1、习 题 一 解 答. 设、表示三个随机事件，试将下列事件用、及其运算符号表示出来：(1) 发生，、不发生；(2) 、不都发生，发生；(3) 、中至少有一个事件发生，但不发生；(4) 三个事件中至少有两个事件发生；(5) 三个事件中最多有两个事件发生；(6) 三个事件中只有一个事件发生解：（1） (2) (3) (4)CBACBABCA(5) (6). 袋中有 15 只白球 5 只黑球，从中有放回地抽取四次，每次一只设 表示“第 ii次取到白球” （i1，2，3，4 ） ，表示“至少有 3 次取到白球” 试用文字叙述下列事件：(1) ， (2) ,(3) ， (4) 1iAAB32A解：（1）至
2、少有一次取得白球（2）没有一次取得白球（3）最多有 2 次取得白球（4）第 2 次和第 3 次至少有一次取得白球. 设、为随机事件，说明以下式子中、之间的关系(1) （2）解：（1） (2)AB. 设表示粮食产量不超过 500 公斤，表示产量为 200-400 公斤 ，表示产量低于300 公斤，表示产量为 250-500 公斤，用区间表示下列事 件：(1) ， (2) ，(3) ，(4) ，(5) CCDB)(BA解：(1) ; (2) (3) (4) (5)450,230,2450,30,220,. 在图书馆中任选一本书，设事件表示“数学书” ，表示“中文版” ， 表示“ 1970 年后出版
3、” 问：(1) 表示什么事件？(2) 在什么条件下，有成立？(3) 表示什么意思？C(4) 如果 ，说明什么问题？A解：（1）选了一本 1970 年或以前出版的中文版数学书（2）图书馆的数学书都是 1970 年后出版的中文书（3）表示 1970 年或以前出版的书都是中文版的书（4）说明所有的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书. 互斥事件与对立事件有什么区别？试比较下列事件间的关系(1) X 20 与 X 20 ；(2) X 20 与 X 18 ； (3) X 20 与 X 25 ；(4) 5 粒种子都出苗与 5 粒种子只有一粒不出苗；(5) 5 粒种子都出苗与 5 粒种子至
4、少有一粒不出苗解：（1）对立; (2)互斥；（3）相容；（4）互斥；（5）对立(古). 抛掷三枚均匀的硬币，求出现“三个正面”的概率解： 125.0823p（古）. 在一本英汉词典中，由两个不同的字母组成的单词共有 55 个，现从26 个英文字母中随机抽取两个排在一起，求能排成上述单词的概率解： 0.0846256p（古）. 把 10 本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率是多少？解：首先将指定的三本书放在一起，共 种放法，然后将 进行排列，共有 种不!38)1(7!8同排列方法。故 0.06715906!83p（古）10. 电话号码由 6 位数字组成，每个数字可以是 0，1，
5、2，3，4，5，6，7，8，9 共 10 个数字中的任何一个数字（不考虑电话局的具体规定） ，求：(1) 电话号码中 6 个数字全不相同的概率；(2) 若某一用户的电话号码为 283125 ，如果不知道电话号码，问一次能打通电话的概率是多少？解：(1) ，(2) 152.06Pp610p（古）11. 50 粒牧草种子中混有 3 粒杂草种子，从中任取 4 粒，求杂草种子数分别为0，1，23 粒的概律解： ,210,/450273kCkXPk（古）12. 袋内放有两个伍分、三个贰分和五个壹分的硬币，从中任取五个，求钱额总和超过一角的概率解：设 为事件“钱额总和超过一角” ，则 =两个五分其余任取
6、3 个+一个五分 3 个两分AA一个一分+一个五分 2 个两分 2 个一分，故：0.5253153138510)( CCP（古）13. 10 把钥匙中有 3 把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率解： ，或 0.5317210)(CA 158306170)(AP（古）14. 求习题 11 中至少有一粒杂草种子的概率解：本题与 11 解法有关，即为 2.)(1X（几）15.有一码头，只能停泊一艘轮船，设有甲、乙两艘轮船在 0 道 T 小时这段时间内等可能地到达这个码头，到后都停 小时，求两船不相遇的概率1T解：设 分别为甲、乙船到达码头的时刻，A 为事件“两船相遇” 。则yx,， 。yT0,|
7、)( 1|),(TyxA所求概率为 22121)( TP（几）16.（蒲丰投针问题）设平面上画着一些有相等距离 2a（a0）的平行线。向此平面上投一枚质地均匀的长为 2l(la=PXb=0.64; (5)X 分布函数。解：(1) = + +dxf)(010cxd0= cxdx10=1所以，解得C=2(2) P0.3 1 时， ,1a故，a 不可能小于 0 或大于 1；当 0a1 时， 2 20(),()aaaaPXfxdxPXfxdx 所以， ，即得：a21（4）由题设可知，b 的取值范围为：0b1，所以 b0.612()0.64bbPXfxdx（5）当 x 1 时，F(x) 120xdx20
