1、第七章 柱形杆问题,第七章柱形杆问题, 7-1 圣维南问题 7-2 柱形杆扭转问题的基本解法 7-3 反逆法与半逆法，扭转问题解例 7-4 薄膜比拟 7-5 柱形杆的一般弯曲,目 录,本章用弹性力学方法分析材料力学中人们最熟悉的杆，柱，梁，轴等部件的应力应变状态。对于均匀拉压，纯弯和圆轴扭转问题，材料力学解是精确的。对于一般弯曲和非圆截面扭转问题，弹性力学将提供更通用的解法和更精确的结果。柱形杆问题是最早应用圣维南原理的典型例子。,第七章柱形杆问题,将一个平面图形（又称截面）沿通过其形心且垂直于该截面的直线（又称形心轴）平移所得到的细长物体称为柱形杆或等直杆。它是工程中最常用的一类结构部件。在
2、材料力学中，相应于拉，压，弯，扭等不同受载情况，分别称之为杆，柱，梁，轴。,图1所示任意截面形状的实心柱形杆。令z为形心轴，x，y为截面的形心主轴。对称截面的形心主轴就是其对称轴。由平行于z轴的母线AA沿截面边界绕行一周所生成的侧面。,图 1, 7-1 圣维南问题,考虑柱形杆仅受端部截面的情况，这时杆内体力为零，侧面自由。,考虑柯西公式，侧面 的力边界条件为,利用剪应力互等原理把第三方程中的 和 改成作用在横截面上的剪应力 和 （见图2）得,（1）, 7-1 圣维南问题,图 2,此式表示边界处剪应力的法向分量 ,因而横截面上剪应力在边界处沿边界线的切线方向。由剪应力互等得 ，这与“侧面自由”假
3、设相一致。,在杆的两端，通常只知道端部载荷的合力和合力矩，不能逐点给出端面上的载荷分布规律。为此，圣维南建议采用如下放松的积分边界条件：,在 的端面上：, 7-1 圣维南问题,（2a）,（2b）,（2c）,（2d）,在 的端面上，对应弯矩的条件改为,其余条件均相同，其中 表示杆长。这类在端部载荷作用下用放松边界条件求解的柱形杆问题称为圣维南问题。,显然，与端部载荷静力等效的任何一组端面应力分布都能满足上述放松边界条件。所以圣维南问题可以说有无穷多个解，只要找到其中一个，问题就算解决了。这在数学上是方便的，在物理上也是合理的。因为根据圣维南原理，静力等效处理的影响仅限于杆端附近，在细长杆的中段无
4、论哪个解都能给出较精确的应力、应变状态。, 7-1 圣维南问题,（2e）,根据叠加原理，柱形杆问题可分解成四种载荷情况：,（1）简单拉伸：仅 ，其余外力均为零。,（2）纯弯曲：仅 ，其余外力均为零。,（3）扭转：仅 ，其余外力均为零。,（4）一般弯曲：仅 其余外力均为零。,一般载荷情况的解，可由上述四种解叠加而成。, 7-1 圣维南问题,圣维南于1855年和1856年先后解决了柱体的扭转和弯曲问题。米歇尔（J. H. Michel）于1901年和1905年分别解决了几种分布载荷下的弯曲问题和变截面柱体的扭转问题。普朗特（L. Prandtl）于1903年和铁木辛柯（S. P. Timoshen
5、ko）于1913年引进应力函数法分别解决了以应力函数为未知量的扭转和弯曲问题。其方法是半逆解法，或称圣维南半凑合解法。, 7-1 圣维南问题,材料力学解圆轴扭转问题时曾采用刚性转动假设（截面绕形心轴作刚体转动，而形状不变）和平截面假设（截面变形后仍保持平面，而无翘曲）。由此可写出三个位移分量（见图3）,其中， 是间距为单位杆长的两截面的相对转角，称为扭角，当法线与z轴同向的截面由x轴转向y轴时为正。,是距原点为z处的截面的转角。,（3）,图 3, 7-2 柱形扭转问题的基本解法,利用几何方程，胡克定律和平衡条件，可得剪应力和扭角公式：,（4）,（5）,扭矩,极惯性矩,扭转刚度（产生单位扭角所需
