1、二项式定理,(a+b)2 = (a+b)(a+b)=aa+ab+ba +bb = a2+2ab+b2,(a+b)3= (a+b)(a+b)(a+b) =aaa+aab+aba+baa+abb+bab +bba +bbb= a3 + 3a2b+3ab2 + b3,还能写出(a+b)4 的展开式吗？,写出二项式 (a+b)2、 (a+b)3 展开式,(a+b)2 (a+b) (a+b) =aa+ab+ba +bb = a2+2ab+b2,展开后其项的形式为：a2，ab ，b2,这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b,恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21,恰有2个取b的情况有
2、C22 种，则b2前的系数为C22,每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系数为C20,即每一项的形式是a4-kbk，,从上述过程中可以发现，,(a+b)n是n个(a+b)相乘，,根据多项式乘法法则，,每个(a+b)相乘时有两个选择，选a或选b，,而且每个(a+b)中的a或b选定后，才能得到展开式的一项，,由分步乘法计数原理，可以得到这样的项的项数，然后合并同类项。,探索(a+b)4的展开式的形式。,4个括号中取a和取b的个数和为4，,每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的系数为C40,恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41,恰有2个取b的情况有C42 种，
3、则a2b2前的系数为C42,恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43,恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44,则 (a+b)4 C40 a4 C41 a3b C42 a2b2 C43 ab3 C44 b4,(a+b)4 (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)？,k=0时,k=4,k=3,k=2,k=1,(a+b)4 C40 a4 C41 a3b C42 a2b2 C43 ab3 C44 b4,猜想(a+b)n 的展开式,(nN*),然后将上述过程合起来，就得到二项展开式，,(nN*),证明：对(a+b)n分类，按b可以分n+1类，,不取b：Cn0an；,取
4、1个b：Cn1an-1b1；,取2个b：Cn1an-2b2；,(k+1)取k个b：Cnkan-kbk；,(n+1)取n个b：Cnnbn；,(a+b)n Cn0 an Cn1 an-1b Cn2 an-2b2 Cnk an-kbk Cnnbn (nN*),Tk+1 =Cnk an-kbk,右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式, 共n+1项,Cnk an-kbk ：,二项展开式的通项,记作Tk+1，表示 k+1项,Cnk：,二项式系数,若令a=1, b=x，则得到：,(1+x)n =Cn0+ Cn1x+ Cn2x2+ +Cnkxk + Cnnxn,(a+b)n Cn0 an Cn1 an-1b
5、 Cn2 an-2b2 Cnk an-kbk Cnnbn (nN*),(4)二项式系数为Cn0，Cn1，Cn2 ， Cnk , ,Cnn是一组与二项式次数n有关的组合数，与a, b无关,二项展开式的特点：,(1)共有n+1项,(2)各项的次数都等于二项式的次数n,(3)字母a按降幂排列，次数由n递减到0,字母b按升幂排列，次数由0增加到n,例1 ：(1)写出(1+2x)5的展开式中的第4项,(2)写出(1+2x)5的展开式,(3)求 的展开式,例2 （1）求 的展开式的第4项的系数；,（2）求 的展开式中x3的系数及二项式系数,9-2r=3, r=3,例3求 的展开式中的倒数第4项；,求 的展
6、开式常数项；,解：展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，,，,；,当,时展开式是常数项，即常数项为, 的展开式中的第3项,求 的展开式的中间两项,，,“杨辉三角”与 二项式系数性质,二项式系数表,以上二项式系数表,早在我 国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角，杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。,杨辉 三角,详解九章算法记载的表,杨辉,能得出哪些性质？,会证明这些性质吗？,a)
7、表中每行两端都是1。,b)除1外的每一个数都等于它肩上两个数的和。,当n不大时，可用该表来求二项式系数。,对称,c)与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,可以看成以r为自变量的函数f(r)，其定义域是 0,1,n。,函数角度：,当n=6时，二项式系数 （0r6）用图象表示：,f(r),关于r=n/2对称,r=3和r=4时取得最大值,n为偶数； 如n=6,n为奇数； 如n=7,增减性与最大值,d)当n为偶数如2、4、6时，中间一项最大,当n为奇数如1、3、5时，中间两项最大,(1+x)n =Cn0+ Cn1x+ Cn2x2+ +Cnkxk + Cnnxn,令x=1,则,2n =Cn0+ Cn
