1、第 6 章 随机信号的相关和功率谱分析,6.1 随机信号基本概念 6.2 信号的幅值域分析 6.3 相关分析及其应用 6.4 功率谱分析及其应用,6.1 随机信号的基本概念,1.样本函数、样本记录、随机过程,随机过程与样本函数,对随机信号按时间历程所作的各次长时间的观测记录称作样本函数，记为xi(t),在同等试验条件下，全部样本函数的集合(总体)就是随机过程，记作 x(t),在有限区间内的样本函数称作样本记录,2. 集合平均和时间平均,随机过程与样本函数,随机过程的某个统计参数，如均值、方差、均方值和均方根值等，是按随机过程x(t)中所有样本函数xi(t)在ti时刻的观测值进行运算再取其平均的
2、方法，称为集合平均。,随机过程中t1时刻的均值,在t1时刻的均方值,随机过程与样本函数,计算随机过程对某个统计参数时，仅利用随机过程x(t)中第i个样本函数xi(t)，当观测时间T时，对所有观测值进行运算再取其平均的方法称为时间平均。,随机过程第i个样本的均值,随机过程第i个样本的均方值,3. 随机信号的主要特征参数,描述各态历经随机过程的主要特征参数有,均值 、,均方值 、,方差,描述信号在幅值域中强度方面的特征,概率密度函数描述信号在幅值域中的特征；,自相关函数描述信号在时延域中的特征；,功率谱密度函数描述信号在频域中的特征,描述两个或两个以上各态历经随机信号之间的相互依赖程度：,(1)
3、联合概率密度函数； (2) 互相关函数； (3) 互谱密度函数和相干函数。,4. 随机过程的分类,6.2 信号的幅值域分析,1. 统计特征参数,均值,均方值,均方根值,方差,均值、方差和均方值之间的关系,A,0,t,均值：反映了信号变化的中心趋势，也称之为直流分量。,均值,方差：反映了信号绕均值的波动程度。,t,x(t),方差,2.均值、均方值和方差的估计,均值,均方值,方差,p(x)的计算方法,3. 概率密度函数,以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现的概率为纵坐标进行统计分析的方法。它反映了信号落在不同幅值强度区域内的概率情况。,2. 概率分布函数,概率分布函数是信号幅值小于或等于某值R
4、的概率，其定义为：,概率分布函数又称之为累积概率，表示了落在某一区间的概率。,6.3 相关分析及应用,1.相关的概念,相关：指两变量之间的线性关系,人的身高和体重的关系,确定性信号：两个变量 t、y之间用函数关系来描述y=10sin(2 t+ 0),(a),(b),(c),波形相似程度分析,四种波形的相似比较,如果Q=0，则两信号波形完全相等； 如果Q的数值小，表示两个信号波形差别不大而相似； 如果Q的数值大，表示两个信号波形差别大而不相似。,R的数值大，Q就小，其意义表示两个信号的相似性较好，反之则相似性差。,波形相似程度分析,R的数值大，Q就小，其意义表示两个信号的相似性较好，反之则相似性
5、差。,2.相关函数和相关系数,随机变量x(t)和y(t)在不同时刻的乘积平均来描述它们之间的线性相关程度，称为相关函数，表示为：,式中，(-, )，表示时间位移，或时延，为连续变量，与t无关。,(3-1),(1).相关函数,用相关系数表示两个变量x、y之间的相关程度,(3-2),|xy|1,当xy=1时，则随机变量x、y具有理想的线性关系,当xy=0时，两随机变量x、y完全不相关,例如，玻璃管温度计液面高度(Y)与环境温度(x)的关系就是近似理想的线形相关，在两个变量相关的情况下，可以用其中一个可以测量的量的变化来表示另一个量的变化。,(2).相关系数,设y(t+)是y(t)时延后的样本，对于