6、要的扭矩）,最大剪应力, 7-2 柱形杆扭转问题的基本解法,位移解法,圣维南根据刚性转动假设和等翘曲假设（变形后各截 面的翘曲形状相同）给出如下三个位移函数：,前两式与（3）式相同，第三式中的 描述了各截 面的翘曲形状，称为翘曲函数。它的具体形式尚待确定，但肯定与z无关。,（6）, 7-2 柱形杆扭转问题的基本解法,下面用弹性力学方法处理非圆截面杆的扭转问题。实验 表明，这时杆截面将发生翘曲，平截面假设将失效，但 刚体转动假设仍然成立。这里将着重讨论杆截面允许自 由翘曲的自由扭转问题。,将位移表达式代入几何方程得到应变分量为：,再由第三章公式,由第三式得 ，即扭角 是单位杆长的相对转动。,得转
7、动分量：, 7-2 柱形杆扭转问题的基本解法,（7）,（6a）,柱形杆自由扭转问题的特点只存在截面内的剪应力 和剪应变 而且它们都仅是截面内坐标 x，y 的函数，因而可以简化为二维问题。,由胡克定律得应力分量,（8）, 7-2 柱形杆扭转问题的基本解法,平衡方程式化为,把（8）式代入，导得用翘曲函数 表示的平衡方程,翘曲函数 是调和函数。,（9）,（10）, 7-2 柱形杆扭转问题的基本解法,在侧面边界条件中仅剩上式，把（8）式代入得,方向导数公式,（11）,（12）, 为边界处的法向导数, 7-2 柱形杆扭转问题的基本解法,由图4，边界处法线的方向余弦为,（13）,图 4,在端面边界条件中，
8、还剩（2b） 和（2d）式,（14）, 7-2 柱形扭转问题的基本解法,可证明，只要满足侧面条件（11），则（14）的前两式 自然满足。如，利用（10）式可把（14）第一式写成,格林公式,（15）, 7-2 柱形扭转问题的基本解法,（11）,把上式中的面积分化为线积分，利用（11）式可证明,同样可证（14）第三式为,或,（16）, 7-2 柱形杆扭转问题的基本解法,（11）,扭转问题的位移解法归结为,(1) 由调和方程（10）和边界条件（12）求翘曲函数 。这是给定边界上的法向导数的二维边值问题，数学上称之为诺依曼问题。它的有解条件是,（12）和（15）,（18）,（在边界 上）, 7-2 柱
9、形扭转问题的基本解法,扭转问题的位移解法归结为,(2) 把 代入（17）式积分求扭转刚度 ，并由（16）式求扭角 ；,(3) 由（8），（6a）和（6）式求应力，应变和位移 分量。, 7-2 柱形杆扭转问题的基本解法,（17）,（8）,（6）,（6a）,应力函数解法,扭转问题仅有两个非零应力分量 和 ，它们应 满足平衡方程（9）。若引进普朗特应力函数 ，使,平衡方程自动满足。对于扭转问题，应力协调方程 简化为,（19）,（20）, 7-2 柱形杆扭转问题的基本解法,（9）,把（19）代入后得,因此应力函数 在域内应满足如下泊松方程,（21）,为了确定常数C，把（19）式代入（8）式得应力函数
10、与翘曲函数的关系, 7-2 柱形杆扭转问题的基本解法,（19）,（8）,或,（22）,代回方程（21）得扭转应力函数的定解方程为,（23）, 7-2 柱形杆扭转问题的基本解法,边界条件: 把应力公式（19）代入（1c）式，侧面边界 条件为,在边界上要求,常数 可任意选择，由（19）式可见，与应力无关。在单连通域中，通常令,（24）, 7-2 柱形杆扭转问题的基本解法,（1c）,（13）,对于多连通域，只能在一条闭合边界上（通常取外边界）令 ，在其他边界上则为待定常数。,由（19）和（24）式得：,故在单连通域中，端面边界条件（14）的第一式自然满足。, 7-2 柱形杆扭转问题的基本解法,（14
11、）,同理可证，第二式也自然满足。由（14）的第三式得,（25）, 7-2 柱形杆扭转问题的基本解法,对于单连通域 ，所以第一项为零。由此得 扭矩公式,由推导过程可见，被积函数 的一半来自 项， 另一半来自 项，即剪应力 和 分别对扭矩 各有一半贡献。,（26）, 7-2 柱形杆扭转问题的基本解法,对于多连通域，如图5（a），通常令,利用（13）式，及如下关系：,表示 闭合曲线所包围的面积。当该面积在 积分回路的左侧时，上式右端取正号；在右侧时取负号。,（27）,图 5（a）, 7-2 柱形杆扭转问题的基本解法,（13）,因此，（25）式的第一项可写成：,图 5（a）, 7-2 柱形杆扭转问题的