8、,()1,1Fx12.解：由题设可知，把 X 的分布函数的取值范围分为四段：当 x -1 时，F(x)0；当-1 1 时，F(x)1 0,1106(),211xFxx13.解：（1）PX 2 F(2) 1 e 2 0.8647 ；PX 2 1PX 21-0.86470.1353；（2）设 X 的密度函数为 f(x).当 X a1PX 1 时，f(x,y)=0 所以 0)(dyxfX当 时，1214),()(1dyxffX于是得关于 X 的概率密度为 其 它012)(xf同理可得关于 Y 得概率密度为 其 它012)(yyf，故 X 和 Y 是相互独立。()(,)XYfxffx（2）因为（X，Y
9、）服从均匀分布，故 其 它01),( 22Ryyxf当 xR 时，所以 ),(yxf 0)(dyxfX当 时，2_21)(xRX Rdf 即 其 它02)(2RxRxxfX同理得： 其 它021)(2_ 2RyRydxyfyRY , ,故 X 和 Y 不相互独立。()()XYfxffy12.设 X 和 Y 相互独立，它们的概率密度分别为1,0,0,()()yYxefxf，其 他 ，求 ZXY 的概率密度.解：因为 X 和 Y 相互独立，所以有dxzfxzfYXZ)()(当 时100()1zxzZfe当 时z10()()xzzZfde,1)(,)其 他zezfZ13.设随机变量（X，Y）的概率密
10、度为，eyxyxf21),(yx,求 的概率密度。2Z解：Z 的分布函数为2() (,)GFzPZzXYzfxyd式中，G 是 xOy 平面内由不等式 所确定的区域，xy当 z0 时， 2()(,)zZxFfydx再用极坐标来求积分 2 220 011r rz zZzdreded求导得 2zf所以20, 01zZZ zfzFe14 设（X，Y）的分布密度为其 他,00,),()(yxyxfy求 Z= 的概率密度。2解：Z 的分布函数为 2()(,)2ZxyzXYFzPfdxy当 时， ；00Z当 时，z2() 20()1zyxzZFede所以 zZzf24)(综上得20()Zzfze15设（X
11、,Y）的联合分布密度为 ,0,1,3(,)0kxyyf ， 其 他求 k 值。解：由概率密度 的性质 ，),(yxf (,)(,)1fxydF由题意得，3313321001 12(,)()4kykyfxydyxddk（所以 k= 。216 求 15 题中 X 和 Y 的边缘分布。解 （1）因为当 x1 时，f(x,y)=0,所以 0)(dyxfX当 时，032311()(,)|24Xffxydx（2） 因为当 y3 时，f(x,y)=0,所以 0)(dxyfY当 时，13 yxydxyfyfY 41|21),()( 020由上可知 2()13()40XYfxyyf其 它其 它习 题 四 解 答
12、1. 解：由数学期望的定义知： iEX=-10.2+.310.42.=P因为 23X5 3 5 11X -1 0 1 2P 0.2 0.3 0.4 0.1所以 23X3 5 11P 0.3 0.6 0.1从而由期望和方差的定义知：2E(+3)=0.5.6+10.=52DXE2 22(-1.4).(-.4).3(-.4).+(-0.4).1=0.842. 解：甲品种母猪产仔的期望为 iEX=P70.3+8.590.8+1.60.2+1.30.14 144=11.39乙品种母猪产仔的期望为 iEY=P11.92由于 ， 因此乙种母猪平均产仔数多。EX3. 解：设在取得合格品以前已取出的废品数为 X
13、，则 X 的可能取值为 0，1，2，3且 9124CP70.4+8.690.7+1.0.15+2.6130.4 12561392914CPX1391203201391201920CPX则其分布率为X 0 1 2 3P 349490120 3 + 2 + =01E20192X223.10DEX()0.56X4.解：设孵出小鸡的个数为 X，则 50,.9B50.94Enp1.DXq= =2.12().5.解：(1) )*(XEED()()XEED(0()(2) *2*22()()01()(DXEXXD6.解： =()Exfd 215030215xxdd=15007设测量真实值为 Y,则 ，故 X=
14、Y-(m+0.5)mY此时候， ，且 Y 在m,m+1之间是均匀分布，因为取每一个点的可能性0.5.X相同，于是 故(,05).U:2()0.5.)1EDX8. (1)由规范性 9031()()1360,k6fxdxxd故（2）903()09)60EXxfxd9. ()EXxfd= 011022xxeed= )0|)(210|(21 xxxx ee= =022()()EXxfd= dxeex210102= )0|)(|( 222 dxexxx = )|(0)1(|20|(1xxxxe=1+1=2220DXEX10. 解：由题意有0()teftFt按定义有= =()()0tETtfded dtet 0| 122()tt= 0|)()(0ttede= 2由公式 2221DTET11.解：设球的直径为 ，则 ,RUab
