) 纵向纤维间无挤压作用，各纵向纤维均处于单向受拉或受压状态。, 中性层,中性层：构件内部既不伸长也不收缩的纤维层。,中性轴：横截面与中性层的交线。,纵向线bb变形后的长度为:,bb 变形前的长度等于中性层,纵向线bb的应变为,即：纯弯曲时横
12、截面上各点的纵向线应变沿截面 高度呈线性分布。,中性层长度不变, 所以,2、物理关系,因为纵向纤维只受拉或压，当应力小于比例极限时，由胡克定律有:,即：纯弯曲时横截面上任一点的 正应力与它到中性轴的距离y成正比。 也即，正应力沿截面高度呈线性分布。,3、静力学关系,对横截面上的内力系，有:,根据静力平衡条件，纯弯曲梁的左侧只有对z轴的力偶矩M,，,即：,由:,z 轴通过形心,即：中性轴通过形心。,由:,因为y轴是对称轴，上式自然满足。,EIz 梁的抗弯刚度,将上式代入,由:,将弯矩M和坐标y按规定的正负号代入，所得到的正 应力若为正值，即为拉应力，若为负值，即为压应力。 在具体计算中，可根据梁
13、变形的情况来判断，即以中性 层为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力，而凹入边的 应力为压应力，此时,M和y可以直接代入绝对值。,在横截面上离中性轴最远的各点处，正应力最大。,令:,式中Wz称为扭弯截面系数，其单位为m3。,若截面是高为h宽为b的矩形，则：,若截面是直径为d的实心圆截面，则：,若截面是外径为D,内径是d的空心圆截面，则：,当梁上有横向力作用时,横截面上既又 弯矩又有剪力.梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲。,横力弯曲时,梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力使横截面发生翘曲,横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力,纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立。,虽然横力弯曲与纯弯
14、曲存在这些差异,但进一步的分析表明, 工程中常用的梁,纯弯曲时的正应力计算公式,可以精确的计算 横力弯曲时横截面上的正应力。,等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为,三、梁在横力弯曲时的正应力,四、梁的正应力强度条件,等直梁的最大正应力发生在最大弯矩所在的 横截面上距中性轴最远的各点处，因此建立梁 的正应力强度条件为：,即梁的最大弯曲正应力不超过材料的许用弯曲正应力,上式仅适用于许用拉应力与许用压应力相同的梁， 如低碳钢。但对于铸铁等脆性材料，它们的许用拉应 力低于许用压应力 ，则应按许用拉应力与许用压应 力分别进行强度计算。,例7.5 钢制等截面简支梁受均布载荷q作用，梁的横截面 为h=2b
15、的矩形,求梁的截面尺寸。,已知材料的许用应力,，,解：作弯矩图,危险截面在梁的中点，其值为,根据强度计算公式对梁进行正应力强度计算：,例7.6 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示.铸铁的抗拉许用应力为 t = 30MPa ,抗压许用应力为c =160MPa 。已知截面对形心轴z的惯性矩为 Iz =763cm4 , y1 =52mm,校核梁的强度。,F1=9kN,F2=4kN,A,C,B,D,1m,1m,1m,F2=4kN,B截面,C截面,解:,一. 杆件的组合变形及其分类,组合变形：除基本变形以外的其他形式的变形；也可以视为几种基本变形的组合。,5-6 组合变形构件的应力强度条件,组合变形
16、是属于小变形时，且材料是在线弹性范围内工作。,分析方法叠加法,将作用于杆件上的荷载分解或简化成几组荷载，每组荷载只产生一种基本变形；单独计算每一种基本变形下杆件的内力、应力和变形，结果叠加起来得到组合变形下的内力、应力和变形。,拉伸（压缩）与弯曲的组合变形,对于EI较大的杆，横向力引起的挠度与横截面的尺寸相比很小，因此，由轴向力引起的弯矩可以略去不计。可分别计算由横向力和轴向力引起的杆横截面上的正应力，按叠加原理求其代数和，即得在轴向拉伸(压缩)和弯曲组合变形下，杆横截面上的正应力。,上图悬臂梁受轴向拉力及均布荷载，以此为例来说明拉伸(压缩)和弯曲组合变形下的正应力及强度计算方法。,（1）该杆
17、受轴向力F 拉伸时，任一横截面上的正应力为,（2）杆受均布荷载作用时，距固定端为x 的任意横截面上的弯曲正应力为,（3）叠加得x截面上第一象限中一点A(y,z)处的正应力为,固定端截面有最大弯矩，为危险截面，按叠加原理，该截面的上、下边缘处各点可能是危险点，其正应力为,在这三种情况下，横截面的中性轴分别在横截面内、横截面边缘和横截面以外。,杆在拉伸(压缩)和弯曲组合变形下的强度条件为,例9-2 如图a所示托架，受荷载F =45kN作用。设AC 杆为工字钢，许用应力=160MPa，试选择工字钢型号。,解：取AC 杆进行分析，其受力情况如图b所示。,FAy=15kN, FBy=60kN, FAx=
18、FBx=104kN,AB段杆的变形是拉伸和弯曲的组合变形。,AC杆的轴力图和弯矩图如图c和d所示。B截面的上边缘各点处的拉应力最大，是危险点。强度条件为,因为 A和Wz都是未知量，无法由上式选择工字钢型号，通常是先只考虑弯曲应力，求出Wz后，选择Wz略大一些的工字钢，再考虑轴力的作用进行强度校核。,由弯曲正应力强度条件，求出,由型钢表，选22a 号工字钢， W z =309 cm3，A=42.0 cm2。考虑轴力后，最大拉应力为,N/m2,=170.4MPa,最大拉应力超过许用应力，不满足强度条件，可见22a号工字钢截面还不够大。,现重新选择22b号工字钢， W z =325cm3，A=46.