12、基本解法,（25）,而扭矩公式为,沙丘的顶面和底面分别为以 和 为边界的水平截面。沙丘的体积等于坡面下的体积 加上顶面下的柱体体积 。,（28）,图 5（b）,孔边应力函数,孔的面积, 7-2 柱形杆扭转问题的基本解法,扭转问题的应力函数解法归结为,（1）由泊松方程（23）和边界条件（24）求应力函 数 。这是直接给定边界上函数值的二维边值问题， 数学上称之为狄里克雷问题，它必有唯一解。其中待定常数 C 要用扭矩公式（26）或（28）确定。,（2）由（19）式求剪应力。,（3）由 求扭角 。并由 求扭转刚度。,（4）若要求位移，可先由（22）式求 和 ，然后积分得翘曲函数 。最后由（6）式求各
13、位移分量。, 7-2 柱形杆扭转问题的基本解法,由于边界条件非常简单，所以扭转问题中常采用应力函数解法。与此相比，位移解法的边界条件较为复杂，但域内方程是数学上研究得较深入的调和方程，目前已有复变函数等通用解法，因而也是一种有效的求解途径。,由于调和方程，泊松方程等偏微分方程都找不到能用有限项函数的组合来表示的通解，所以经常根据具体问题的特点采用试凑法来求解。基于解的唯一性定理，满足微分方程和边界条件的解是精确解。 常用的两类试凑法,反逆法 首先根据基本微分方程的特点找出能满足方程的一个（或一组）解。然后反演出这个（组）解的边界性质，从而判断它能解决什么具体问题(见直角坐标解法）。, 7-3
14、反逆法与半逆法，扭转问题解例,半逆法 首先根据边界条件的特点或对域内应力应 变状态的定性估计（如对称性，线性等），假设一个 （或一组）能满足部分（或全部）边界条件或反映域 内性质的解函数。然后调整这些待定成分，使满足域 内方程和全部边界条件，从而找出边值问题的解。如 果找不到，可以再迭加某些修正项，或更换解的函数 形式。, 7-3 反逆法与半逆法，扭转问题解例,例如，扭转应力函数在侧面边界上应满足 的条 件。设截面边界由N段曲线组成，每段曲线的方程为,则令,必能满足侧面边界条件。,（29）, 7-3 反逆法与半逆法，扭转问题解例,如果上式能满足域内方程 ，则是一种可用的解函数形式。调整待定常数
15、m使满足端面边界条件 ，解就能完全确定。如果上式不能满足域内方程 ，则需另找求解方法。,（1）当给定问题的解不能用（或暂不知道能用）有限项函数的组合来表示时，通常采用级数解法。 （2）把解展成能满足部分或全部边界条件的三角级数或幂级数，调整级数中的待定系数，使满足域内方程和全部边界条件就能得到问题的解。 （3）若取级数的前n项之和则为问题的近似解，其精度与所取项数n及级数的收敛性有关。,结论, 7-3 反逆法与半逆法，扭转问题解例,几个应力函数解法的典型例子,例1 椭圆杆,半逆法 把图6(a)中椭圆截面的边界方程代入（29）式得,代入（23）式有,（30）,（a）,图 6(a), 7-3 反逆
16、法与半逆法，扭转问题解例,（29）,上式表明，只要令,（31a）,函数（30）就能满足域内方程 。根据（30）式 和扭矩公式 有：,（b）, 7-3 反逆法与半逆法，扭转问题解例,对于椭圆截面,（b）式变成,（31b）, 7-3 反逆法与半逆法，扭转问题解例,代回（31a）式得,而扭转刚度为,当 时，退化为圆杆扭转刚度,（32）,（33）,将, 7-3 反逆法与半逆法，扭转问题解例,（31a）,把（30）和（31b）式代入（19）式得：,（34）, 7-3 反逆法与半逆法，扭转问题解例,由图6（a）可见，剪应力 是线性分布的；最大剪应力 发生在离截面形心最近的边界点 和 处，其值为,由（22）
