1、1从特殊到一般 由结果探条件也谈一个三角形分割成两个等腰三角形的条件问题 1 如图 1，图 2，有两个三角形图 1 中三角形的内角分别为 10，20，150；图 2 中三角形的内角分别为 80，25，75你能把每一个三角形分成两个等腰三角形吗？画一画，并标出各角的度数答案 图 1 中作 20角的角平分线；图 2 中以 75角的顶点为顶点，一边为边向三角形内作 25的角（画图略 ）在让学生探究之后，笔者提出了两个问题：(1)从以上两个分割中，你能得出那些分割的经验？(2)试着再给出一个三角形的三个角度，使得这个三角形也能被分割成两个等腰三角形学生 1：要分割一个三角形应从较大角出发去分割，但不一
2、定是从最大角出发进行分割学生 2：分割时要从较大角中分割出一个与另外一个角相同的角出来，这样才能出现一个三角形，再来分析另一个三角形是不是等腰三角形对于问题(2)，学生写出了不少情形，如 20，40 ，120；30 ，60，90；40，60，80还有学生提出只要是直角三角形就能分割出两个等腰三角形学生思考之后，笔者再次提出问题：问题 2 一个三角形的三个内角满足什么条件时，可以用过顶点的直线将它分割成两个等腰三角形？如何分？经过探究得出了以下分析过程：假设一个三角形能被过一个顶点的直线分成两个等腰三角形，设这条直线与对边交于点 O，在三角形内点 O 处分出两个角，这两个角可能为两个直角或者为一
3、个钝角一个锐角，因此可分两种情况讨论：1当 O 点分出的两个角都是直角时，如图 3，这时这两个角都必须是分出的两个等腰三角形的顶角，因此这两个等腰三角形就是等腰直角三角形，显然可得原三角形的三个内角为 45，45，902当 O 点分出的两个角为一个钝角一2个锐角时，钝角必定是其中一个等腰三角形的顶角，而另一个锐角可以是另一个等腰三角形的顶角或是底角，因此再分两种讨论：当锐角也是顶角时，如图 4，可设分出来的两个等腰三角形的底角度数分别为 和 ，所以原三角形的三个角的度数为 ， ，此时由三角形的内角和定理可知90，即原三角形为直角三角形，分割方法是沿斜边上的中线分割成两个等腰三角形显然这种情况可
4、以将情况 1 包含其中，当锐角是右边等腰三角形的底角时，设左边的等腰三角形的两个底角度数为 ，由三角形的外角性质可得这个底角为 2，所以此等腰三角形中还有一个角的度数为2，如图 5，如图 6，还有两种情况：(i)如图 5，再设该等腰三角形的第三个角的度数为8，可得原三角形的三个角的度数为 ，3，因为 3180，可得 045分割方法为将 3 分出一个 与原 角构成一个等腰三角形，另一个三角形也是等腰三角形(ii)如图 6，再设该等腰三角形的第三个角的度数为 ，可得原三角形的三个角的度数为 ，2c，因为 2180，可得 0 45分割方法为将 分出一个 与原 角构成一个等腰三角形，另一个三角形也是等
5、腰三角形综上所述，一个三角形能分割成两个等腰三角形共有三种情况：情形 1 有一个内角为 90，沿原三角形斜边上的中线分割成两个等腰三角形情形 2 当三个角为 ，3，(045 )，将 3 分出一个 与原 角构成一个等腰三角形，另一个三角形必是等腰三角形 情形 3 当三个角为，2，(045)，将 分出一个 与原 角构成一个等腰三角形，另一个三角形也必是等腰三角形需要说明的是当一个三角形同时满足上述三种情形中的多种情形时，那么分割的方式可能有多种3根据这一个结果可进一步研究下面的问题：问题 3 在等腰三角形中，当三个内角分别为多少度时可以过一个顶点画一条直线将原等腰三角形分成两个等腰三角形？引导学生
6、将问题 2 中的结论直接用到此题中：对于情形 1，显然原三角形为等腰直角三角形，三个角为 45，45，90对于情形 2，三个内角 ，3，(0 45)中有两个角相等，有两种情况：(i)可能为 ，此时 3180，可得 36，此时三个内角的度数分别为 36，36，108(ii)可能为 3，此时 33180，可得 ，此时三个内角的1807度数分别为 ， ， 18075407对于情形 3，三个内角 ，2，(0， 45)中，有两个角相等只可能为2，22180，可得 36，此时三个内角的度数分别为360，720，720综上所述，当等腰三角形的三个角分别为 45，45，90；36，36，108；， ， ；36，72，72时，可以将原等腰三角形分割成两个等18075407腰三角形探究反思 1关于分割出等腰三角形的问题，对于八年级的学生而言是有一定难度的，笔者先从两个特例出发，让学生经历探究的过程，并通过两个思考题让学生分享探究的经验，这为问题 2 提供了研究的方向，这种从特殊到一般的研究方法是数学中常用的研究方法2该问题在探究中既可以从某个角出发进行分割，然后分类讨论，也可以假设已经分出两个等腰三角形，对可能出现哪些情况进行分类讨论此题从假设出发，对在 D 点出分割出的两个角进行讨论，可以简化分类，而且也为问题 3 的解决提供依据