8、1+ Cn2+ +Cnk + Cnn,即(a+b)n展开式的二项式系数和为2n,赋值法,二项式系数的性质,总结,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,r=n/2将函数f(r)的图象分成对称的两部分。,二项式系数先增大后减小，且在中间取得最大值；,即(a+b)n展开式的二项式系数和为2n,当n为偶数如2、4、6时，中间一项最大,当n为奇数如1、3、5时，中间两项最大,Cn0+ Cn1+ Cn2+ +Cnk + Cnn =2n,n-1,例1 证明：在(ab)n展开式中,奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数的和.,即证：,(1+x)n =Cn0+ Cn1x+ Cn2x2+ +Cnkxk
9、 + Cnnxn,令x=-1,(1-1)n =Cn0- Cn1+ Cn2-Cn3+ +(-1)kCnk+(-1)nCnn,0=(Cn0+Cn2+ ) (Cn1 -Cn3+ ),例2 已知 的展开式中，第4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，求展开式中x的一次项.,n=8,设展开式中含x的项是第r+1项，则,故展开式中含x的项为第3项，即,例3 已知 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，证明展开式中没有常数项；求展开式中所有的有理项,舍去）,若 是常数项，则,即16-3r=0，,，这不可能，展开式中没有常数项；, r=0,4,8，,分别是：,例4 已知 的展开式中，第五项与第
10、三项的二项式系数之比为14:3，求展开式的常数项,解：依题意,3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!,n=10,设第r+1项为常数项，又,令,此所求常数项为180,例8 求(1+x)+(1+x)2+(1+x)10展开式中x3的系数,解：,=,原式中x3实为这分子中的x4，则所求系数为,，,例9 求 的近似值，使误差小于0.001,解：,展开式中第三项为,小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，,一般地当a 较小时,例题选,题型一 二项展开式中系数的最大与最小,例1 在二项式 的展开式中，求系数最小的项的系数。,所以系数最小的项的系数为,例2 已知 的展开式的系
11、数和比(3x-1)n的展开式的系数和大992,求 的展开式中:二项式系数最大的项;系数的绝对值最大的项.,.,解：由题意,解得n=5.,设第r+1项的系数的绝对值最大,则,r=3,故系数的绝对值最大的是第4项 。,例3 求 的展开式中系数最大的是第几项？,解：设展开式中第r+1项的系数最大，则,r=7 故第18项的系数最大,题型二 展开式的系数和,例1 已知： 的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992,求展开式中二项式系数最大的项；,求展开式中系数最大的项,解：令x=1，则展开式中各项系数和为,又展开式中二项式系数和为2n,n=5, 展开式共6项,二项式系数最大的项为第三,四两项,设展
12、开式中第r+1项系数最大，则,即展开式中第5项系数最大，,解：在,令x=1，得,令x=-1，得,两式相乘得,例3 已知,求: ,当x=1时，,展开式右边为,当x=0时，,令x=-1，,例4 在 的展开式中,求:,二项式系数的和；,各项系数的和；,奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；,奇数项系数和与偶数项系数和；,x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.,令x=y=1,各项系数和为,解：令x=1得：,令x-a=1即x=a+1可得各项系数的和,的值；令x-a=-1即x=a-1，可得奇数项系数和与偶数项和的关系。,练习 已知(1-2x)7=a0+ a1x + a2x2 + + a7x7 ,则 (
13、1)a1+a2+a3+a7=_ (2)a1+a3+a5+a7 =_ (3)a0+a2+a4+a6 =_,赋值法,(4)若已知(1+2x)200= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + + a200(x-1)200 求a1+a3+a5+a7+a199 的值。,二项式定理的其它问题,例1 在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数.,在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为,在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，,含x的项为,展开式中含x的项为,此展开式中x的系数为240,例2 求证：,证（法一）倒序相加：设,， ,（法二）：左边各组合数的通项为,例4 求 的展开式中x的系数,（法一）,显然,上式中只有第四项中含x的项,系数是,（法二）,展开式中含x的项的系数是,例5 已知 的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含x2项的系数最小值.,展开式中含x2的项的系数为,t=,时，t取最小值，,但,时，,t即x2项的系数最小，最小值为272，此时,练习 化简: (x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1.,