17、式求出 和 ，然后积分得翘曲函数为,（34a）,（35）, 7-3 反逆法与半逆法，扭转问题解例,（22）,可以看到 是 x 和 y 的反对称函数，在形心及坐标轴上 。翘曲后截面的等高线如图6（b），实线部分 表示向上翘曲，虚线部分表示向下翘曲。,位移分量 不难由（6）式：,图 6（b）,求得。, 7-3 反逆法与半逆法，扭转问题解例,反逆法 扭转应力函数在域内应满足,该方程的特解是,齐次解 是满足方程 的调和函数。由复变函 数论知道，复变量 的各次幂函数为,（36）,（37）,（38）, 7-3 反逆法与半逆法，扭转问题解例,上式的实部和虚部以及它们的各种线性组合都是调和 函数因而都可被选作
18、齐次解 ，再加上特解 后就得 到方程（36）的一系列解函数。解函数对应解决什么 问题，需要考虑边界性质。,例如，取 的实部 ，乘以任意常数B，再加上特解 和常数 ，得：, 7-3 反逆法与半逆法，扭转问题解例,把系数改写成,则有：,它在椭圆边界上满足 的条件，所以可用于解决椭圆杆扭转问题。以下求解步骤同半逆法。, 7-3 反逆法与半逆法，扭转问题解例,例2 带半圆槽的圆杆,如图7。用半逆法，把边界的大圆和小圆方程代入（29）式,则可满足 的边界条件。代入 得,（39）,图 7,取, 7-3 反逆法与半逆法，扭转问题解例,（40）,（39a）,代入式（19）, 7-3 反逆法与半逆法，扭转问题解
19、例,最大剪应力发生在离形心最近的边界点 处：,当槽很小时， ，和无槽圆杆相比，应力集中系数为2。,（41）,扭角 需用扭矩公式 确定。,用反逆法解，取 的实部 和 的实部, 7-3 反逆法与半逆法，扭转问题解例,再加上特解,和常数项，得：,这就是（39）式。以下求解步骤同半逆法。, 7-3 反逆法与半逆法，扭转问题解例,3 矩形杆,如图8(a)。这时由四个边界方程构成的应力函数为,不能满足域内方程，因为,图 8（a）, 7-3 反逆法与半逆法，扭转问题解例,级数解法,把应力函数 对y展成如下余弦级数：,这里采用了分离变量假设。由于,（42）,边界条件 自动满足。, 7-3 反逆法与半逆法，扭转
20、问题解例,边界条件 应由函数 来满足，即要求,（43）,把（42）式代入域内方程 ，并把右端展 成三角级数：, 7-3 反逆法与半逆法，扭转问题解例,令两边级数中各对应项的系数相等，得二阶常微分程:,通解,（44）, 7-3 反逆法与半逆法，扭转问题解例,利用边界条件（43）定出积分常数,（45）,代回（44）和（42）式得,（46）, 7-3 反逆法与半逆法，扭转问题解例,改写（46）式，得应力函数的解为,利用 的三角级数展开式,（47）, 7-3 反逆法与半逆法，扭转问题解例,利用扭矩公式（26）和剪应力公式（19）可求出：,（48）,（49）, 7-3 反逆法与半逆法，扭转问题解例,注：
21、实际应用中把（48）和（49）式简化为,（50）,系数 和 查下表, 7-3 反逆法与半逆法，扭转问题解例,正方形杆 翘曲后截面的等高线见图8（b）,图 8（b）, 7-3 反逆法与半逆法，扭转问题解例,有限元模拟（1）圆杆扭转,轴向位移,径向位移,边界条件：一端固定，另一端施加扭矩,轴向位移为零，施加扭矩端的杆外侧径向位移最大。, 7-3 反逆法与半逆法，扭转问题解例,轴向位移,径向位移,此种情况下存在大小不等的轴向位移，即发生了翘曲。,边界条件：一端固定，另一端施加扭矩,有限元模拟（2）方形截面杆扭转, 7-3 反逆法与半逆法，扭转问题解例,Mises 应力图,应力最大的地方在各个横截面边
