1、第七章 应力状态和强度理论, 概述 平面应力状态的应力分析主应力 空间应力状态的概念 应力与应变间的关系 空间应力状态下的应变能密度 强度理论及其相当应力 莫尔强度理论及其相当应力 各种强度理论的应用,7-1 概 述,强度条件,没有也不需要考虑材料失效（断裂或屈服）的原因,同一截面上不同点的应力各不相同同一点不同方位截面上的应力各不相同,链接1,链接2,拉压、对称弯曲问题中： 危险点的正应力是该点所有方位截面上的最大正应力 单轴应力状态,建立强度条件,直接由试验测得的极限应力除以安全因数得到,矩形截面梁弯曲时,同一截面上不同点的应力各不相同 应力的点的概念,返回1,同一点不同方位截面上的应力各
2、不相同 应力的面的概念,杆拉伸时,圆杆扭转时,返回2,圆杆扭转、对称弯曲问题中： 危险点的切应力是该点所有方位截面上的最大切应力 纯切应力状态,建立强度条件,一般情况下： 受力构件内任一点处，既有正应力又有切应力。 对该点进行强度计算，不能分别按正应力、切应力来建立强度条件，要综合考虑正应力和切应力的影响。,一方面要研究通过点不同方位截面上应力的变化规律，以确定最大正应力和最大切应力及其所在截面的方位。过一点所有不同方位截面上应力的集合（即过一点所有不同方位截面上应力的全部情况）,点的应力状态,要研究,另一方面，由于点的应力状态较复杂，而应力的组合形式又有无限多的可能性，故不能用直接试验的方法
3、来确定每一种应力组合情况下材料的极限应力。,致力于观察和分析材料破坏的规律，找出引起材料破坏的共同因素； 利用单向应力状态的试验结果，确定该共同因素的极限值，建立相应的强度条件。,关于材料破坏规律的假说,强度理论,要研究,一点应力状态,微元（单元体）,每个面上的应力都是均匀分布的；在相互平行的一对面上，应力大小相等，正负号相同。,7-2 平面应力状态的应力分析主应力,平面应力状态,求斜截面上的应力,求最大正应力及其所在截面的方位,正应力以拉为正,一、斜截面上的应力,a 从x 轴量起，以逆时针转为正。,切应力以绕单元体顺时针转为正,平面应力状态的普遍形式,a 截面,斜截面面积：dA,sa sa9
4、0 sxsy 常数,ta ta90,任意两个相互垂直截面上的正应力之和为常数，切应力服从切应力互等定理。,二、应力圆,应力圆（莫尔圆）,应力圆,E (sa ,ta),点面对应关系角度对应关系,与单元体一 一 对 应 关 系,三、主应力与主平面,主应力单元体,链接,主平面,主应力,通过一点的各个不同的方向面中，一定存在三个相互垂直的截面，在这些截面上只有正应力而没有切应力。,主平面有3个,主应力有3个,s1 s2 s3, ,第二主应力,第三主应力（最小主应力）,第一主应力（最大主应力）,返回,仅有一个主应力不为零 - 单向应力状态有二个主应力不为零 - 二向应力状态三个主应力都不为零 - 三向应
5、力状态,空间应力状态,平面应力状态,a 0的确定是个难点同主惯性轴的确定,例1：单元体如图示，求主应力的大小和主平面的位置。,例2：一两端密封的圆柱形压力容器，圆筒部分由壁厚为d ，宽度为b 的塑条滚压成螺旋状并熔接而成。圆筒的内径为D，且d D，如图所示。容器承受的内压的压强为p，若熔接部分承受的拉应力不得超过塑条中最大拉应力的80，试求塑条的许可宽度b。,P217 例7-1,圆筒及其受力关于轴线极对称 圆筒横截面上正应力均匀分布,d D,轴向应力,将圆筒沿横截面截开,圆筒上任一点的应力状态,圆筒上、下部分关于纵向直径平面对称 圆筒纵截面上没有切应力,将圆筒沿纵向直径平面截开,d D,正应力
6、均匀分布,取单位长度研究,圆筒上任一点的应力状态,环向应力,在圆筒内表面上任取一点，则沿径向,比较,确定许可宽度b,圆筒上各点,得熔接缝拉应力,塑条熔接缝,空间应力状态的普遍形式,sx、sy、sz,txytyx,txztzx,tzytyz,7-3 空间应力状态的概念,最大正应力？最大切应力？,有6个独立的应力分量,1平行s3 的截面,平行s3 的所有截面对应于应力圆AE上的各点。,2平行s2 的截面,平行s2 的所有截面对应于应力圆AF上的各点。,3平行s1 的截面,平行s1 的所有截面对应于应力圆FE上的各点。,外法线n与坐标轴的夹角为a、b、g,任意截面上的应力？,任意截面上的应力？,可以