6、x(t)和y(t+)的相关系数,简写为xy(),(3-1),(3-2),(3).相关函数和相关系数的关系,(3-3),推导,(3-4),设x(t)是各态历经随机过程的一个记录样本，而x(t+)是x(t)时移后的样本。令x(t) x(t)，y(t+) x(t+)，则得到x(t)的自相关函数Rx(),自相关函数：描述随机过程一个时刻的幅值与另一个时刻幅值之间的依赖关系。或者说，现在的波形与时间坐标移动了之后的波形之间的相似程度。,3.自相关函数,(3-1),(3-3),自相关系数x(),(3-5),(3-6),(1).自相关函数的性质,1） Rx()的值限制范围为,(3-7),2) Rx()为偶函
7、数,t+ t,(3-4),(3-6),(3-2),自相关函数的性质,d(t+)=d(t),(3-8),3）当时延=0时，Rx(0)达到最大值。即Rx(0) | Rx()|,(3-4),(3-5),(3-9),(3-10),自相关函数的性质,x(t)在同一时刻的记录样本完全成线性,4） 当时，x(t)和x(t+)之间不存在内在联系，彼此无关,(3-4),(3-5),如果均值x=0，则Rx() 0。,(3-11),(3-12),自相关函数的性质,x(t)与x(t）彼此无关,5）当信号x(t)为周期函数时，自相关函数Rx()也是周期的，且周期相同,若周期函数为x(t)= x(t+nT)，则其自相关函
8、数为,(3-4),(3-13),t t+nT,例6-1：求正弦函数x(t)x0Sin(t+)的自相关函数。,(3-14),保留幅值和频率信息，丢失初始相位信息,推导,自相关函数Rx()的应用,可根据自相关图的形状来判断信号的性质,由性质5）知，周期信号的自相关函数仍为周期信号，时，Rx()不衰减且周期与原周期一致；而对随机信号，当时，Rx()衰减0(x=0)。,利用自相关函数进行机械设备的故障诊断,(3-13),a)正弦波加随机噪声信号,b)正弦波加随机噪声信号的自相关函数,四种典型信号及其自相关函数,自相关分析测量转速,理想信号,干扰信号,实测信号,自相关系数,提取周期性转速成分。,Ra(t
9、)呈周期性,分析造成机械加工表面的粗糙度的原因,4.互相关函数,对于各态历经随机过程，两个随机信号x(t)、y(t)的互相关函数定义为,互相关函数Rxy()描述一个系统中的一处测点上所得的数据x(t)与同一系统的另外一测点数据y(t)互相比较得出它们之间的关系。也就是说，Rxy()是表示两个随机信号x(t)、y(t)相关性的统计量。,(3-15),互相关系数,(3-16),|xy()|1,当xy()=1时，则随机变量x、y具有理想的线性关系,当xy()=0时，两随机变量x、y完全不相关,1）互相关函数的限制范围为,xy-xyRxy() xyxy,|xy()| 1,(3-16),(3-18),(
10、3-17),互相关函数的性质,(1).互相关函数的性质,2) 互相关函数是可正、可负的实函数,x(t)和y(t)均为实函数，Rxy()也应当为实函数。在=0时，由于x(t)和y(t)可正、可负，故Rxy()的值可正、可负,3) 互相关函数非奇函数、非偶函数，而是Rxy()= Ryx(-),(3-19),互相关函数的对称性,(3-15),令 t-t,d(t-)=d(t),4) Rxy()的峰值不在=0处，其幅值偏离原点的位置反映了两信号时移的大小，相关程度最高，,在0时，Rxy()出现最大值，它反映x(t)、y(t)之间主传输通道的滞后时间。,互相关函数的性质,峰值点,5）两个不同频率的周期信号
11、，其互相关函数为零,x(t)x0Sin(1t+)，y(t)y0Sin(2t+-),不同频率不相关,推导,(3-20),6）两个同频率正弦函数的互相关函数Rxy() ：,求x(t)=x0Sin(t+)，y(t)=y0sin(t+-)互相关函数Rxy(),互相关函数不仅保留了两个信号的幅值x0、y0信息、频率信息，而且还保留了两信号的相位差信息,同频率正弦相关,推导,(3-21),7）周期信号与随机信号的互相关函数为零,由于随机信号y(t+)在时间tt+内并无确定的关系，它的取值显然与任何周期函数x(t)无关，因此，Rxy()=0。,8）两个统计独立的随机信号，当均值为零式，则Rxy()=0,将随