19、6cm2，此时的最大拉应力为,N/m2,=160.9MPa,此时，最大拉应力虽然超过容许应力，但超过不到5%，工程上认为仍能满足强度要求。,偏心拉伸（压缩）,当直杆受到与杆的轴线平行但不重合的拉力或压力作用时，即为偏心拉伸或偏心压缩。,偏心压缩,单偏,双偏,以横截面具有两对称轴的等直杆承受距离截面形心为e(称为偏心距)的偏心压力F为例，来说明。,将偏心压力F用静力等效力系来代替。把A点处的压力F向截面形心C点简化，得到轴向压力F和两个在纵对称面内的力偶My、Mz。,因此，杆将发生轴向拉伸和在两个纵对称面Oxz、Oxy内的纯弯曲。,在任一横截面上第一象限点 B(y,z) 处的正应力分别为：,轴力
20、FN=F 引起的正应力,弯矩Mz引起的正应力,弯矩My引起的正应力,(a) (b) (c),(a)图,(c)图,(b)图,按叠加法，得B点的正应力,A为横截面面积； Iz 、 Iy分别为横截面对z轴、 y轴的惯性矩。,利用惯性矩与惯性半径间的关系,B点的正应力表达式变为,取=0 ，以y0、z0代表中性轴上任一点的坐标，则可得中性轴方程,可见，在偏心拉伸(压缩)情况下，中性轴是一条不通过截面形心的直线。,求出中性轴在y、z两轴上的截距,对于周边无棱角的截面，可作两条与中性轴平行的直线与横截面的周边相切，两切点D1、D2，即为横截面上最大拉应力和最大压应力所在的危险点。相应的应力即为最大拉应力和最
21、大压应力的值。,对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在截面的棱角处,例中最大压应力和最大拉应力分别在截面的棱角D1、D2处。,危险点处仍为单轴应力状态，其强度条件为,例93 一端固定并有切槽的杆，如图a所示。试求最大正应力。,解：由观察判断，切槽处杆的横截面是危险截面，如图b所示。,（a） (b),对于该截面，F力是偏心拉力。现将F力向该截面的形心C简化，得到截面上的轴力和弯矩分别为,kN,m=(100.05)kNm=0.5kNm,m=(100.05)kNm=0.25kNm,A点为危险点，该点处的最大拉应力为,Pa=14MPa,截面核心,当偏心拉（压）作用点位于某一个区域时，横截面上只出现一种
22、性质的应力(偏心拉伸时为拉应力，偏心压缩时为压应力)，这样一个截面形心附近的区域就称为截面核心。对于砖、石或混凝土等材料（如桥墩），由于它们的抗拉强度较低，在设计这类材料的偏心受压杆时，最好使横截面上不出现拉应力。因此，确定截面核心是很有实际意义的。为此，应使中性轴不与横截面相交。,前面偏心拉（压）计算的中性轴截距表达式:,作一系列与截面周边相切的直线作为中性轴，由每一条中性轴在 y、z 轴上的截距ay、az，即可求得与其对应的偏心力作用点的坐标(yF,zF)。有了一系列点，描出截面核心边界。（一个反算过程）,矩形截面:,边长为a和b的矩形截面，y、z两对称轴为截面的形心主惯性轴。,得,将与
23、AB 边相切的直线看作是中性轴，其在y、z 两轴上的截距分别为,同理，分别将与BC、CD和DA边相切的直线、看作是中性轴，可求得对应的截面核心边界上点2、3、4的坐标依次为,当中性轴从截面的一个侧边绕截面的顶点旋转到其相邻边时，相应的外力作用点移动的轨迹是一条连接点1、2的直线。于是，将1、2、3、4四点中相邻的两点连以直线，即得矩形截面的截面核心边界。它是个位于截面中央的菱形。,斜弯曲,9.2.1 正应力计算,9.2.2 中性轴的位置、最大正应力和 强度条件,工程中，外力不作用在梁的纵向对称平面（或形心主惯性平面）内，梁变形后轴线不位于外力作用平面内，这种弯曲称为双向弯曲或斜弯曲。,斜弯曲是
24、两个相互正交的平面弯曲的组合。,双向弯曲,正应力计算,设F 力作用在梁自由端截面的形心, Fy、Fz为F沿两形心轴的分量，杆在Fy和Fz单独作用下，将分别在xy平面和xz平面内产生平面弯曲。,F与竖向形心主轴夹角为,在梁的任意横截面上，由Fy和Fz引起的弯矩为,力F引起的x截面上的弯矩。,（1）在Fy单独作用下,（2）在Fz单独作用下,考察距固端为x的横截面上A点的正应力：,， 分别为Fy和Fz在A点处引起的正应力,应用叠加法,中性轴的位置、最大正应力和强度条件,设中性轴上任一点的坐标为y0和z0 。因中性轴上各点处的正应力为零，即,因M0，故,中性轴方程,上式表明，中性轴是一条通过横截面形心