7、证明：,任意截面上的应力都可用这三个应力圆所围成的阴影面中的点的坐标来决定。,空间应力状态下：,smax = s1,smin = s3,tmax 所在截面与s2平行，与s1、s3 所在的主平面成 45角。,例1：图示单元体处于何种应力状态？绘出应力圆，求其主应力和最大切应力。,应力单位为MPa,sx12.5 MPa，tx12.5 MPasy12.5 MPa，ty12.5 MPa,s125 MPa，s20，s3 25 MPa,二向应力状态,7-4 应力与应变间的关系,空间应力状态下：有6个独立的应力分量相应的有6个独立的应变分量应力分量与应变分量之间的关系广义虎克定律,单轴应力状态下：,空间应力
8、状态下：,？,纯切应力状态下：,空间应力状态下，外法线与坐标轴正向一致的平面正面 外法线与坐标轴负向一致的平面负面正应力分量拉应力为正；切应力分量正面上切应力与坐标轴正向一致为正， 负面上切应力与坐标轴负向一致为正；线应变分量以伸长为正；切应变分量使直角减小者为正。,一、各向同性材料的广义虎克定律,重新规定,切应变与切应力正负号一致,1已知 s1、s2、s3,平行si 的边 第 i 棱边( i=1,2,3 ),在线弹性范围内研究各向同性材料,小变形,主应变与主应力之间的关系,广义虎克定律,2已知 sx、sy、sz 、txy、tyz、tzx,在小变形的条件下，切应力t 引起的线应变比起正应力s
9、引起的线应变小得多，是高阶微量，可以略去不计。,广义虎克定律,线应变与正应力之间的关系,注意：,对于切应力和切应变，它们之间也有一定的关系。,广义虎克定律也适用于单向应力状态、二单向应力状态。在线弹性范围内，各向同性材料的三个材料常数满足,例1：在一槽形钢块内放置一边长为10 mm 的立方铝块，铝块与槽壁间无空隙，如图。当铝块上受到合力为 F = 6 kN 的均布压力时，试求铝块内任一点处的应力，设铝块的泊松比为n = 0.33。,例2：用电阻应变仪测得空心圆轴表面上某点处与母线成45O 方向上的正应变e =2.010-4，已知 E=2.0105 MPa，n =0.3，试求轴所传递的扭矩。,s
10、1 t，s2 0，s3 t,Me8.38 kNm,单元体边长：dx、dy、dz,体积：V0 = dx dy dz,二、各向同性材料的体应变,dx dx +dx,dy dy +dy = dy + e2dy = (1 + e2) dy,dz dz +dz = dz + e3dz = (1 + e3) dz,= dx + e1dx,= (1 + e1) dx,体积：V = (1 + e1) dx (1 + e2) dy (1 + e3) dz,= V0 (1 + e1) (1 + e2) (1 + e3),小变形 略去二、三阶微量,V = V0 (1 + e1+ e2 + e3 ),体积的绝对增量：
11、V = VV0 = V0 (e1+ e2+ e3),单位体积增量：,体应变,体积的相对增量,讨论：, 若 s1 + s2 + s30，,则 q 0 V 0，即体积增大；,若 s1 + s2 + s30，,则 q 0 V 0，即体积减小；, 若 s1 + s2 + s3 = 0，,则 q = 0 V = 0，即体积不改变。, n = 0.5 ；, 纯切应力状态,q = 0 ，但一般n0.5 。,s1 = ts2 = 0s3 =t,q = 0 V = 0,体积不改变，但并不表示单元体不变形。,讨论：,体积不改变，但并不表示单元体不变形。,切应力只引起形状改变，不引起体积改变。,正应力只引起体积改变
12、，不引起形状改变。,7-5 空间应力状态下的应变能密度,物体受外力作用产生变形时，将在物体内部积蓄能量,应变能密度 ve,单位体积物体所积蓄的应变能,单轴应力状态下：,在线弹性、小变形的条件下，应变能的大小取决于外力的最终值，与外力作用的先后次序无关。,应变能 Ve,空间应力状态下,三向应力状态的应变能密度：,力：s1 d y d z,位移：e1 d x,力：s2 d z d x,位移：e2 d y,力：s3 d x d y,位移：e3 d z,主应力相同,主应力之和不为零,主应力之和为零,但单元体形状改变,体积改变,形状改变,体积改变能密度：,形状改变能密度：,应变能密度ve体积改变能密度v