22、界的中心处。, 7-3 反逆法与半逆法，扭转问题解例,其中 和 为变形后的薄膜在x和y方向上的曲率，z为薄膜挠度。代入上式得,周边固定条件为,（51）,（52）, 7-4 薄膜比拟,和方程 及边界条件 相比，可知应力 函数 和薄膜挠度z之间存在比拟关系。注意到方程右端的 对应于 ，引进如下比拟关系,两者就化为同一个数学问题。,（53）, 7-4 薄膜比拟,对于多连通域， 在孔边上应为常数。所以在薄膜比拟试验中，开孔区应用平行于 平面的无重刚性平板来 代替。,下面要用到普朗特应力函数 的两个重要性质：,性质1 截面内任意点处的总剪应力 指向该点处应 力函数等值线的切线方向，其大小等于 的负梯度，
23、即 沿内法线方向的导数值。, 7-4 薄膜比拟,证 设 为 的等值线。在任意点P处，外法 向和切向的单位向量为 和 。由图10可知，它们 的方向余弦为,（54）, 7-4 薄膜比拟,图 10,利用应力转轴公式得,（55）,图 10, 7-4 薄膜比拟,由 可知，边界线都是剪应力迹线。在薄膜比拟试验中，剪应力迹线相应于膜的等高线。由（53）和（56）式可得,膜高在内法线方向上的导数值。,（56a）, 7-4 薄膜比拟,性质2 在应力函数 的闭合等值线上，剪应力环量和等值线所包围的面积成正比。,证 剪应力 沿其迹线 的回路积分值称为剪应力环量。利用式（56）、（55），（23）和格林公式，可导出剪
24、应力环量计算公式,为剪应力迹线 所包围的面积,（57）, 7-4 薄膜比拟,图11说明，这是用等高线割出的上部薄膜的z向平衡方程。,图 11,在薄膜比拟中，把（56a）式代入(57)式左端得, 7-4 薄膜比拟,例1 狭长矩形杆,如图12（a），试验表明，除 两端外，内压下的薄膜挠度z和坐标x无关，见图12（b）。根据 与z的正比关系（53），可设 。,图 12, 7-4 薄膜比拟,（a）,代入基本方程 ，利用如下对称条件和 边界条件,（58）,（59）, 7-4 薄膜比拟,代入（26），（16），（56）式得：,（60）,（61）,（62）,（26）,（16）,（56）, 7-4 薄膜比拟,
25、可见剪应力沿 y 线性分布，最大值发生边界 处，其值为,由（62）式的 所产生的扭矩为,它仅是 的一半。另一半扭矩由两端 附近的 剪应力 提供。,（63）, 7-4 薄膜比拟,例2 开口薄壁杆,薄膜比拟试验表明，可以把各种开口薄壁杆件（如图13）看作由若干狭长矩形杆拼接而成。,图 13, 7-4 薄膜比拟,对于不等厚情况（如图中I 字型截面），可把截面分成 几个等厚部分，薄壁杆的总纲度等于各部分刚度之和，即,其中 和 是第i部分的中心线长度和截面厚度。杆的扭角为（各部分均相等）,（64）,（65）, 7-4 薄膜比拟,第i部分的最大剪应力为,在中心线弯折或拼接的凹侧存在应力集中，应加圆角过渡。
26、胡斯用差分法求得应力集中系数 和内圆角相对大小 的关系曲线如图14。,（66）,图 14, 7-4 薄膜比拟,例3 闭口薄壁管,考虑图15（a）的变厚度薄壁管。薄膜比拟见图15（b），图中忽略薄膜的曲率而成斜锥形。若把内孔平板的高度h当作孔边处的应力函数值 ，则图15（b）就是应力函数的分布图。,图 15,（a）,（b）, 7-4 薄膜比拟,或,（67）,图 15,（a）,（b）,由图可直接看出，外法向梯度 ,用A表示厚度中心线所包围的面积，由（28）, 7-4 薄膜比拟,利用（56）式 和上式可得,（68）,（69）,通常把q称为剪流。犹如在变径管道中流速与管截 面面积成反比，但流过各截面的