12、机信号x(t)和y(t)表示为其均值和波动部分之和的形式，即,当x=y=0时，Rxy()=0,(3-23),相关函数的性质,（1）自相关函数是 的偶函数，RX()=Rx(- )； （2）当 =0 时，自相关函数具有最大值。 （3）周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信 号，但不保留原信号的相位信息。 （4）两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号，且保留原了信号的相位差信息。 （5）两个非同频率的周期信号互不相关。 （6）随机信号的自相关函数将随 的增大快速衰减。,(2).互相关函数Rxy()的工程应用,1) 确定信号通过一给定系统所需要的时间,一个信号x(t)经过测试系统后输出y(t)
13、的时间0，这个时间就是由Rxy()的互相关图中峰值的位置来确定,利用互相关分析确定信号通过系统的时间,互相关函数的性质,2）消除噪声影响，提取有用信息,利用互相关分析仪消除噪声的工作原理图,a)正弦波加随机噪声信号,b)正弦波加随机噪声信号的自相关函数,3）对复杂信号进行频谱分析,利用互相关分析仪分析信号频谱的工作原理图,x(t)x0Sin(t+)，y(t)y0sin(t+-)的互相关函数,x(t)x0Sin(1t+)，y(t)y0Sin(2t+-)的互相关函数,(3-21),(3-20),4）地下输油管道漏损位置的探测,S1-S2=vm,S1-S2=2S,1,2,S1,S2,传输通路分析,5
14、) 寻找振源故障诊断,1. 巴塞伐尔(Paseval) 定理,在时域中计算的信号总能量，等于在频域中计算的信号总能量，,(3-24),6.4 功率谱分析及应用,沿频率轴的能量分布密度,2.自谱和互谱,(1).自谱定义,Sx(jf)包含着Rx()的全部信息。,Rx()为实偶函数，Sx(jf)也为实偶函数。,(3-25),(3-26),(2).互谱定义,Sxy(jf)保留了Rxy()的全部信息,Rxy()为非奇非偶函数，因此Sxy(jf)具有虚、实两部分,(3-27),(3-28),(3-26),(3-29),所以,信号x(t)的功率,(3-30),无数不同频率上的功率密度,1）,(3-31),(
15、3-4),(3).自谱的物理意义,Sx(jf)自功率谱密度函数,(3-25),自功率谱密度函数是偶函数，它的频率范围是(-, )，又称为双边功率谱密度函数。,单边谱和双边谱,可用在(0, )频率范围内的单边功率谱密度函数来表示信号的全部功率谱，即,(3-32),2）,3)自功率谱密度函数Sx(jf)和幅值谱X(jf)的关系,信号的平均功率,(3-24),(3-31),(3-32),(3-33),(3-34),直接对时域信号作傅立叶变换来计算功率谱,1) 求系统幅频特性|H(jf)|,理想单输入、输出系统,Y(jf)=H(jf) X(jf),Sy(jf)=|H(jf) |2 Sx(jf),Gy(
16、jf)=|H(jf) |2 Gx(jf),Sxy (jf)=H(jf) Sx(jf),可以证明,(3-35),(3-36),(3-37),式(3-35)和(3-36)表明：,通过输入、输出的自谱分析，就能得出系统的幅频特性，不能得到系统的相频特性,由式(3-37)可知：,从输入的自谱和输入、输出的互谱就可以得到系统的频率响应函数,所得到的H(jf)不仅含有幅频特性而且含有相频特性,(3).功率谱的应用,2) 互谱排除噪声影响,受外界干扰的系统,系统的输出y(t)为,输入x(t)和噪声n1(t)、n2(t)和n3(t)是独立无关的,互相关函数 、 和 均为零,所以,式中，H(jf)= H1(jf