13、V形状改变能密度vd,空间应力状态,小变形,对应每个应力分量的应变能密度,该应力分量与相应的应变分量的乘积的一半,材料破坏的形式有两种： 脆性断裂破坏和塑性屈服破坏,强度理论大体分为两类： 有关脆性断裂破坏的强度理论 有关塑性屈服破坏的强度理论,铸铁拉伸时，在横截面上断裂；铸铁扭转时，在与杆轴线成 45O 的螺旋面上断裂。,低碳钢拉伸时，在与杆轴线成 45O 的方向上产生滑移线；低碳钢扭转时，在纵向、横向产生滑移线。,7-6 强度理论及其相当应力,一、关于脆性断裂的强度理论,最大拉应力s1是引起材料断裂破坏的原因,1. 最大拉应力理论（第一强度理论）,当构件内危险点的最大拉应力达到某一极限值时
14、，材料就会发生脆性断裂破坏。,材料单向拉伸时，发生断裂破坏的极限应力sb。,破坏条件：s1sb,强度条件：s1s ,最大伸长线应变e1是引起材料断裂破坏的原因,2. 最大伸长线应变理论（第二强度理论）,当构件内危险点的最大伸长线应变达到某一极限值时，材料就会发生脆性断裂破坏。,材料单向拉伸时，发生断裂破坏的极限应变eu。,破坏条件：e1eu,强度条件：,s1n (s2s3) s ,二、关于屈服的强度理论,最大切应力tmax是引起材料屈服破坏的原因,1. 最大切应力理论（第三强度理论）,当构件内危险点的最大切应力达到某一极限值时，材料就会发生屈服破坏。,材料单向拉伸时，发生屈服破坏时的切应力tS
15、。,破坏条件：tmaxtS,强度条件：,s1 s3 s ,形状改变能密度vd是引起材料屈服破坏的原因,2. 形状改变能密度理论（第四强度理论）,当构件内危险点的形状改变能密度达到某一极限值时，材料就会发生屈服破坏。,材料单向拉伸时，发生屈服破坏时的形状改变能密度vdu。,破坏条件：vdvdu,强度条件：,sr 相当应力,强度条件：,sr s ,与主应力有关,7-7 莫尔强度理论及其相当应力,材料发生剪断破坏的原因主要是切应力t ，但也和同一截面上的正应力s 有关。,三向应力状态下，,不考虑 s2 对破坏的影响。,极限应力圆,极限应力圆的包络线,材料破坏的临界线,工程上, 画出单向拉伸、单向压缩
16、的极限应力圆；, 作这两个极限应力圆的公切线；, 将此公切线作为近似的包络线。,构件内某点刚好处于剪断破坏状态,C1NC3 C1PC2,C3N C3K C1L,C2P C2M C1L,C3C1 OC1 OC3,C2C1 OC1 OC2,破坏条件,强度条件：,对危险点处于复杂应力状态的杆件进行强度计算，选择强度理论，需考虑材料的种类、受力情况、荷载性质、温度等因素。,常温、静荷下：,脆性材料多发生断裂破坏,塑性材料多发生屈服破坏,7-8 各种强度理论的应用,脆性材料,材料的破坏形式与应力状态有关,屈服破坏,塑性材料,断裂破坏,s1、s2、s3 近似等值,例1：一工字钢简支梁如图所示，已知材料的容
17、许应力s 170 MPa ，t 100 MPa。试由强度计算选择工字钢的型号。,P243 例7-7,例2：已知一锅炉的内径D0=1 m，壁厚d =10 mm，锅炉材料为低碳钢，其容许应力s =170 MPa。设锅炉内蒸汽压力的压强 p=3.6 MPa，试用第四强度理论校核锅炉壁的强度。,轴向应力,环向应力,径向应力,锅炉壁的强度足够！,例3：对某种岩石试样进行了一组三向受压破坏试验，结果如表所示。设某一工程的岩基中，两个危险点的应力情况已知： A点：s1 = s2 =10 MPa ， s3 =140 MPa ； B点：s1 = s2 =120 MPa ， s3 =200 MPa ；试用莫尔强度理论校核A、B两点的强度。,某种岩石试样试验结果（应力单位：MPa）,A,B,A 点发生断裂破坏，B 点不发生断裂破坏。,76、7(d)、12；718、20；725、26。,作业：,