27、总流量不变。,图 15（a）, 7-4 薄膜比拟,扭角 可由环量公式求得：,（70）,对等厚薄壁管有：,（71a）,s是厚度中心线的全长。, 7-4 薄膜比拟,对于中心线有弯折的闭口薄壁管，例如矩形管，在截面的内凹角处有应力集中。图16给出胡斯用差分法算得的应力集中与圆角半径的关系曲线。,图 16, 7-4 薄膜比拟, 7-5 较复杂的扭转问题,空心杆（轴）问题,空心杆是多连通域。以二连通域为例，设外周边为 ， 内孔边为 。问题的域内方程为：,边界条件为,（未知常数）,下面分两种情况讨论：,（1）内孔边是相应实心杆的 等值线,这时可采用相应实心杆的应力函数表达式，因为它原已满足方程和边界条件，
28、又因 是 等值线，第二个边界条件也自动满足。但注意，扭矩应按 计算。,例 空心椭圆杆,考虑图（a）中的空心椭圆杆。内孔边的方程为,采用实心杆的应力函数,代入内孔边界条件利用内孔方程得,图 （a）, 7-5 较复杂的扭转问题,扭矩公式为,为了便于积分，作如下变量置换：,它使外周边变成图（b）所示的单位圆。以 平面内的极坐标 作自变量有,图（b）, 7-5 较复杂的扭转问题,把上面公式一起代入扭矩公式，注意到 和 ，可得,因而空心椭圆杆的扭转刚度为,其中， 是实心杆的刚度， 为开孔消弱系数。最大剪应力为, 7-5 较复杂的扭转问题,从物理上看，假想用若干应力函数 的等值柱面把实心杆分割成若干层互相
29、嵌套的杆和管，由于 等值线是剪应力迹线，所以没有任何应力能穿过这些管和杆的交界面去影响相邻的管或杆的应力状态。因而实心杆的总刚度就等于各分杆的（或管）的刚度之和。本例中的空心杆是由实心杆抽去以 为边界的内芯后形成的。扣除内芯的刚度,后即可导出上面结果，即：, 7-5 较复杂的扭转问题,（2）内孔边不是实心杆的 等值线,上述刚度迭加法不能用于以非等值柱面进行分割的情况。 因为这时交界面上有应力传递现象，抽去内芯将影响外 层空心杆的应力状态。原实心杆的应力函数表达式也不 再适用。这类多连通域问题必须考虑位移单值条件。在 位移函数公式中，u和v已是单值函数，关键要保证w， 即 的单值性。由前面结果得
30、, 7-5 较复杂的扭转问题,由此积分得位移,为了保证单值，若绕包围孔洞的任意曲线 （见图）积分一周，则上式后两项之和必须为零，即,图, 7-5 较复杂的扭转问题,或写成,其中， 为闭曲线 所包围的面积（包括孔洞面积）。这就是空心杆的位移单值条件。对于多孔截面，应对每个孔都加一个这样的单值条件。用它们可定出各孔边的应力函数值 。,当 取为 等值线时， 与 同向， ， 位移单值条件,就是剪应力环量公式，即, 7-5 较复杂的扭转问题,变径轴（圆杆）,（1）对于直径缓慢变化的轴（如锥度不大的锥形轴），已有精确解表明，等径轴的剪应力公式 （其中a取为计算截面处的半径）能给出满足工程精度的近似解。,（
31、2）对于直径急剧变化的轴（如凸肩附近），则在凹角处应加圆弧过渡段来缓和实力集中现象。工程上已用实验或数值计算方法给出一系列计算应力集中系数的曲线或经验公式。, 7-5 较复杂的扭转问题,约束扭转,以上讨论的自由扭转情况允许截面自由翘曲。工程上，受扭杆的一端常嵌入墙内或焊在另一个基础件上，属于杆端截面不能自由翘曲的约束扭转情况。,限制截面翘曲的约束反力是自平衡的轴向正应力。对于实心杆，根据圣维南原理，距离杆端 倍截面尺寸的地方就可按自由扭转处理。但对于开口薄壁杆件，约束影响传得很远。, 7-5 较复杂的扭转问题,例如图中的槽钢，在自由扭转时属于开口薄壁杆件，扭矩只由沿壁厚线性分布的剪应力来承担。
32、在约束扭转时左端的截面翘曲被限制，槽钢的两侧翼缘将形成沿翼缘长度（它比壁厚大得多）线性分布的弯曲正应力，刚度将显著增强。自由扭转公式将不再适用。,自由扭转, 7-5 较复杂的扭转问题,下面引进一些关于扭转问题的一般性结论，供工程应用参考。,（1）自由扭转问题中的最大剪应力 常发生在截面边界线上。而且往往在离截面形心最近的边界点上。但有个别例外，例如图中所示的“圣维南钢轨”， 发生在离形心较远的F点处。,（2）在截面边界的内凹角处将产生应力集中。 （3）扭转刚度总是正的。截面翘曲使刚度减小。在面积相等的各种实心凸形截面杆中，以截面无翘曲的圆杆刚度最大。 （4）在工程计算中，其他凸形截面杆的扭转刚