17、) H2(jf),(3-38),输入x(t)和输出y(t)的互相关函数为,(3-39),(3-40),(3-41),评价测试系统的输入信号与输出信号之间的因果关系，,判断系统中输出信号的功率谱中有多少是所测输入信号所引起的响应,用相干函数表示,(3-42),2xy (j)=0：输出、输入信号不相干,2xy (j)=1：输出、输入信号完全相干,2xy (j) 0，1：有如下三种可能,测试系统有外界噪声干扰；,输出y(t)是输入x(t)和其它输入的综合输出；,联系x(t)和y(t)线性系统是非线性的.,3.相干函数,若系统为线性系统,(3-41),Sy(jf)=|H(jf) |2 Sx(jf),(
18、3-35),(3-42),表明：对于线性系统，输出完全是由输入引起的响应,船用柴油机润滑油泵压油管振动和压力脉动间的相干分析,油压脉动自谱,油管振动自谱,相干函数的应用,设y(t+)是y(t)时延后的样本，对于x(t)和y(t+)的相关系数,简写为xy(),(3-1),(3-2),相关函数和相关系数,返回,例1：求正弦函数x(t)x0Sin(t+)的自相关函数。,正弦函数,正弦函数的自相关函数,(3-14),它保留了变量x(t)的幅值信息x0和频率信息，但缺丢掉了初始相位信息。,自相关函数的性质,返回,5）两个不同频率的周期信号，其互相关函数为零,x(t)x0Sin(1t+)，y(t)y0Si
19、n(2t+-),互相关函数Rxy()的性质,返回,(3-20),两个同频率正弦函数的互相关函数Rxy() ：,求x(t)x0Sin(t+)，y(t)y0sin(t+-)互相关函数Rxy(),互相关函数不仅保留了两个信号的幅值x0、y0信息、频率信息，而且还保留了两信号的相位信息,返回,(3-21),6) 两个同频率正余弦函数不相关,x(t)x0Sin(t)，y(t)y0cos(t),返回,(3-22),自相关函数,互相关函数,(3-43),(3-44),自相关函数,互相关函数,有限时间内观测得到的样本函数的平均值,有限长采样的序列点N的数字信号,(3-45),(3-46),相关函数估计,1）根
20、据原始信号计算相关函数，然后进行傅立叶变换,(3-25),(3-27),2）模拟方法,(3-33),中心频率为、带宽为B的带通滤波器滤波后的时域信号 ：,(3-31),因此，进行功率谱估计时：,自谱的模拟分析原理框图,互谱估计,(3-32),(3-47),3）数学信号处理技术估计,(3-34),得离散随机序列x(n)的自功率谱密度为,其估计为,对于互谱为：,(3-47),返回,1）用一个固有频率为1200Hz的振动子去记录某基频为600Hz的方波信号，试分析记录结果，并绘出记录波形的示意图。 2) 对三个简单周期信号x1(t)=cos2 t，x2(t)=cos6 t，x3(t)=cos10 t
21、进行理想采样，采样频率fs=4Hz。要求 画出的波形及采样点位置。 画出三个信号的采样输出序列。 比较三个输出序列，解释频率混叠现象。 3）在数字信号处理过程中，混叠是什么原因造成的？如何克服混叠现象？泄漏又是因何而起？如何减少泄漏误差？,习题,4）已知某信号的自相关函数为:Rx( )=Acos0t，试确定该信号的平均功率和标准差。5）试求正弦信号x(t)=sin0t和基频与之相同的周期方波信号y(t)的互相关函数。其中，,2）现用FC6-30型振动子去记录10Hz的正弦信号，信号的幅值为2V，要求在记录纸上偏转50mm。试求需串、并联的电阻值(设信号源的内阻为200),大学生创新研究训练计划 机械设备状态巡检系统开发,对测试及软件开发感兴趣 至少学过一门计算机语言 最好熟悉VB和数据库 最好有自己的电脑 学习较好，稳重，自信 新实验楼212（校办工厂内部）,作业,P83 3-18、 3-19、 3-20,