25、的直线。,设中性轴与z 轴成 角，则由上式得到,对矩形截面，IyIz，即，因而中性轴与F力方向并不相互垂直。这是斜弯曲的一个重要特征。,对圆形、正多边形截面，Iy=Iz，即=，中性轴与F力方向垂直，即是平面弯曲。,横截面上的最大正应力，发生在离中性轴最远的点。,角点b产生最大拉应力，角点c产生最大压应力，分别为,对于有凸角的截面，例如矩形、工字形截面，根据斜弯曲是两个平面弯曲组合的情况，最大正应力显然产生在角点上。,对于没有凸角的截面，可用作图法确定产生最大正应力的点。,如图所示椭圆形截面，当确定了中性轴的位置后，作平行于中性轴并切于截面周边的两条直线，切点D1和D2即为产生最大正应力的点。,
26、危险点处于单向应力状态，故强度条件：,例91 如图所示悬臂梁，采用25a号工字钢。在竖直方向受均布荷载q=5kN/m 作用，在自由端受水平集中力F =2kN作用。已知截面的几何性质为：I z =5023.54cm4，W z =401.9cm3，I y =280.0cm4，W y =48.28cm3。试求梁的最大拉应力和最大压应力。,解：均布荷载q 使梁在xy平面内弯曲，集中力F使梁在xz平面内弯曲，故为双向弯曲问题。两种荷载均使固定端截面产生最大弯矩，所以固定端截面是危险截面。由变形情况可知，在该截面上的A 点处产生最大拉应力，B 点处产生最大压应力，且两点处应力的数值相等。,N/m2,=10
27、7.7MPa,MPa,3、应力状态和强度理论简介,一点应力状态：该点处单元体各截面上的应力情况。,一点微元（有结构，不同于数学点）应力六面体各面上皆有应力（正，切）,微 元或单元体 无穷小正六面体,dx，dy, dz 0,状态,分布 - 均匀,对应量 - 相等,对面正应力,邻面切应力,单向应力状态,纯剪应力状态,平面（二向）应力状态,三向（空间）应力状态,强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。,为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出 的关于材料破坏原因的假设及计算
28、方法。,构件由于强度不足将引发两种失效形式,(1) 脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。,关于屈服的强度理论： 最大切应力理论和形状改变比能理论,(2) 塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。,关于断裂的强度理论： 最大拉应力理论和最大伸长线应变理论,1、最大拉应力理论（第一强度理论）(Maximum Tensile-Stress Criterion),最大拉应力 是引起材料脆性断裂的原因,适用于脆性材料，如铸铁、陶瓷、工具钢等。,
29、铸铁拉伸,铸铁扭转,2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）,引起材料发生脆性断裂的主要因素是最大伸长线应变max，无论材料处于何种应力状态，只要构件危险点处的最大伸长线应变max= 1达到某一个极限值u时，就会引起材料的脆性断裂。,破坏条件可写为：,考虑安全系数后，可得在复杂应力状态下的强度条件为：,此强度理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合;脆性材料如合金铸铁，低温回火的高强度钢和石料等是大致符合的。,3、最大切应力理论（第三强度理论）,引起材料发生塑性屈服的主要因素是最大切应力max，无论材料处于何种应力状态，只要构件中的最大切应力达到某一个极限值 u时，就会引起材料的塑性屈服。,极限切应力可通过拉抻试验测定，其值为屈服时试件横截面上的正应力的一半，即：,此强度理论适用于塑性材料，如Q235，45钢，铜，铝等,低碳钢拉伸,低碳钢扭转,4、形状改变比能理论（第四强度理论）,该理论认为：使材料发生塑性屈服的主要原因，取决于形状改变比能，也就是说，无论材料处于何种应力状态，只要当其形状改变比能达到某一极限时，就会引起材料的塑性屈服；而这个形状改变比能的极限值，则可通过简单拉伸试验来测定,材料的破坏条件和强度条件分别为：,四个强度理论而建立的强度条件可归为如下统一形式：,