33、度，可近似地按面积相等而形状最为逼近的等效椭圆杆来计算。, 7-5 较复杂的扭转问题,考虑图17所示悬臂柱形杆（梁）的情况。取z为杆的形心轴，x，y为截面形心主轴。杆端受x方向的横向力 作用，它对x轴的偏心距为 。体力和 均为零。,图 17,* 7-6 柱形杆的一般弯曲,材料力学指出，杆中存在弯曲应力,（其中 ）,和横向剪应力 。由侧面边界条件（1c）式知（一般 ）， 将与 同时存在。其余应力分量,（72a）,（72b）,* 7-6 柱形杆的一般弯曲,这时平衡微分方程的前两个方程简化为：,即剪应力与z无关，仅为面内坐标x、y的函数。,把（72a）代入第三平衡方程，得,（72c）,* 7-6 柱
34、形杆的一般弯曲,引进应力函数 使,把（72a，b，c）代入B-M方程（应力协调方程），其中四个自动满足，剩余的两个可简化为：,则平衡方程自动满足。,（73）,* 7-6 柱形杆的一般弯曲,利用(73)式得：,第一式表明 仅为y的函数。把第二式对y积分得：,（74）,* 7-6 柱形杆的一般弯曲,为了说明常数C的意义，考虑以微元 为横截面、 长度为 的微矩形杆（见图17），其扭角为,* 7-6 柱形杆的一般弯曲,利用（73）和（74）式得：,注意到截面对形心主轴x的静矩 ，并记截面面积为A，则整个杆截面的平均扭角为：,（75a）,（75b）,* 7-6 柱形杆的一般弯曲,和（23）式相比，可见方
35、程 表示扭 角为 的杆的整体扭转变形状态。,另一方面，由（75a）是可见：当C=0时，杆的扭角在 主平面 内（ 时）处处为零，在主平面外（ 时）对坐标y反对称。对于悬臂杆，固定端处转角 ，因而主平面内的转角 处处为零。这表示杆的平面弯曲变形状态。,* 7-6 柱形杆的一般弯曲,（75a）,于是杆的一般弯曲问题（74）式被分解成如下两个问题,（1）绕形心轴的自由扭矩问题,（76a）,（2）在主平面内的平面弯曲问题,（76b）,* 7-6 柱形杆的一般弯曲,把（73）式代入侧面边界条件（1c）式得：,或,（77）,其中待定函数 可任意选择。,* 7-6 柱形杆的一般弯曲,（73）,若令它在边界上满
36、足：,在 边界上,在 的边界上 取任意值,（78）,则（77）式 成 ，即 。,* 7-6 柱形杆的一般弯曲,则（77）式 成 ，即 。对单连域可取：,于是，平面弯曲问题归结为：在边界条件（79）下解应力函数 的泊松方程（76b）。然后，由（73）和（72a）式可得剪应力 和弯曲应力 。,（79）,* 7-6柱形杆的一般弯曲,端面边界条件: 由（73）、（78）和（79）式可得：,两个合力条件自动满足。平面弯曲时剪应力（见（73）式）对截面形心的合力矩为,（80）,* 7-6 柱形杆的一般弯曲,它应与外力矩 （见图17）静力等效，由此可解出 偏心矩,若外力的偏心矩不满足上式，则平面弯曲状态遭到破坏，杆内出现弯扭耦合的变形情况。,（1）当外力P平行于y轴时，可类似的导出杆内应力计算公式和平面弯曲是外力P对y轴的偏心矩 。 以 和 为坐标的点称为弯曲中心或剪力中心。,（81）,* 7-6 柱形杆的一般弯曲,（2）当外力P通过弯曲中心，但不平行于形心主轴x或y时，称为斜弯曲。这时可把P沿x和y轴分解成 和 ，分别计算两个平面弯曲问题，然后迭加。,（3）当外力P不通过弯曲中心时则出现弯扭耦合变形。这时可先把P平移到弯曲中心上，按斜弯曲处理。然后再迭加由P对弯曲中心的力矩所引起的扭转应力。,* 7-6 柱形杆的一般弯曲,结束,
